Переходная орбита Хомана

редактировать

Эллиптическая орбита, используемая для перехода между двумя круговыми орбитами разной высоты в одной плоскости

Переходная орбита Хомана, обозначенная 2, с орбиты (1) на более высокую орбиту (3)

Пример переходной орбиты Хомана. InSight ·Земля ·Марс

В орбитальной механике, переходная орбита Хомана () - это эллиптическая орбита, используемая для перехода между двумя круговыми орбитами разных радиусов вокруг центральное тело в той же плоскости . При передаче Хомана часто используется наименьшее возможное количество топлива при перемещении между этими орбитами, но биэллиптические передачи могут превзойти его в некоторых случаях.

Орбитальный маневр для выполнения перехода Хомана использует два импульса двигателя: один для перемещения космического корабля на переходную орбиту, а второй - для сдвинуть это. Этот маневр был назван в честь Вальтера Хомана, немецкого ученого, который опубликовал его описание в своей книге 1925 года Die Erreichbarkeit der Himmelskörper (Достижимость небесных тел). На Хомана частично повлияли немецкий писатель-фантаст Курд Лассвиц и его книга 1897 года Две планеты.

Эллиптические орбиты перехода между разными телами (планетами, лунами и т. Д.) Часто называют Переходные орбиты Хомана. При использовании для путешествий между небесными телами переходная орбита Хомана требует, чтобы начальная и конечная точки находились в определенных местах на их орбитах относительно друг друга. Космические миссии с использованием передачи Хомана должны дождаться этого необходимого выравнивания, которое открывает так называемое окно запуска. Например, для космической миссии между Землей и Марсом эти окна запуска происходят каждые 26 месяцев. Переходная орбита Хомана также определяет фиксированное время, необходимое для путешествия между начальной и конечной точками; для путешествия Земля-Марс это время в пути составляет около 9 месяцев. Когда перемещение осуществляется между орбитами, близкими к небесным телам со значительной гравитацией, обычно требуется гораздо меньше дельта-v, поскольку для ожогов может использоваться эффект Оберта.

Они также часто используются в этих ситуациях, но передача энергии с низким энергопотреблением, которая учитывает ограничения тяги реальных двигателей и использует преимущества гравитационных скважин обеих планет, может быть более эффективной. экономия топлива.

Содержание

1 Пояснение
- 1.1 Тип I и тип II
2 Расчет
3 Пример
4 Худший случай, максимальное дельта-v
5 Применение для межпланетных путешествий
6 Сравнение с другими передачами
- 6.1 Биэллиптическая передача
- 6.2 Передача с малой тягой
- 6.3 Межпланетная транспортная сеть
7 См. Также
8 Цитаты
9 Источники
10 Внешние ссылки

Пояснение

На схеме показана переходная орбита Хомана для перевода космического корабля с нижней круговой орбиты на более высокую. Это половина эллиптической орбиты , которая касается как нижней круговой орбиты, которую космический аппарат желает покинуть (синяя и обозначена цифрой 1 на диаграмме), так и верхней круговой орбиты, которую он хочет достичь (красная и обозначенная 3 на диаграмму). Передача (желтая и обозначенная цифрой 2 на диаграмме) инициируется запуском двигателя космического корабля, чтобы разогнать его так, чтобы он двигался по эллиптической орбите. Это добавляет энергии на орбиту космического корабля. Когда космический корабль достиг своей целевой орбиты, его орбитальная скорость (и, следовательно, его орбитальная энергия) должна быть снова увеличена, чтобы изменить эллиптическую орбиту на большую круговую.

Из-за обратимости орбит переходные орбиты Хомана также работают для перевода космического корабля с более высокой орбиты на более низкую; в этом случае двигатель космического корабля запускается в направлении, противоположном его текущей траектории, замедляя космический корабль и заставляя его упасть на эллиптическую орбиту с меньшей энергией. Затем двигатель снова запускается на меньшем расстоянии, чтобы замедлить космический корабль на нижней круговой орбите.

