Теорема Грушко

В математике предмете теории групп теорема Грушко или теорема Грушко – Неймана - это теорема, утверждающая, что ранг (то есть наименьшая мощность порождающего множества ) бесплатного продукта двух групп равна сумме рангов двух свободных факторов. Теорема была впервые получена в статье Грушко 1940 года, а затем, независимо, в статье 1943 года Нейман.

• 1 Формулировка теоремы
• 2 История и обобщения
• 3 Разложение Грушко теорема
• 4 Набросок доказательства с использованием теории Басса – Серра
• 5 Набросок доказательства Столлинга
  • 5.1 Лемма
  • 5.2 Построение связывающей связи
  • 5.3 Доказательство теоремы Грушко
• 6 См. также
• 7 Примечания

Пусть A и B будут конечно порожденными группами и пусть A ∗ B будет свободным произведением групп A и B. Тогда

rank (A ∗ B) = rank (A) + rank (B).

Очевидно, что rank (A ∗ B) ≤ rank (A) + rank (B), поскольку если X является конечное порождающее множество A и Y - конечное порождающее множество B, тогда X∪Y - порождающее множество для A ∗ B и что | X∪Y | ≤ | X | + | Y |. Противоположное неравенство, rank (A ∗ B) ≥ rank (A) + rank (B), требует доказательства.

Грушко, но не Нейман, доказал более точную версию теоремы Грушко в терминах эквивалентности Нильсена. Он утверждает, что если M = (g 1, g 2,..., g n) является набором из n элементов G = A ∗ B такой, что M порождает G, = G, тогда M эквивалентен по Нильсену в G кортежу из n элементов форма

M '= (a 1,..., a k, b 1,..., b n − k), где {a 1,..., a k } ⊆A - генераторная установка для A и где {b 1,..., b n − k } ⊆B является порождающим множеством для B. В частности, rank (A) ≤ k, rank (B) ≤ n - k и rank (A) + rank (B) ≤ к + (п - к) = п. Если взять M в качестве минимального порождающего кортежа для G, то есть с n = rank (G), это означает, что rank (A) + rank (B) ≤ rank (G). Поскольку противоположное неравенство, rank (G) ≤ rank (A) + rank (B), очевидно, отсюда следует, что rank (G) = rank (A) + rank (B), что и требуется.

После первоначальных доказательств Грушко (1940) и Неймана (1943) было много последующих альтернативных доказательств, упрощений и обобщений теоремы Грушко. Близкая версия оригинального доказательства Грушко приведена в книге Куроша.

1955 года. Как и исходные доказательства, доказательство Линдона (1965) основывалось на рассмотрении функций длины, но с существенными упрощениями. Статья 1965 года Столлингса дала сильно упрощенное топологическое доказательство теоремы Грушко.

В статье Цишанга 1970 года была дана эквивалентность Нильсена версия теоремы Грушко (указанная выше) и даны некоторые обобщения теоремы Грушко для объединенных свободных произведений. Скотт (1974) дал другое топологическое доказательство теоремы Грушко, вдохновленное методами топологии 3-многообразия. Имрих (1984) дал версию теоремы Грушко для свободных произведений с бесконечным числом множителей.

В статье Чизуэлла 1976 г. дается относительно прямое доказательство теоремы Грушко, основанное на доказательстве Столлингса 1965 г., в котором использовались методы теории Басса – Серра. Аргумент непосредственно вдохновил механизм сверток для групповых действий на деревьях и для графов групп, а также еще более прямое доказательство теоремы Грушко Диксом (см., Например,).

Теорема Грушко в некотором смысле является отправной точкой в ​​теории доступности Данвуди для конечно порожденных и конечно определенных групп. Поскольку ранги свободных факторов меньше ранга свободного произведения, из теоремы Грушко следует, что процесс повторного расщепления конечно порожденной группы G как свободного произведения должен завершаться за конечное число шагов (точнее, в самые ранговые (G) ступени). Естественный аналогичный вопрос возникает для повторения расщеплений конечно порожденных групп над конечными подгруппами. Данвуди доказал, что такой процесс всегда должен завершаться, если группа G конечно представима, но может продолжаться вечно, если G конечно порождена, но не конечно представима.

Алгебраическое доказательство существенного обобщения теоремы Грушко с использованием аппарата группоидов был дан Хиггинсом (1966). Теорема Хиггинса начинается с групп G и B со свободными разложениями G = ∗ iGi, B = ∗ iBiи f: G → B морфизмом таким, что f (G i) = B i для всех i. Пусть H - подгруппа группы G такая, что f (H) = B. Тогда H имеет разложение H = ∗ iHiтакое, что f (H i) = B i для все я. Полную информацию о доказательстве и приложениях можно также найти в.

