Выпуклое сопряжение

редактировать

В математике и математической оптимизации выпуклое сопряжение функции является обобщением преобразования Лежандра, которое применяется к невыпуклым функциям. Он также известен как преобразование Лежандра – Фенхеля, преобразование Фенхеля или конъюгат Фенхеля (после Адриен-Мари Лежандр и Вернер Фенхель ). Это позволяет, в частности, сделать далеко идущее обобщение лагранжевой двойственности.

Содержание

1 Определение
2 Примеры
- 2.1 Связь с ожидаемым дефицитом (среднее значение под угрозой)
- 2.2 Заказ
3 Свойства
- 3.1 Изменение порядка
- 3.2 Биконъюгирование
- 3.3 Неравенство Фенхеля
- 3.4 Выпуклость
- 3.5 Инфимальная свертка
- 3.6 Максимизация аргумента
- 3.7 Свойства масштабирования
- 3.8 Поведение при линейных преобразованиях
4 Таблица выбранных выпуклых конъюгатов
5 См. также
6 Ссылки
7 Дополнительная литература

Определение

Пусть $X {\ displaystyle X}$ $X$ будет реальным топологическое векторное пространство, и пусть $X ∗ {\ displaystyle X ^ {*}}$ $X ^ {{*}}$ будет двойным пространством от до $X {\ displaystyle X}$ $X$ . Обозначим двойное спаривание через

⟨⋅, ⋅⟩: X ∗ × X → R. {\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle: X ^ {*} \ times X \ to \ mathbb {R}.}

\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle: X ^ {*} \ times X \ to \ mathbb {R}.

Для функции

f: X → R ∪ {- ∞, + ∞} {\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}

{\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}

принимает значения на строке расширенных вещественных чисел, выпукло сопряженное

f ∗: X ∗ → R ∪ {- ∞, + ∞} {\ displaystyle f ^ {*}: X ^ {*} \ to \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}

{ \ displaystyle f ^ {*}: X ^ {*} \ to \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}

определяется в терминах супремума как

f ∗ (x ∗): = sup {⟨x ∗, x⟩ - f (x) | x ∈ X}, {\ displaystyle f ^ {*} \ left (x ^ {*} \ right): = \ sup \ left \ {\ left. \ left \ langle x ^ {*}, x \ right \ rangle -f \ left (x \ right) \ right | x \ in X \ right \},}

{\ displaystyle f ^ {*} \ left (x ^ {*} \ right): = \ sup \ left \ {\ left. \ left \ langle x ^ {*}, x \ right \ rangle -f \ left (x \ right) \ right | x \ in X \ right \},}

или, что то же самое, в терминах инфимума на

f ∗ (x ∗) : = - inf {f (x) - ⟨x ∗, x⟩ | x ∈ X}. {\ displaystyle f ^ {*} \ left (x ^ {*} \ right): = - \ inf \ left \ {\ left.f \ left (x \ right) - \ left \ langle x ^ {*}, x \ right \ rangle \ right | x \ in X \ right \}.}

{\ displaystyle f ^ {*} \ left (x ^ {*} \ right): = - \ inf \ left \ {\ left.f \ left (x \ right) - \ left \ langle x ^ { *}, x \ right \ rangle \ right | x \ in X \ right \}.}

Это определение можно интерпретировать как кодировку выпуклой оболочки эпиграфа функции в условия его поддерживающих гиперплоскостей.

Примеры

Дополнительные примеры см. в § Таблица выбранных выпуклых сопряженных.

Выпуклое сопряжение аффинной функции $е (Икс) знак равно ⟨a, Икс⟩ - b {\ Displaystyle f (x) = \ left \ langle a, x \ right \ rangle -b}$ ${\ displaystyle f (x) = \ left \ langle a, x \ right \ rangle -b}$ is

f * (x *) = {b, x * = a + ∞, x ∗ ≠ a. {\ displaystyle f ^ {*} \ left (x ^ {*} \ right) = {\ begin {case} b, x ^ {*} = a \\ + \ infty, x ^ {*} \ neq a. \ end {cases}}}

{\ displaystyle f ^ {*} \ left (x ^ {*} \ right) = {\ begin { case} b, x ^ {*} = a \\ + \ infty, x ^ {*} \ neq a. \ end {cases}}}

Выпуклое сопряжение степенной функции $f (x) = 1 p | х | p, 1 < p < ∞ {\displaystyle f(x)={\frac {1}{p}}|x|^{p},1$ ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {p}} | x | ^ {p}, 1 <p <\ infty}$ is

f ∗ (x ∗) = 1 q | x ∗ | q, 1 < q < ∞, where 1 p + 1 q = 1. {\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right)={\frac {1}{q}}|x^{*}|^{q},1