Переходная орбита Хомана основана на двух мгновенных изменениях скорости. Дополнительное топливо требуется, чтобы компенсировать то, что взрывы требуют времени; это сводится к минимуму за счет использования двигателей большой тяги для минимизации продолжительности всплесков. Для перемещений по околоземной орбите два ожога обозначаются как ожог перигея и ожог апогея (или «» удар апогея ); в более общем плане они называются ожогами периапсиса и апоапсиса. В качестве альтернативы, второй ожог для округления орбиты может называться кольцевым ожогом.

Тип I и Тип II

Идеальная переходная орбита Гомана переходит между двумя круговыми орбитами в одной плоскости и проходит точно на 180 ° вокруг главного элемента. В реальном мире орбита назначения может не быть круговой и не компланарна начальной орбите. В реальном мире переходные орбиты могут проходить немного больше или немного меньше 180 ° вокруг главного источника. Орбита, которая проходит менее 180 ° вокруг первичной обмотки, называется переходом Хомана "Типа I", а орбита, которая проходит более 180 °, называется переходом Хомана "Типа II".

Расчет

Для небольшого тела, вращающегося вокруг другого гораздо более крупного тела, например спутника, вращающегося вокруг Земли, полная энергия меньшего тела представляет собой сумму его кинетической энергии и потенциальной энергии, и эта полная энергия также равна половине потенциала на среднем расстоянии $a {\ displaystyle a}$ $a$ (большая полуось ):

E = mv 2 2 - GM mr = - GM m 2 a. {\ displaystyle E = {\ frac {mv ^ {2}} {2}} - {\ frac {GMm} {r}} = {\ frac {-GMm} {2a}}.}

{\ displaystyle E = {\ frac {mv ^ {2}} {2}} - {\ frac {GMm} {r}} = {\ frac {-GMm} {2a}}.}

Решение этого уравнения для скорости приводит к уравнению vis-viva,

v 2 = μ (2 r - 1 a), {\ displaystyle v ^ {2} = \ mu \ left ({\ frac {2} {r} } - {\ frac {1} {a}} \ right),}

{\ displaystyle v ^ {2} = \ mu \ left ({\ frac {2} {r}} - {\ fr ac {1} {a}} \ right),}

где:

$v {\ displaystyle v}$ $v$ - скорость движущегося по орбите тела,
$μ = GM {\ displaystyle \ mu = GM}$ $\ mu = GM$ - стандартный гравитационный параметр основного тела, предполагая, что $M + m {\ displaystyle M + m}$ ${\ displaystyle M + m}$ ненамного больше, чем $M {\ displaystyle M}$ $M$ (что делает $v M ≪ v {\ displaystyle v_ {M} \ ll v}$ ${\ displaystyle v_ {M} \ ll v}$ ),
$r {\ displaystyle r }$ $r$ - это расстояние вращающегося тела от первичного фокуса,
$a {\ displaystyle a}$ $a$ - большая полуось орбиты тела..

Следовательно, дельта-v (Δv), необходимая для передачи Хомана, может быть вычислена следующим образом в предположении мгновенных импульсов:

Δ v 1 = μ r 1 (2 r 2 r 1 + r 2 - 1), {\ display стиль \ Delta v_ {1} = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {r_ {1}}}} \ left ({\ sqrt {\ frac {2r_ {2}} {r_ {1} + r_ {2 }}}} - 1 \ right),}

\ Delta v_ {1} = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {r_ {1}}}} \ left ({\ sqrt {\ frac {2r_ {2}} {r_ {1} + r_ {2}}}} - 1 \ right),

для входа на эллиптическую орбиту в точке $r = r 1 {\ displaystyle r = r_ {1}}$ $r = r_ {1}$ из $r 1 {\ displaystyle r_ {1}}$ $r_ {1}$ круговая орбита

Δ v 2 = μ r 2 (1-2 r 1 r 1 + r 2), {\ displaystyle \ Delta v_ {2} = { \ sqrt {\ frac {\ mu} {r_ {2}}}} \ left (1 - {\ sqrt {\ frac {2r_ {1}} {r_ {1} + r_ {2}}}} \ right),}

{\ displaystyle \ Delta v_ {2} = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {r_ {2}}}} \ left (1 - {\ sqrt {\ frac {2r_ {1 }} {r_ {1} + r_ {2}}}} \ right),}