Полезным следствием исходной теоремы Грушко является так называемая теорема Грушко о разложении. Он утверждает, что любая нетривиальная конечно порожденная группа G может быть разложена как свободное произведение

G = A 1∗A2∗... ∗ A r∗Fs, где s ≥ 0, r ≥ 0,

где каждая из групп A i нетривиальна, свободно неразложима (то есть не может быть разложена как свободное произведение) и не бесконечна циклическая, и где F s - это свободная группа ранга s; более того, для данного G группы A 1,..., A r уникальны с точностью до перестановки их классов сопряженности в G (и (в частности, последовательность типов изоморфизма этих групп уникальна с точностью до перестановки), и числа s и r также уникальны.

Точнее, если G = B 1 ∗... ∗ B k∗Ft- другое такое разложение, то k = r, s = t, и существует перестановка σ∈S r такое, что для каждого i = 1,..., r подгруппы A i и B σ (i) равны сопряженное в G.

Существование указанного выше разложения, называемого разложением Грушко группы G, является непосредственным следствием исходной теоремы Грушко, в то время как утверждение единственности требует дополнительные аргументы (см. например).

Алгоритмическое вычисление разложения Грушко для определенных классов групп - сложная проблема, которая в первую очередь требует возможности определить, является ли данная группа свободно разложимой. Положительные результаты доступны для некоторых классов групп, таких как словесно-гиперболические группы без кручения, некоторые классы относительно гиперболических групп, фундаментальные группы конечных графов конечно порожденных свободных групп и другие.

Теорема Грушко о разложении является теоретико-групповым аналогом теоремы Кнезера о простых разложениях для 3-многообразий, которая гласит, что замкнутое 3-многообразие можно однозначно разложить как связная сумма неприводимых трехмерных многообразий.

Ниже приводится набросок доказательства теоремы Грушко, основанного на использование техники сворачивания для групп, действующих на деревьях (см. полные доказательства с использованием этого аргумента).

Пусть S = {g 1,...., g n } - конечное порождающее множество для G = A ∗ B размера | S | = п = ранг (G). Представьте G как фундаментальную группу графа групп Y, которая представляет собой одно ребро без петель с группами вершин A и B и с тривиальной группой ребер. Пусть $Y\; ~\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathbf\; \{Y\}\}\}\}$будет покрывающим деревом Басса – Серра для Y . Пусть F = F (x 1,...., x n) будет свободной группой со свободным базисом x 1,...., x n и пусть φ 0 : F → G будет гомоморфизмом таким, что φ 0(xi) = g i для i = 1,..., n. Реализуйте F как фундаментальную группу графа Z 0, которая представляет собой клин из n окружностей, соответствующих элементам x 1,...., x n. Мы также думаем о Z0как о графе групп с нижележащим графом Z 0 и тривиальными группами вершин и ребер. Тогда универсальное покрытие $Z\; ~\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{Z\}\}\; \_\; \{0\}\}$of Z 0 и покрывающее дерево Басса – Серра для Z0совпадают. Рассмотрим φ 0 -эквивариантное отображение $r\; 0:\; Z\; ~\; 0\; \to \; Y\; ~\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{0\}:\; \{\backslash \; tilde\; \{Z\}\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; tilde\; \{\; \backslash \; mathbf\; \{Y\}\}\}\}$, чтобы он отправлял вершины в вершины и ребра в пути ребер. Эта карта не является инъективной, и, поскольку и источник, и цель карты являются деревьями, эта карта "сворачивает" некоторые пары ребер в источнике. График групп Z0служит в качестве начального приближения для Y.

Теперь мы начинаем выполнять последовательность «складывающихся ходов» на Z0(и на его покрывающем дереве Басса-Серра), чтобы построить последовательность графики групп Z0, Z1, Z2,...., которые образуют все лучшие и лучшие приближения для Y . Каждый из графов групп Zjимеет тривиальные группы ребер и имеет следующую дополнительную структуру: каждой нетривиальной группе вершин этой группы назначено конечное порождающее множество этой группы вершин. Сложность c (Zj) элемента Zj- это сумма размеров порождающих множеств его групп вершин и ранга свободной группы π 1(Zj). Для графика начального приближения c (Z0) = n.