{\ displaystyle f ^ {*} \ left (x ^ {*} \ right) = {\ frac {1 } {q}} | x ^ {*} | ^ {q}, 1 <q <\ infty, {\ text {where}} {\ tfrac {1} {p}} + {\ tfrac {1} {q }} = 1.}

Выпуклое сопряжение абсолютного значения функции $f (x) = | х | {\ displaystyle f (x) = \ left | x \ right |}$ $е (х) = \ влево | х \ вправо |$ is

f ∗ (x ∗) = {0, | x ∗ | ≤ 1 ∞, | x ∗ |>1. {\ displaystyle f ^ {*} \ left (x ^ {*} \ right) = {\ begin {case} 0, \ left | x ^ {*} \ right | \ leq 1 \\\ infty, \ left | x ^ {*} \ right |>1. \ end {ases}}

f^{*}\left(x^{*}\right)={\begin{cases}0,\left|x^{*}\right|\leq 1\\\infty,\left|x^{*}\right|>1. \ end {ases}}

Выпуклое сопряжение экспоненциальной функции $f (x) = ex {\ displaystyle f (x) = e ^ {x}}$ ${\ displaystyle f (x) = e ^ {x}}$ is

f ∗ (x ∗) = {x ∗ ln ⁡ x ∗ - x ∗, x ∗>0 0, x ∗ = 0 ∞, x ∗ < 0. {\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right)={\begin{cases}x^{*}\ln x^{*}-x^{*},x^{*}>0 \\ 0, x ^ {*} = 0 \\\ infty, x ^ {*} <0.\end{cases}}}

f^{*}\left(x^{*}\right)={\begin{cases}x^{*}\ln x^{*}-x^{*},x^{*}>0 \\ 0, x ^ {*} = 0 \\\ infty, x ^ {*} <0.\end{cases}}

Выпуклое сопряженное преобразование и преобразование Лежандра экспоненциальной функции совпадают, за исключением того, что область выпуклого сопряженного элемента строго больше, так как преобразование Лежандра определено только для положительных действительных чисел.

Связь с ожидаемым дефицитом (среднее значение в зоне риска)

См. , например, в этой статье.

Пусть F обозначает кумулятивную функцию распределения случайной величины X. Тогда (интегрируя по частям),

е (x): знак равно ∫ - ∞ x F (u) du = E ⁡ [макс (0, x - X)] = x - E ⁡ [min (x, X)] {\ displaystyle f (x) : = \ int _ {- \ infty} ^ {x} F (u) \, du = \ operatorname {E} \ left [\ max (0, xX) \ right] = x- \ operatorname {E} \ left [\ min (x, X) \ right]}

{\ displaystyle f (x): = \ int _ {- \ infty} ^ { x} F (u) \, du = \ operat orname {E} \ left [\ max (0, xX) \ right] = x- \ operatorname {E} \ left [\ min (x, X) \ right]}

имеет выпуклое сопряжение

f ∗ (p) = ∫ 0 p F - 1 (q) dq = (p - 1) F - 1 (p) + E ⁡ [min (F - 1 (p), X)] = p F - 1 (p) - E ⁡ [max (0, F - 1 (p) - X)]. {\ displaystyle f ^ {*} (p) = \ int _ {0} ^ {p} F ^ {- 1} (q) \, dq = (p-1) F ^ {- 1} (p) + \ operatorname {E} \ left [\ min (F ^ {- 1} (p), X) \ right] = pF ^ {- 1} (p) - \ operatorname {E} \ left [\ max (0, F ^ {- 1} (p) -X) \ right].}

{\ displaystyle f ^ {*} (p) = \ int _ {0} ^ {p} F ^ {- 1} (q) \, dq = (p-1) F ^ {- 1} (p) + \ o peratorname {E} \ left [\ min (F ^ {- 1} (p), X) \ right] = pF ^ {- 1} (p) - \ operatorname {E} \ left [\ max (0, F ^ {- 1} (p) -X) \ right].}

Порядок

Конкретная интерпретация имеет преобразование

f inc (x): = arg ⁡ sup tt ⋅ x - ∫ 0 1 макс {t - f (u), 0} du, {\ displaystyle f ^ {\ text {inc}} (x): = \ arg \ sup _ {t} t \ cdot x- \ int _ { 0} ^ {1} \ max \ {tf (u), 0 \} \, du,}

{\ displaystyle f ^ {\ text {inc}} (x): = \ arg \ sup _ { t} t \ cdot x- \ int _ {0} ^ {1} \ max \ {tf (u), 0 \} \, du,}

, так как это неубывающая перестановка начальной функции f; в частности, $f inc = f {\ displaystyle f ^ {\ text {inc}} = f}$ $f ^ {\ text {inc}} = f$ для ƒ неубывания.

