Множители Лагранжа на банаховых пространствах

В поле вариационное исчисление в математике, метод множителей Лагранжа на банаховых пространствах может быть использован для решения некоторых бесконечномерных ограниченных задач оптимизации. Метод является обобщением классического метода множителей Лагранжа, который используется для поиска экстремумов функции функции конечного числа переменных.

• 1 Теорема о множителях Лагранжа для банаховых пространств
• 2 Связь с конечномерным случаем
• 3 Применение
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Пусть X и Y являются действительными банаховыми пространствами. Пусть U - открытое подмножество X, и пусть f: U → R - непрерывно дифференцируемая функция. Пусть g: U → Y - другая непрерывно дифференцируемая функция, ограничение: цель состоит в том, чтобы найти экстремальные точки (максимумы или минимумы) функции f при условии, что g равно нулю.

Предположим, что u 0 является ограниченным экстремумом f, т.е. экстремумом f на

$g\; -\; 1\; (0)\; =\; \{x\; \in \; U\; \mid \; g\; (x)\; =\; 0\; \in \; Y\}\; \subseteq \; U.\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; ^\; \{-\; 1\}\; (0)\; =\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; U\; \backslash \; mid\; g\; (x)\; =\; 0\; \backslash \; in\; Y\; \backslash \}\; \backslash \; substeq\; U.\}$

Предположим также, что производная Фреше Dg (u 0): X → Y g в u 0 является предметной областью линейным отображением. Тогда существует множитель Лагранжа λ: Y → R в Y, двойное пространство к Y, такой, что

$D\; f\; (u\; 0)\; =\; \lambda \; \circ \; D\; g\; (u\; 0).\; (L)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{D\}\; f\; (u\_\; \{0\})\; =\; \backslash \; lambda\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathrm\; \{D\}\; g\; (u\_\; \{0\}).\; \backslash \; Quad\; \{\backslash \; t\_dv\; \{(L)\}\}\}$

Поскольку Df (u 0) является элементом дуального пространства X, уравнение (L) также может быть записано как

$D\; f\; (u\; 0)\; =\; (D\; g\; (u\; 0))\; \ast \; (\lambda ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{D\}\; f\; (u\_\; \{0\})\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathrm\; \{D\}\; g\; (u\_\; \{0\})\; \backslash \; right)\; ^\; \{*\}\; (\backslash \; lambda),\}$

где (Dg (u 0)) (λ) - это откат λ на Dg (u 0), то есть действие сопряженное отображение (Dg (u 0)) на λ, как определено как

$(D\; g\; (u\; 0))\; \ast \; (\lambda )\; =\; \lambda \; \circ \; D\; g\; (u\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathrm\; \{D\}\; g\; (u\_\; \{0\})\; \backslash \; right)\; ^\; \{*\}\; (\backslash \; lambda)\; =\; \backslash \; lambda\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathrm\; \{D\}\; g\; (u\_\; \{0\}).\}$

В случае, когда X и Y оба конечномерны (т.е. линейно изоморфны R и R для некоторых натуральных чисел m и n) тогда запись уравнения (L) в форме матрицы показывает, что λ - это обычный вектор множителя Лагранжа; в случае n = 1 λ - обычный множитель Лагранжа, действительное число.

Во многих задачах оптимизации стремятся минимизировать функционал, определенный в бесконечномерном пространстве, таком как банахово пространство.

Рассмотрим, например, пространство Соболева $X\; =\; H\; 0\; 1\; ([-\; 1,\; +\; 1];\; R)\; \{\backslash \; textstyle\; X\; =\; H\_\; \{0\}\; ^\; \{\; 1\}\; ([-\; 1,\; +\; 1];\; \backslash \; mathbb\; \{R\})\}$и функционал $f:\; X\; \to \; R\; \{\backslash \; textstyle\; f:\; X\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$определяется как

$f\; (u)\; =\; \int \; -\; 1\; +\; 1\; u\; \prime \; (x)\; 2\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (u)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; 1\}\; ^\; \{+\; 1\}\; u\; \text{'}(x)\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x.\}$

Без каких-либо ограничений минимальное значение f будет равно 0, что достигается при u 0 (x) = 0 для всех x между -1 и +1. Можно также рассмотреть задачу оптимизации с ограничениями, чтобы минимизировать f среди всех таких u ∈ X, что среднее значение u равно +1. В терминах приведенной выше теоремы ограничение g будет задано следующим образом:

$g\; (u)\; =\; 1\; 2\; \int \; -\; 1\; +\; 1\; u\; (x)\; dx\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (u)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{2\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; 1\}\; ^\; \{+\; 1\}\; u\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x-1.\}$

Однако эта проблема может быть решена, как и в конечномерном случае, поскольку Множитель Лагранжа $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$- это только скаляр.

• принцип минимума Понтрягина, гамильтонов метод в вариационном исчислении

• Люенбергер, Дэвид Г. (1969). «Локальная теория ограниченной оптимизации». Оптимизация методами векторного пространства. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. С. 239–270. ISBN 0-471-55359-X.
• Зейдлер, Эберхард (1995). Прикладной функциональный анализ: вариационные методы и оптимизация. Прикладные математические науки 109. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-9529-7.(См. Раздел 4.14, стр.270–271.)

В этой статье использован материал из множителей Лагранжа на банаховых пространствах на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.