, чтобы покинуть эллиптическую орбиту в $r = r 2 {\ displaystyle r = r_ {2}}$ ${\ displaystyle r = r_ {2}}$ до $r 2 {\ displaystyle r_ {2}}$ $r_ {2}$ круговая орбита, где $r 1 {\ displaystyle r_ {1}}$ $r_ {1}$ и $r 2 {\ displaystyle r_ {2}}$ $r_ {2}$ соответственно радиусы круговых орбит вылета и прилета; меньшее (большее) из $r 1 {\ displaystyle r_ {1}}$ $r_ {1}$ и $r 2 {\ displaystyle r_ {2}}$ $r_ {2}$ соответствует перицентрическое расстояние (апоапсисное расстояние ) эллиптической переходной орбиты Гомана. Обычно $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ дается в единицах м / с, поэтому для $r 1 {\ displaystyle r_ {1 обязательно используйте метры, а не километры. }}$ $r_ {1}$ и $r 2 {\ displaystyle r_ {2}}$ $r_ {2}$ . Итого $Δ v {\ displaystyle \ Delta v}$ $\ Delta v$ тогда будет:

Δ v total = Δ v 1 + Δ v 2. {\ displaystyle \ Delta v _ {\ text {total}} = \ Delta v_ {1} + \ Delta v_ {2}.}

{\ displaystyle \ Delta v _ {\ text {total}} = \ Delta v_ {1} + \ Delta v_ {2}. }

Перемещение на более высокую или низкую орбиту по третьему закону Кеплера, время, необходимое для перехода между орбитами, равно

t H = 1 2 4 π 2 a H 3 μ = π (r 1 + r 2) 3 8 μ {\ displaystyle t _ {\ text {H}} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {4 \ pi ^ {2} a _ {\ text {H}} ^ {3}} {\ mu}}} = \ pi {\ sqrt { \ frac {(r_ {1} + r_ {2}) ^ {3}} {8 \ mu}}}}

{\ displaystyle t _ {\ text {H}} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {4 \ pi ^ {2} a _ {\ text {H}} ^ {3}} {\ mu}}} = \ pi {\ sqrt {\ frac {(r_ {1} + r_ {2}) ^ {3}} {8 \ mu}}}}

(половина орбитального периода для всего эллипса), где $a H {\ displaystyle a _ {\ text {H}}}$ ${\ displaystyle a_ {\ text {H}}}$ - длина большой полуоси переходной орбиты Гомана.

При переходе от одного небесного тела к другому очень важно начинать маневр в то время, когда два тела правильно выровнены. Учитывая, что целевая угловая скорость

ω 2 = μ r 2 3, {\ displaystyle \ omega _ {2} = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {r_ {2} ^ {3}}}}, }

{\ displaystyle \ omega _ {2} = {\ sqrt { \ frac {\ mu} {r_ {2} ^ {3}}}},}

угловое выравнивание α (в радианах ) во время старта между исходным объектом и целевым объектом должно быть

α = π - ω 2 t H = π (1 - 1 2 2 (г 1 г 2 + 1) 3). {\ displaystyle \ alpha = \ pi - \ omega _ {2} t _ {\ text {H}} = \ pi \ left (1 - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {2}}}} {\ sqrt {\ left ({\ frac {r_ {1}} {r_ {2}}} + 1 \ right) ^ {3}}} \ right).}

{\ displaystyle \ alpha = \ pi - \ omega _ {2} t _ {\ text {H}} = \ pi \ left (1 - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {2) }}}} {\ sqrt {\ left ({\ frac {r_ {1}} {r_ {2}}} + 1 \ right) ^ {3}}} \ right).}

Пример

Общий энергетический баланс во время Хомана переход между двумя круговыми орбитами с первым радиусом

rp {\ displaystyle r_ {p}}

r_ {p}

и вторым радиусом

ra {\ displaystyle r_ {a}}

r_ {a}

Рассмотрим геостационарную станцию переходная орбита, начиная с r 1 = 6,678 км (высота 300 км) и заканчивая геостационарной орбитой с r 2 = 42,164 км (высота 35,786 км).