Свертки, которые переходят от Zjк Zj + 1, могут быть одного из двух типов:

• сгибы, которые идентифицируют два ребра основного графа с общей начальной вершиной, но отдельные концевые вершины в одно ребро; когда выполняется такое сворачивание, порождающие множества групп вершин и концевых ребер «объединяются» вместе в порождающий набор новой группы вершин; ранг фундаментальной группы нижележащего графа не изменяется при таком перемещении.
• складывает два ребра, которые уже имели общие начальные вершины и общие конечные вершины, в одно ребро; такой ход понижает ранг фундаментальной группы нижележащего графа на 1, и элемент, который соответствует циклу в сворачиваемом графе, «добавляется» к порождающему множеству одной из групп вершин.

Один видит, что движения складывания не увеличивают сложность, но уменьшают количество ребер в Z j. Следовательно, процесс сворачивания должен заканчиваться за конечное число шагов графом групп Zk, которые больше нельзя сворачивать. Из основных соображений теории Басса – Серра следует, что Zkфактически должен быть равен краю групп Y и что Zkимеет конечные порождающие наборы для группы вершин A и B. Сумма размеров этих порождающих наборов равна сложности Zk, которая, следовательно, меньше или равна c (Z0) = n. Отсюда следует, что сумма рангов групп вершин A и B не превосходит n, т.е. rank (A) + rank (B) ≤rank (G), как требуется.

Столлинг доказательство теоремы Грушко следует из следующей леммы.

Лемма

Пусть F конечно порожденная свободная группа с n образующими. Пусть G 1 и G 2 - две конечно определенные группы. Предположим, что существует сюръективный гомоморфизм $\varphi :\; F\; \to \; G\; 1\; \ast \; G\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi:\; F\; \backslash \; rightarrow\; G\_\; \{1\}\; \backslash \; ast\; G\_\; \{2\}\}$, тогда существуют две подгруппы F 1 и F 2 из F с $\varphi \; (F\; 1)\; =\; G\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (F\_\; \{1\})\; =\; G\_\; \{1\}\}$и $\varphi \; (F\; 2)\; =\; G\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (F\_\; \{2\})\; =\; G\_\; \{2\}\}$такие, что $F\; =\; F\; 1\; \ast \; F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; F\_\; \{1\}\; \backslash \; ast\; F\_\; \{2\}\}$.

Доказательство: Мы даем доказательство, предполагая, что F не имеет генератора, который отображается в тождество $G\; 1\; \ast \; G\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{1\}\; \backslash \; ast\; G\_\; \{2\}\}$, поскольку, если такие генераторы есть, они могут быть добавлены к любому из $F\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{1\}\}$или $F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2\}\}$.

В доказательстве используются следующие общие результаты.

1. Существует одно- или двумерный комплекс CW, Z с фундаментальной группой F. Согласно теореме Ван Кампена, клин из n окружностей является одним из таких пространств.

2. Существует два комплекса $X\; =\; X\; 1\; \cup \; X\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; X\_\; \{1\}\; \backslash \; cup\; X\_\; \{2\}\}$, где $\{p\}\; =\; X\; 1\; \cap \; X\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{p\; \backslash \}\; =\; X\_\; \{1\}\; \backslash \; cap\; X\_\; \{2\}\}$- точка в одной ячейке X такая, что X 1 и X 2 - два комплекса с фундаментальными группами G 1 и G 2 соответственно. Обратите внимание, что по теореме Ван Кампена это означает, что фундаментальной группой X является $G\; 1\; \ast \; G\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{1\}\; \backslash \; ast\; G\_\; \{2\}\}$.

3. Существует карта $f:\; Z\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; Z\; \backslash \; rightarrow\; X\}$такая, что индуцированная карта $f\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{\backslash \; ast\}\}$на фундаментальных группах совпадает с $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$

Для удобства обозначим $f\; -\; 1\; (X\; 1)\; =:\; Z\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (X\_\; \{1\})\; =:\; Z\_\; \{1\}\}$и $f\; -\; 1\; (X\; 2)\; =:\; Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (X\_\; \{2\})\; =:\; Z\_\; \{2\}\}$. Поскольку ни один генератор F не отображается в тождество, набор $Z\; 1\; \cap \; Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\}\; \backslash \; cap\; Z\_\; \{2\}\}$не имеет циклов, поскольку, если это так, они будут соответствуют окружностям Z, которые отображаются в $p\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; in\; X\}$, которые, в свою очередь, соответствуют образующим F, которые идут в единицу. Итак, компоненты $Z\; 1\; \cap \; Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\}\; \backslash \; cap\; Z\_\; \{2\}\}$можно стягивать. В случае, когда $Z\; 1\; \cap \; Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\}\; \backslash \; cap\; Z\_\; \{2\}\}$имеет только один компонент, по теореме Ван Кампена, мы закончили, как в этом случае,: $F\; =\; \Pi \; 1\; (Z\; 1)\; \ast \; \Pi \; 1\; (Z\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; \backslash \; Pi\; \_\; \{1\}\; (Z\_\; \{1\})\; \backslash \; ast\; \backslash \; Pi\; \_\; \{1\}\; (Z\_\; \{2\})\}$.

