Принцип максимума Понтрягина

Принцип максимума Понтрягина используется в теории оптимального управления, чтобы найти наилучшее возможное управление для перевода динамической системы из одного состояния в другое, особенно при наличии ограничений для состояния или входных элементов управления. В нем говорится, что необходимо для любого оптимального управления наряду с оптимальной государственной траекторией решить так называемую систему Гамильтон, которая два-точки а краевая задача, плюс максимальное состояние управления гамильтоново. Эти необходимые условия становятся достаточными при определенных условиях выпуклости на целевую функцию и функцию ограничения.

Принцип максимума был сформулирован в 1956 году русским математиком Львом Понтрягиным и его учениками, и его первоначальное применение заключалось в максимизации конечной скорости ракеты. Результат был получен с использованием идей классического вариационного исчисления. После небольшого возмущения оптимального управления рассматривается член первого порядка разложения Тейлора по возмущению; Обнуление возмущения приводит к вариационному неравенству, из которого следует принцип максимума.

Принцип максимума, широко рассматриваемый как веха в теории оптимального управления, заключается в том, что максимизировать гамильтониан намного проще, чем исходная задача бесконечномерного управления; вместо максимизации по функциональному пространству проблема преобразуется в точечную оптимизацию. Подобная логика приводит к принципу оптимальности Беллмана, связанному подходу к задачам оптимального управления, который утверждает, что оптимальная траектория остается оптимальной в промежуточные моменты времени. Полученное уравнение Гамильтона – Якоби – Беллмана обеспечивает необходимое и достаточное условие для оптимума и допускает прямое распространение на задачи стохастического оптимального управления, тогда как принцип максимума - нет. Однако в отличие от уравнения Гамильтона – Якоби – Беллмана, которое должно выполняться во всем пространстве состояний, принцип максимума Понтрягина потенциально более эффективен в вычислительном отношении, поскольку условия, которые он определяет, должны выполняться только для определенной траектории.

• 1 Обозначение
• 2 Формальная формулировка необходимых условий для задачи минимизации
• 3 См. Также
• 4 Примечания
• 5 ссылки
• 6 Дальнейшее чтение
• 7 Внешние ссылки

Для множества и функций и мы используем следующие обозначения: ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ Displaystyle \ Psi: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R},}$ ${\ Displaystyle H: \ mathbb {R} ^ {n} \ times {\ mathcal {U}} \ times \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R},}$ ${\ Displaystyle L: \ mathbb {R} ^ {n} \ times {\ mathcal {U}} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ times {\ mathcal {U}} \ to \ mathbb {R} ^ {n},}$

${\ Displaystyle \ Psi _ {T} (x (T)) = \ left. {\ frac {\ partial \ Psi (x)} {\ partial T}} \ right | _ {x = x (T)} \,}$

${\ Displaystyle \ Psi _ {x} (x (T)) = {\ begin {bmatrix} \ left. {\ frac {\ partial \ Psi (x)} {\ partial x_ {1}}} \ right | _ {x = x (T)} amp; \ cdots amp; \ left. {\ frac {\ partial \ Psi (x)} {\ partial x_ {n}}} \ right | _ {x = x (T)} \ end {bmatrix}}}$

${\ displaystyle H_ {x} (x ^ {*}, u ^ {*}, \ lambda ^ {*}, t) = {\ begin {bmatrix} \ left. {\ frac {\ partial H} {\ partial x_ {1}}} \ right | _ {x = x ^ {*}, u = u ^ {*}, \ lambda = \ lambda ^ {*}} amp; \ cdots amp; \ left. {\ frac {\ partial H} {\ partial x_ {n}}} \ right | _ {x = x ^ {*}, u = u ^ {*}, \ lambda = \ lambda ^ {*}} \ end {bmatrix}}}$

${\ displaystyle L_ {x} (x ^ {*}, u ^ {*}) = {\ begin {bmatrix} \ left. {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {1}}} \ right | _ {x = x ^ {*}, u = u ^ {*}} amp; \ cdots amp; \ left. {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {n}}} \ right | _ {x = x ^ {*}, u = u ^ {*}} \ end {bmatrix}}}$

