Функционал Лапласа

редактировать

В теории вероятностей функционал Лапласа относится к одной из двух возможных математических функций функций или, точнее, функционалов, которые служат математическим инструментом для изучения либо точечных процессов, либо концентрации меры свойств метрических пространств. Один тип функционала Лапласа, также известный как характеристический функционал, определяется по отношению к точечному процессу, который можно интерпретировать как случайные счетные меры, и имеет приложения для характеристики и получения результатов по точечным процессам. Его определение аналогично характеристической функции для случайной величины.

Другой функционал Лапласа предназначен для вероятностных пространств, снабженных метриками, и используется изучить концентрацию мер свойств пространства.

Содержание

1 Определение для точечных процессов
- 1.1 Приложения
2 Определение для вероятностных мер
- 2.1 Приложения
3 Примечания
4 Ссылки

Определение для точечных процессов

Для общего точечного процесса $N {\ displaystyle \ textstyle N}$ $\ textstyle N$ , определенного на $R d {\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$ $\ textstyle {\ textbf {R}} ^ { d}$ , функционал Лапласа определяется как:

LN (f) = E [e - ∫ R df (x) N (dx)], {\ displaystyle L_ {N} (f) = E [ е ^ {- \ int _ {{\ textbf {R}} ^ {d}} f (x) {N} (dx)}],}

L _ {{N}} ( е) = Е [е ^ {- \ int _ {\ textbf {R} ^ d} f (x) {N} (dx)}],

где $f {\ displaystyle \ textstyle f}$ $\ textstyle f$ - любая измеримая неотрицательная функция на $R d {\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$ $\ textstyle {\ textbf {R}} ^ { d}$ и

∫ R df (x) N (dx) = ∑ xi ∈ N f (xi). {\ displaystyle \ int _ {\ textbf {R}} ^ {d}} f (x) {N} (dx) = \ sum \ limits _ {x_ {i} \ in N} f (x_ {i})).}

\ int _ {\ textbf {R} ^ d} f (x) {N} (dx) = \ sum \ limits_ {x_i \ in N} f (x_i).

где запись $N (dx) {\ displaystyle N (dx)}$ $N (dx)$ интерпретирует точечный процесс как случайный счетный показатель ; см. Обозначение точечного процесса.

Приложения

Функционал Лапласа характеризует точечный процесс, и, если он известен как точечный процесс, его можно использовать для подтверждения различных результатов.

Определение вероятностных мер

Для некоторого метрического вероятностного пространства (X, d, μ), где (X, d) - это метрическое пространство, а μ - это вероятностная мера на борелевских множествах из (X, d), функционал Лапласа :

E (X, d, μ) (λ): = sup {∫ X e λ f (x) d μ (x) | f: X → R ограничено, 1-липшицево и имеет ∫ X f (x) d μ (x) = 0}. {\ displaystyle E _ {(X, d, \ mu)} (\ lambda): = \ sup \ left \ {\ left. \ int _ {X} e ^ {\ lambda f (x)} \, \ mathrm { d} \ mu (x) \ right | f \ двоеточие X \ to \ mathbb {R} {\ text {ограничено, 1-липшицево и имеет}} \ int _ {X} f (x) \, \ mathrm { d} \ mu (x) = 0 \ right \}.}

E _ {{(X, d, \ mu)}} (\ lambda): = \ sup \ left \ {\ left. \ int _ {{X}} e ^ {{\ lambda f (x)}} \, {\ mathrm {d}} \ mu (x) \ right | f \ двоеточие X \ to { \ mathbb {R}} {\ text {ограничено, 1-липшицево и имеет}} \ int _ {{X}} f (x) \, {\ mathrm {d}} \ mu (x) = 0 \ right \}.

Функционал Лапласа отображает положительную вещественную прямую на положительную (расширенную) действительную прямую, или в математической записи:

E (X, d, μ): [0, + ∞) → [0, + ∞] {\ displaystyle E _ {(X, d, \ mu)} \ двоеточие [0, + \ infty) \ к [0, + \ infty]}

E _ {{(X, d, \ mu)}} \ двоеточие [0, + \ infty) \ to [0, + \ infty]

Приложения

Функционал Лапласа от (X, d, μ) может использоваться для ограничения функции концентрации (X, d, μ), которая определяется для r>0 как

α ( Икс, d, μ) (г): знак равно sup {1 - μ (A r) ∣ A ⊆ X и μ (A) ≥ 1 2}, {\ displaystyle \ alpha _ {(X, d, \ mu)} (r): = \ sup \ {1- \ mu (A_ {r}) \ mid A \ substeq X {\ text {and}} \ mu (A) \ geq {\ tfrac {1} {2}} \ },}

\ alpha _ {{(X, d, \ mu)}} (r): = \ sup \ {1- \ mu (A _ {{r}}) \ mid A \ substeq X {\ text {and}} \ mu (A) \ geq {\ tfrac {1} {2}} \},

где

A r: = {x ∈ X ∣ d (x, A) ≤ r}. {\ displaystyle A_ {r}: = \ {x \ in X \ mid d (x, A) \ leq r \}.}

A _ {{r}}: = \ {x \ in X \ mid d (x, A) \ leq r \}.

Функционал Лапласа от (X, d, μ) затем дает отведение к верхнему граница:

α (X, d, μ) (r) ≤ inf λ ≥ 0 e - λ r / 2 E (X, d, μ) (λ). {\ displaystyle \ alpha _ {(X, d, \ mu)} (r) \ leq \ inf _ {\ lambda \ geq 0} e ^ {- \ lambda r / 2} E _ {(X, d, \ mu)} (\ lambda).}

\ alpha _ {(X, d, \ mu)}} (r) \ leq \ inf _ {{\ lambda \ geq 0}} e ^ {{- \ lambda r / 2}} E _ {{(X, d, \ mu)}} (\ lambda).

Примечания

Ссылки

Леду, Мишель (2001). Феномен концентрации меры. Математические обзоры и монографии. 89 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. с. x + 181. ISBN 0-8218-2864-9.MR 1849347