Общее доказательство следует путем сведения Z к пространству, гомотопически эквивалентному ему, но с меньшим количеством компонентов в $Z\; 1\; \cap \; Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\}\; \backslash \; cap\; Z\_\; \{2\}\}$, и, таким образом, индукцией по компонентам $Z\; 1\; \cap \; Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\}\; \backslash \; cap\; Z\_\; \{2\}\}$.

Такое уменьшение Z осуществляется путем прикрепления дисков вдоль стяжек.

Мы называем карту $\gamma :\; [0,\; 1]\; \to \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma:\; [0,1]\; \backslash \; rightarrow\; Z\}$a привязкой, если она удовлетворяет следующему свойства

1. Это монохроматический, т.е. $\gamma \; ([0,\; 1])\; \subseteq \; Z\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; ([0,1])\; \backslash \; substeq\; Z\_\; \{1\}\}$или $\gamma \; ([0,\; 1])\; \subseteq \; Z\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; гамма\; ([0,1])\; \backslash \; substeq\; Z\_\; \{2\}\}$

2. Это галстук т.е. $\gamma \; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (0)\}$и $\gamma \; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (1)\}$лежат в разных компонентах $Z\; 1\; \cap \; Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\}\; \backslash \; cap\; Z\_\; \{2\}\}$.

3. Это ноль т.е. $f\; \circ \; \gamma \; ([0,\; 1])\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; circ\; \backslash \; gamma\; ([0,1])\}$является нулевым гомотопным в X.

. Предположим, что такая связывающая связь существует. Пусть $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$будет связующим звеном.

Рассмотрим карту $g:\; [0,\; 1]\; \to \; D\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g:\; [0,1]\; \backslash \; rightarrow\; D\; ^\; \{2\}\}$, заданную как $г\; (т)\; =\; eit\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (t)\; =\; e\; ^\; \{it\}\}$. Это отображение является гомеоморфизмом на свой образ. Определите пространство $Z\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; ^\; \{\text{'}\}\}$как

$Z\; \prime \; =\; Z\; \coprod \; D\; 2\; /\; \sim \; \{\backslash \; displaystyle\; Z\text{'}\; =\; Z\; \backslash \; coprod\; \backslash !\; D\; ^\; \{\; 2\}\; /\; \backslash !\; \backslash \; Sim\}$где: $x\; \sim \; y\; тогда\; и\; только\; тогда,\; когда\; \{x\; =\; y,\; или\; x\; =\; \gamma \; (t)\; и\; y\; =\; g\; (t)\; для\; некоторого\; t\; \in \; [0,\; 1\; ]\; или\; x\; =\; g\; (t)\; и\; y\; =\; \gamma \; (t)\; для\; некоторого\; t\; \in \; [0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash \; sim\; y\; \{\backslash \; text\; \{iff\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; x\; =\; y,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{или\}\}\; \backslash \backslash \; x\; =\; \backslash \; gamma\; (t)\; \{\backslash \; text\; \{и\}\}\; y\; =\; g\; (t)\; \{\backslash \; text\; \{для\; некоторых\}\}\; t\; \backslash \; in\; [0,1]\; \{\backslash \; t\_dv\; \{или\}\}\; \backslash \backslash \; x\; =\; g\; (t)\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; y\; =\; \backslash \; gamma\; (t)\; \{\backslash \; text\; \{для\; некоторых\}\}\; t\; \backslash \; in\; [0,1]\; \backslash \; end\; \{case\}\}\}$

Обратите внимание, что деформация пространства Z 'стягивается в Z. Сначала мы расширяем f до функции $f\; ″:\; Z\; \coprod \; \partial \; D\; 2\; /\; \sim \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{\text{'}\; \text{'}\}:\; Z\; \backslash \; coprod\; \backslash \; partial\; D\; ^\; \{\; 2\}\; /\; \backslash !\; \backslash \; Sim\}$как