${\ displaystyle f_ {x} (x ^ {*}, u ^ {*}) = {\ begin {bmatrix} \ left. {\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {1}}} \ right | _ {x = x ^ {*}, u = u ^ {*}} amp; \ cdots amp; \ left. {\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {n}}} \ right | _ {x = x ^ {*}, u = u ^ {*}} \\\ vdots amp; \ ddots amp; \ vdots \\\ left. {\ frac {\ partial f_ {n}} {\ partial x_ { 1}}} \ right | _ {x = x ^ {*}, u = u ^ {*}} amp; \ ldots amp; \ left. {\ Frac {\ partial f_ {n}} {\ partial x_ {n} }} \ right | _ {x = x ^ {*}, u = u ^ {*}} \ end {bmatrix}}}$

Здесь указаны необходимые условия минимизации функционала. Возьмем состояние динамической системы с входом, такое что ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle u}$

${\ Displaystyle {\ точка {х}} = е (х, и), \ квадроцикл х (0) = х_ {0}, \ квад и (т) \ ин {\ mathcal {U}}, \ квадро т \ в [0, T]}$

где - множество допустимых управлений, - конечный (т. е. конечный) момент системы. Элемент управления должен быть выбран для всех, чтобы минимизировать целевой функционал, который определяется приложением и может быть абстрагирован как ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle u \ in {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle t \ in [0, T]}$${\ displaystyle J}$

${\ Displaystyle J = \ Psi (x (T)) + \ int _ {0} ^ {T} L (x (t), u (t)) \, dt}$

Ограничения на динамику системы можно присоединить к лагранжиану, введя изменяющийся во времени вектор множителя Лагранжа, элементы которого называются костатами системы. Это мотивирует построение гамильтониана, определяемого для всех следующим образом: ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle t \ in [0, T]}$

${\ Displaystyle Н (Икс (т), и (т), \ лямбда (т), т) = \ лямбда ^ {\ rm {T}} (т) е (х (т), и (т)) + L (x (t), u (t)) \,}$

где это транспонирование. ${\ displaystyle \ lambda ^ {\ rm {T}}}$${\ displaystyle \ lambda}$

Принцип минимума Понтрягина гласит, что оптимальная траектория состояния, оптимальное управление и соответствующий вектор множителя Лагранжа должны минимизировать гамильтониан так, чтобы ${\ displaystyle x ^ {*}}$${\ displaystyle u ^ {*}}$${\ displaystyle \ lambda ^ {*}}$${\ displaystyle H}$

${\ Displaystyle (1) \ qquad H (х ^ {*} (t), u ^ {*} (t), \ lambda ^ {*} (t), t) \ leq H (x ^ {*} ( t), u, \ lambda ^ {*} (t), t) \,}$

на все время и для всех допустимых управляющих входов. Кроме того, уравнение стоимости и его конечные условия ${\ displaystyle t \ in [0, T]}$${\ displaystyle u \ in {\ mathcal {U}}}$

${\ displaystyle (2) \ qquad - {\ dot {\ lambda}} ^ {\ rm {T}} (t) = H_ {x} (x ^ {*} (t), u ^ {*} (t), \ lambda (t), t) = \ lambda ^ {\ rm {T}} (t) f_ {x} (x ^ {*} (t), u ^ {*} (t)) + L_ { x} (x ^ {*} (t), u ^ {*} (t))}$

${\ Displaystyle (3) \ qquad \ lambda ^ {\ rm {T}} (T) = \ Psi _ {x} (x (T)) \,}$

должен быть доволен. Если конечное состояние не является фиксированным (т. Е. Его дифференциальная вариация не равна нулю), оно также должно быть таким, чтобы ${\ Displaystyle х (Т)}$

${\ Displaystyle (4) \ qquad \ Psi _ {T} (x (T)) + H (T) = 0 \,}$

Эти четыре условия в (1) - (4) являются необходимыми условиями для оптимального управления. Обратите внимание, что (4) применяется только тогда, когда это бесплатно. Если он зафиксирован, то это условие не обязательно для оптимума. ${\ Displaystyle х (Т)}$

• Множители Лагранжа на банаховых пространствах, метод Лагранжа в вариационном исчислении

• Геринг, HP (2007). Оптимальное управление с помощью инженерных приложений. Springer. ISBN   978-3-540-69437-3.
• Кирк, DE (1970). Теория оптимального управления: введение. Прентис Холл. ISBN   0-486-43484-2.
• Ли, ЭБ; Маркус, Л. (1967). Основы теории оптимального управления. Нью-Йорк: Вили.
• Зейерстад, Атле; Сидсэтер, Кнут (1987). Теория оптимального управления с экономическими приложениями. Амстердам: Северная Голландия. ISBN   0-444-87923-4.

• "Принцип максимума Понтрягина", Математическая энциклопедия, EMS Press, 2001 [1994]