Часть серии по |
Классическая механика |
---|
Второй закон движения |
ветви |
Основы |
Составы |
Основные темы |
Вращение |
Ученые |
Категории |
|
В классической механики, вращение уравнения Эйлера являются векторное квазилинейный первого порядка обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее вращение твердого тела, с использованием вращающейся системе отсчета с его оси крепится к корпусу и параллельно тела главных осей инерции. Их общий вид:
где M - приложенные крутящие моменты, I - матрица инерции, а ω - угловая скорость вокруг главных осей.
В трехмерных главных ортогональных координатах они становятся:
где M k - компоненты приложенных крутящих моментов, I k - главные моменты инерции, а ω k - компоненты угловой скорости вокруг главных осей.
Начиная от второго закона Ньютона, в инерциальной системе отсчета (индексируются «в»), то производная по времени от момента импульса L равна приложенный крутящий момент
где I in - тензор момента инерции, рассчитанный в инерциальной системе отсчета. Хотя этот закон универсально верен, он не всегда полезен при решении для движения обычного вращающегося твердого тела, поскольку и I in, и ω могут изменяться во время движения.
Поэтому перейдем к системе координат, закрепленной во вращающемся теле и выбранной так, чтобы ее оси были совмещены с главными осями тензора момента инерции. В этой системе отсчета по крайней мере тензор момента инерции постоянен (и диагонален), что упрощает вычисления. Как описано в моменте инерции, угловой момент L можно записать
где M k, I k и ω k такие же, как указано выше.
Во вращающейся системе отсчета производная по времени должна быть заменена на (см. Производную по времени во вращающейся системе отсчета )
где нижний индекс "rot" указывает, что он взят во вращающейся системе отсчета. Выражения для крутящего момента во вращающейся и инерциальной системах отсчета связаны соотношением
где Q - тензор вращения (не матрица вращения ), ортогональный тензор, связанный с вектором угловой скорости соотношением
для любого вектора v.
В общем случае подставляется L = Iω, а производные по времени берутся с учетом того, что тензор инерции, а также главные моменты не зависят от времени. Это приводит к общей векторной форме уравнений Эйлера
Если вращение главной оси
заменяется, а затем, взяв перекрестное произведение и используя тот факт, что главные моменты не меняются со временем, мы приходим к уравнениям Эйлера в компонентах в начале статьи.
Для равных нулю RHS есть нетривиальные решения: прецессия без крутящего момента. Обратите внимание: поскольку I является постоянным (потому что тензор инерции представляет собой диагональную матрицу 3 × 3 (см. Предыдущий раздел), потому что мы работаем во внутренней системе отсчета, или потому что крутящий момент управляет вращением вокруг той же оси, так что I не является изменение), тогда мы можем написать
где
Однако, если I не является постоянным во внешней системе отсчета (т.е. тело движется и его тензор инерции не является постоянно диагональным), то мы не можем вынести I за пределы производной. В этом случае у нас будет прецессия без крутящего момента, так что I ( t) и ω ( t) изменяются вместе, так что их производная равна нулю. Это движение можно визуализировать с помощью конструкции Пуансо.
Эти уравнения также можно использовать, если оси, в которых
не связаны с телом. Тогда ω следует заменить вращением осей вместо вращения тела. Однако по-прежнему требуется, чтобы выбранные оси оставались главными осями инерции. Эта форма уравнений Эйлера полезна для вращательно-симметричных объектов, которые позволяют свободно выбирать некоторые из главных осей вращения.