На меньшей круговой орбите скорость составляет 7,73 км / с; в большем - 3,07 км / с. На эллиптической орбите между ними скорость изменяется от 10,15 км / с в перигее до 1,61 км / с в апогее.

Следовательно, Δv для первого пробега составляет 10,15 - 7,73 = 2,42 км / с, для второго пробега 3,07 - 1,61 = 1,46 км / с и для обоих вместе 3,88 км / с.

Это больше, чем Δv, требуемое для орбиты ухода : 10,93–7,73 = 3,20 км / с. Применение Δv на низкой околоземной орбите (LEO) только на 0,78 км / с больше (3,20–2,42) даст ракете скорость убегания, что меньше, чем Δv 1,46 км / с, необходимые для создания круговой геостационарной орбиты. Это иллюстрирует эффект Оберта, который на больших скоростях тот же Δv обеспечивает более удельной орбитальной энергии, и увеличение энергии максимизируется, если расходовать Δv как можно быстрее, а не тратить часть замедляется под действием силы тяжести, а затем тратится еще немного, чтобы преодолеть замедление (конечно, цель переходной орбиты Хомана другая).

Наихудший случай, максимальное значение delta-v

Как показывает приведенный выше пример, Δv, необходимое для выполнения перехода Хомана между двумя круговыми орбитами, не является наибольшим, когда радиус назначения бесконечен. (Скорость покидания равна √2 орбитальной скорости, поэтому Δv, необходимая для побега, составляет √2 - 1 (41,4%) от орбитальной скорости.) Требуемая Δv является наибольшей (53,0% от меньшей орбитальной скорости), когда радиус большей орбита в 15.5817... раз больше, чем у меньшей орбиты. Это число является положительным корнем из x - 15 x - 9 x - 1 = 0, что равно $5 + 4 7 cos ⁡ (1 3 arctan ⁡ 3 37) {\ displaystyle 5 + 4 \, {\ sqrt { 7}} \ cos \ left ({1 \ over 3} \ arctan {{\ sqrt {3}} \ over 37} \ right)}$ ${\ displaystyle 5 + 4 \, {\ sqrt {7}} \ cos \ left ({1 \ over 3} \ arctan {{\ sqrt {3}}) \ over 37} \ right)}$ . Для более высоких отношений орбиты Δv, необходимая для второго горения, уменьшается быстрее, чем увеличивается при первом.

Применение для межпланетных путешествий

Когда космический корабль используется для перемещения космического корабля с орбиты одной планеты на орбиту другой, ситуация становится несколько более сложной, но требуется гораздо меньше дельта-v из-за эффект Оберта, чем сумма дельта-v, необходимая для ухода с первой планеты, плюс дельта-v, необходимая для перехода Хомана на вторую планету.

Например, рассмотрим космический корабль, путешествующий с Земли на Марс. В начале своего путешествия космический корабль уже будет иметь определенную скорость и кинетическую энергию, связанные с его орбитой вокруг Земли. Во время горения ракетный двигатель применяет дельта-v, но кинетическая энергия возрастает по квадратичному закону, пока не становится достаточной для выхода из гравитационного потенциала планеты, а затем горит больше, чтобы получить достаточно энергии для выйти на переходную орбиту Хомана (вокруг Солнца ). Поскольку ракетный двигатель может использовать начальную кинетическую энергию пороха, требуется гораздо меньше дельта-v сверх того, что необходимо для достижения космической скорости, и оптимальная ситуация - когда переносное горение производится на минимальной высоте ( низкий перицентр ) над планетой. Требуемая дельта-v составляет всего 3,6 км / с, что примерно на 0,4 км / с больше, чем необходимо для ухода с Земли, хотя это приводит к тому, что космический корабль движется на 2,9 км / с быстрее Земли, когда он направляется к Марсу (см. Таблицу ниже).