$f\; ″\; (x)\; =\; \{f\; (x),\; x\; \in \; Z\; p\; в\; противном\; случае.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{\text{'}\text{'}\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; f\; (x),\; \backslash \; x\; \backslash \; in\; Z\; \backslash \backslash \; p\; \{\backslash \; text\; \{в\; противном\; случае.\}\}\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Поскольку $f\; (\gamma )\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; gamma)\}$является нулевым гомотопным, $f\; ″\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}\text{'}\}$далее распространяется на внутренней части диска и, следовательно, в $Z\; \text{'}\{\backslash \; displaystyle\; Z\; ^\; \{\text{'}\}\}$. Пусть $Z\; i\; \prime \; =\; f\; \prime \; -\; 1\; (X\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{i\}\; ^\; \{\text{'}\}\; =\; f\; ^\; \{\text{'}\; -\; 1\}\; (X\_\; \{i\})\}$i = 1,2. Поскольку $\gamma \; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (0)\}$и $\gamma \; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (1)\}$находится в разных компонентах из $Z\; 1\; \cap \; Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\}\; \backslash \; cap\; Z\_\; \{2\}\}$, $Z\; 1\; \prime \; \cap \; Z\; 2\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\}\; ^\; \{\text{'}\}\; \backslash \; cap\; Z\_\; \{2\}\; ^\; \{\text{'}\}\}$имеет на один компонент меньше, чем $Z\; 1\; \cap \; Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\}\; \backslash \; cap\; Z\_\; \{2\}\}$.

Построение стяжки

Обвязка галстука состоит из двух этапов.

Шаг 1: Построение нулевой связи :

Рассмотрим карту $\gamma \; \prime :\; [0,\; 1]\; \to \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \text{'}:\; [0,1]\; \backslash \; rightarrow\; Z\; \}$с $\gamma \; \prime \; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \text{'}(0)\}$и $\gamma \; \prime \; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\text{'}\; (1)\; \}$в различных компонентах $Z\; 1\; \cap \; Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\}\; \backslash \; cap\; Z\_\; \{2\}\}$. Поскольку $f\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{\backslash \; ast\}\}$сюръективно, цикл $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash !\; \backslash \; Lambda\}$на основе γ 'выходит из цикла. (1) такие, что $f\; (\gamma \; \text{'})\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash !\; F\; (\backslash \; gamma\text{'})\}$и $f\; (\lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash !\; F\; (\backslash \; lambda)\}$гомотопически эквивалентны в X. Если мы определим кривую $\gamma :\; [0,\; 1]\; \to \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma:\; [0,1]\; \backslash \; rightarrow\; Z\}$как $\gamma \; (t)\; =\; \gamma \; \prime \; \ast \; \lambda \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (t)\; =\; \backslash \; gamma\; \text{'}\backslash \; ast\; \backslash \; lambda\; (t)\}$для всех $t\; \in \; [\; 0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; in\; [0,1]\}$, тогда $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash !\; \backslash \; Gamma\}$является нулевым значением.

Шаг 2: Создание нулевой связи монохроматической :

Связь $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash !\; \backslash \; Gamma\}$может быть записана как $\gamma \; 1\; \ast \; \gamma \; 2\; \ast \; \cdots \; \ast \; \gamma \; м\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; ast\; \backslash \; gamma\; \_\; \{2\}\; \backslash \; ast\; \backslash \; cdots\; \backslash \; ast\; \backslash \; gamma\; \_\; \{m\}\}$, где каждый $\gamma \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{i\}\}$- кривая в $Z\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\}\}$или $Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{\; 2\}\}$так, что если $\gamma \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{i\}\}$находится в $Z\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\}\}$, тогда $\gamma \; i\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{i\; +\; 1\}\}$находится в $Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{2\}\}$и наоборот. Это также означает, что $f\; (\gamma \; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; gamma\; \_\; \{i\})\}$- это цикл, основанный на p в X. Итак,

$[e]\; =\; [\; е\; (\gamma )]\; знак\; равно\; [е\; (\gamma \; 1)]\; *\; \cdots \; *\; [е\; (\gamma \; м)]\; \{\backslash \; Displaystyle\; [е]\; =\; [f\; (\backslash \; gamma)]\; =\; [е\; (\backslash \; gamma\; \_\; \{1\})]\; \backslash \; ast\; \backslash \; cdots\; \backslash \; ast\; [е\; (\backslash \; gamma\; \_\; \{m\})]\}$