С другой стороны, космическому кораблю потребуется определенная скорость для орбиты Марса, которая на самом деле будет меньше, чем скорость, необходимая для продолжения вращения Солнца по переходной орбите, не говоря уже о попытках обойти Солнце по орбите. Марсианская орбита. Следовательно, космический корабль должен будет замедлиться, чтобы гравитация Марса захватила его. Этот захват должен оптимально выполняться на небольшой высоте, чтобы также наилучшим образом использовать эффект Оберта. Следовательно, для организации перехода необходимы относительно небольшие значения тяги на обоих концах пути по сравнению с ситуацией свободного пространства.

Однако при любом перемещении Хомана выравнивание двух планет на их орбитах имеет решающее значение - планета назначения и космический корабль должны прибыть в одну и ту же точку на своих соответствующих орбитах вокруг Солнца в одно и то же время. Это требование к выравниванию приводит к появлению концепции окон запуска.

Термин переходная орбита Луны (LTO) используется для Луны.

. Можно применить приведенную выше формулу для расчета Δv в км / с, необходимых для выхода на переходную орбиту Хомана для прибытия в различные пункты назначения с Земли (предполагая круговые орбиты планет). В этой таблице столбец, обозначенный «Δv для входа на орбиту Хомана с орбиты Земли», показывает изменение скорости Земли на скорость, необходимую для попадания на эллипс Хомана, другой конец которого будет на желаемом расстоянии от Солнца. В столбце с надписью «v при выходе с НОО» указана необходимая скорость (в невращающейся системе отсчета с центром на Земле) на высоте 300 км над поверхностью Земли. Это достигается путем добавления к удельной кинетической энергии квадрата скорости (7,73 км / с) этой низкой околоземной орбиты (то есть глубины гравитационного колодца Земли на этой низкой околоземной орбите). Столбец «Δv от LEO» - это просто предыдущая скорость минус 7,73 км / с.

Пункт назначения	Орбитальный. радиус. (AU )	Δv (км / с)
Пункт назначения	Орбитальный. радиус. (AU )	для выхода на орбиту Хомана. с орбиты Земли	при выходе с. LEO	из. LEO
Солнце	0	29,8	31,7	24,0
Меркурий	0,39	7,5	13,3	5,5
Венера	0,72	2,5	11,2	3,5
Марс	1,52	2,9	11,3	3,6
Юпитер	5,2	8,8	14,0	6,3
Сатурн	9,54	10,3	15,0	7,3
Уран	19,19	11,3	15,7	8,0
Нептун	30,07	11,7	16,0	8,2
Плутон	39,48	11,8	16,1	8,4
Бесконечность	∞	12,3	16,5	8,8

Обратите внимание, что в большинстве случаев Δv от LEO меньше Δv для выхода на орбиту Хомана с орбиты Земли.

Чтобы добраться до Солнца, на самом деле нет необходимости использовать Δv 24 км / с. Можно использовать 8,8 км / с, чтобы уйти очень далеко от Солнца, затем использовать пренебрежимо малое Δv, чтобы довести угловой момент до нуля, и затем упасть на Солнце. Это можно рассматривать как последовательность двух передач Хомана, одну вверх и одну вниз. Кроме того, в таблице не указаны значения, которые могли бы применяться при использовании Луны для гравитационной помощи. Существуют также возможности использования одной планеты, например Венеры, до которой легче всего добраться, чтобы помочь добраться до других планет или Солнца.

Сравнение с другими перемещениями

Биэллиптический перенос

Биэллиптический перенос состоит из двух полуэллиптических орбит. С начальной орбиты при первом прожиге используется delta-v, чтобы вывести космический аппарат на первую переходную орбиту с апоапсисом в некоторой точке $rb {\ displaystyle r_ {b}}$ $r_b$ вдали от центрального тела. В этот момент второй ожог отправляет космический аппарат на вторую эллиптическую орбиту с периапсисом на радиусе конечной желаемой орбиты, где выполняется третий ожог, выводящий космический аппарат на желаемую орбиту.

Хотя для них требуется на один цикл двигателя больше, чем для передачи Хомана, и, как правило, требуется большее время в пути, для некоторых биэллиптических передач требуется меньшее общее значение дельта-v, чем для передачи Хомана, когда отношение конечного к начальному полу -большая ось составляет 11,94 или больше, в зависимости от выбранной промежуточной большой полуоси.