Следовательно, $[f\; (\gamma \; j)]\; =\; [e]\; \{\backslash \; displaystyle\; [f\; (\backslash \; gamma\; \_\; \{j\})]\; =\; [e]\}$для некоторого j. Если это $\gamma \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash !\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{j\}\}$является ничьей, то у нас есть монохроматическая нулевая связь. Если $\gamma \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash !\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{j\}\}$не является ничьей, то конечные точки $\gamma \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash !\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{j\}\; \}$находятся в том же компоненте $Z\; 1\; \cap \; Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\}\; \backslash \; cap\; Z\_\; \{2\}\}$. В этом случае мы заменяем $\gamma \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash !\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{j\}\}$на путь в $Z\; 1\; \cap \; Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\}\; \backslash \; cap\; Z\_\; \{2\}\}$, скажем $\gamma \; j\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash !\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{j\}\; \text{'}\}$. Этот путь можно добавить к $\gamma \; j\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash !\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{j-1\}\}$, и мы получим новую нулевую связь

$\gamma \; ″\; =\; \gamma \; 1\; \ast \; \cdots \; \ast \; \gamma \; J\; -\; 1\; \prime \; \ast \; \gamma \; J\; +\; 1\; \cdots \; \gamma \; м\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \text{'}\text{'}\; =\; \backslash \; gamma\; \_\; \{1\}\; \backslash \; ast\; \backslash \; cdots\; \backslash \; ast\; \backslash \; gamma\; \_\; \{j-1\}\; \text{'}\backslash \; ast\; \backslash \; gamma\; \_\; \{j\; +1\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; gamma\; \_\; \{m\}\}$, где $\gamma \; j\; -\; 1\; \prime \; =\; \gamma \; j\; -\; 1\; \ast \; \gamma \; j\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash !\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{j-1\}\; \text{'}=\; \backslash \; gamma\; \_\; \{j-1\}\; \backslash \; ast\; \backslash \; gamma\; \_\; \{j\}\text{'}\}$.

Таким образом, индукцией по m мы доказываем наличие связывающей связи.

Доказательство теоремы Грушко

Предположим, что $G\; =\; A\; \ast \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; A\; *\; B\}$порождается $\{g\; 1,\; g\; 2,\dots ,\; gn\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{g\_\; \{1\},\; g\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; g\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$. Пусть $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$будет свободной группой с $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-генераторами, а именно. $\{f\; 1,\; f\; 2,\dots ,\; f\; n\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{f\_\; \{1\},\; f\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; f\_\; \{n\}\; \backslash \}\}$. Рассмотрим гомоморфизм $h:\; F\; \to \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; h:\; F\; \backslash \; rightarrow\; G\}$, задаваемый $h\; (fi)\; =\; gi\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (f\_\; \{i\})\; =\; g\_\; \{i\}\}$, где $i\; =\; 1,\dots ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; n\}$.

По лемме существуют свободные группы $F\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\_\; \{1\}\}$и $F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{2\}\}$с $F\; =\; F\; 1\; *\; F\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; F\_\; \{1\}\; \backslash \; ast\; F\_\; \{2\}\}$такое, что $h\; (F\; 1)\; =\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (F\_\; \{1\})\; =\; A\}$и $час\; (F\; 2)\; =\; В\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (F\_\; \{2\})\; =\; B\}$. Следовательно, $Ранг\; (A)\; \le \; Ранг\; (F\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Rank\}\}\; (A)\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; text\; \{Rank\}\}\; (F\_\; \{1\})\}$и $Ранг\; (B)\; \le \; Ранг\; (F\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Rank\}\}\; (B)\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; text\; \{Rank\}\}\; (F\_\; \{2\})\}$. Следовательно, $Rank\; (A)\; +\; Rank\; (B)\; \le \; Rank\; (F\; 1)\; +\; Rank\; (F\; 2)\; =\; Rank\; (F)\; =\; Rank\; (A\; \ast \; B).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Rank\}\}\; (A)\; +\; \{\backslash \; text\; \{Rank\}\}\; (B)\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; text\; \{Rank\}\}\; (F\_\; \{1\})\; +\; \{\backslash \; text\; \{Rank\}\}\; (F\_\; \{\; 2\})\; =\; \{\backslash \; text\; \{Rank\}\}\; (F)\; =\; \{\backslash \; text\; \{Rank\}\}\; (A\; \backslash \; ast\; B).\}$

• Теория Басса – Серра
• Образующий набор группы