Идея двухэллиптической траектории перемещения была впервые опубликована Ари Стернфельдом в 1934 году..

Переход с малой тягой

Двигатели с малой тягой могут выполнять приближение переходной орбиты Хомана, создавая постепенное расширение начальной круговой орбиты за счет тщательно спланированных запусков двигателей. Для этого требуется изменение скорости (delta-v), которое больше, чем орбита с двумя импульсами, и требуется больше времени для завершения.

Такие двигатели, как ионные двигатели труднее анализировать с помощью модели дельта-v. Эти двигатели предлагают очень низкую тягу и в то же время гораздо больший бюджет дельта-v, гораздо более высокий удельный импульс, меньшую массу топлива и двигателя. Маневр Хомана с двумя перерывами был бы непрактичен с такой низкой тягой; маневр в основном оптимизирует использование топлива, но в этой ситуации его относительно много.

Если в миссии запланированы только маневры с малой тягой, то непрерывная работа двигателя с малой тягой, но с очень высоким КПД может привести к более высокому дельта-v и в то же время потреблять меньше топлива, чем у обычного химический ракетный двигатель.

Переход с одной круговой орбиты на другую путем постепенного изменения радиуса просто требует того же дельта-v, что и разница между двумя скоростями. Такой маневр требует большего треугольника, чем маневр Хомана с двумя перерывами, но делает это с постоянной низкой тягой, а не с короткими приложениями высокой тяги.

Количество использованного пороха измеряет эффективность маневра плюс оборудование, используемое для него. Общая использованная дельта-v измеряет только эффективность маневра. Для систем электрических силовых установок, которые имеют тенденцию быть малой тяги, высокая эффективность пропульсивной системы обычно компенсирует более высокое дельта-V по сравнению с более эффективным маневром Хомана.

Переходные орбиты с использованием электрической тяги или двигателей малой тяги оптимизируют время перехода для достижения конечной орбиты, а не дельта-v, как на переходной орбите Хомана. Для геостационарной орбиты начальная орбита устанавливается как суперсинхронная, и за счет непрерывной тяги в направлении скорости в апогее переходная орбита трансформируется в круговую геосинхронную. Однако реализация этого метода занимает гораздо больше времени из-за малой тяги, вводимой на орбиту.

Межпланетная транспортная сеть

В 1997 году была создана группа орбит, известная как Межпланетная транспортная сеть (ITN). опубликовано, обеспечивая даже более низкие двигательные дельта-v (хотя и гораздо более медленные и длинные) пути между разными орбитами, чем переходные орбиты Хомана. Межпланетная транспортная сеть отличается по своей природе от передач Хомана, потому что переносы Хомана предполагают только одно большое тело, а межпланетная транспортная сеть - нет. Межпланетная транспортная сеть может использовать менее тяговую дельта-v за счет использования гравитационной помощи с планет.

См. Также

Портал космического полета

Цитаты

Источники

Walter Hohmann (1925). Die Erreichbarkeit der Himmelskörper. Verlag Oldenbourg в Мюнхене. ISBN 3-486-23106-5.
Thornton, Stephen T.; Мэрион, Джерри Б. (2003). Классическая динамика частиц и систем (5-е изд.). Брукс Коул. ISBN 0-534-40896-6.
Бейт, Р.Р., Мюллер, Д.Д., Уайт, Дж. Э. (1971). Основы астродинамики. Dover Publications, Нью-Йорк. ISBN 978-0-486-60061-1. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
Валладо, Д.А. (2001). Основы of Astrodynamics and Applications, 2nd Edition. Springer. ISBN 978-0-7923-6903-5.
Баттин, Р.Х. (1999). Введение в математику и методы астродинамики. Институт аэронавтики и астрономии, Вашингтон, округ Колумбия. ISBN 978-1-56347-342-5.

Внешние ссылки

«Орбитальная механика». Ракетные и космические технологии. Роберт А. Брауниг. Архивировано из оригинала 4 февраля 2012 г. Получено 17 августа 2005 г.
«4. Межпланетные траектории». Основы космического полета. JPL: НАСА.