Свойства

Выпуклое сопряжение замкнутой выпуклой функции снова является замкнутой выпуклой функцией. Выпуклая сопряженная к многогранной выпуклой функции (выпуклая функция с многогранной надграфиком ) снова является многогранной выпуклой функцией.

Изменение порядка

Выпуклое сопряжение - это изменение порядка : если $f ≤ g {\ displaystyle f \ leq g}$ $f \ leq g$ , то $е * ≥ г * {\ Displaystyle е ^ {*} \ geq g ^ {*}}$ $f ^ {*} \ geq g ^ {*}$ . Здесь

(f ≤ g): ⟺ (∀ x, f (x) ≤ g (x)). {\ Displaystyle (е \ Leq g): \ iff (\ forall x, f (x) \ leq g (x)).}

(f \ leq g): \ iff (\ forall x, f (x) \ leq g (x)).

для семейства функций $(f α) α {\ displaystyle \ left (f _ {\ alpha} \ right) _ {\ alpha}}$ $\ left (f _ {\ alpha} \ right) _ {\ alpha}$ из того факта, что супремумы можно менять местами, следует, что

(inf α f α) ∗ (x ∗) = sup α е α * (Икс *), {\ Displaystyle \ влево (\ Inf _ {\ альфа} е _ {\ альфа} \ вправо) ^ {*} (х ^ {*}) = \ sup _ {\ альфа} f_ { \ alpha} ^ {*} (x ^ {*}),}

{\ displaystyle \ left (\ inf _ {\ alpha} f _ {\ alpha} \ right) ^ {*} (x ^ {*}) = \ sup _ {\ alpha} f _ {\ alpha} ^ {*} (x ^ {*}),}

и из max – min неравенства, что

(sup α f α) ∗ (x ∗) ≤ inf α f α ∗ (x ∗). {\ displaystyle \ left (\ sup _ {\ alpha} f _ {\ alpha} \ right) ^ {*} (x ^ {*}) \ leq \ inf _ {\ alpha} f _ {\ alpha} ^ {*} (x ^ {*}).}

{\ displaystyle \ left (\ sup _ {\ alpha} f _ {\ alpha} \ right) ^ {*} (x ^ {*}) \ leq \ inf _ {\ alpha} f _ {\ alpha} ^ {*} (x ^ {*}).}

Двойное сопряжение

Выпуклое сопряжение функции всегда полунепрерывно снизу. двойное сопряжение $f ∗ ∗ {\ displaystyle f ^ {**}}$ $f ^ {{** }}$ (выпуклое сопряжение выпуклого сопряженного) также является замкнутой выпуклой оболочкой, то есть наибольшая полунепрерывная снизу выпуклая функция с $f ∗ ∗ ≤ f {\ displaystyle f ^ {**} \ leq f}$ $f ^ {**} \ leq f$ . Для правильных функций f,

f = f ∗ ∗ {\ displaystyle f = f ^ {**}}

f = f ^ {**}

тогда и только тогда, когда f является выпуклым и полунепрерывным снизу, по теореме Фенхеля – Моро.

неравенству Фенхеля

Для любой функции f и ее выпуклого сопряженного f * неравенство Фенхеля (также известное как Фенхеля – Янга неравенство ) выполняется для любых x ∈ X и p ∈ X *:

⟨p, x⟩ ≤ f (x) + f ∗ (p). {\ displaystyle \ left \ langle p, x \ right \ rangle \ leq f (x) + f ^ {*} (p).}

\ left \ langle p, x \ right \ rangle \ leq f (x) + f ^ {*} (p).

Доказательство непосредственно следует из определения выпуклого сопряжения: $f ∗ (п) знак равно sup Икс ~ {⟨p, x ~⟩ - f (x ~)} ≥ ⟨p, x⟩ - f (x) {\ displaystyle f ^ {*} (p) = \ sup _ {\ tilde {x}} \ {\ langle p, {\ tilde {x}} \ rangle -f ({\ tilde {x}}) \} \ geq \ langle p, x \ rangle -f (x)}$ ${\ displaystyle f ^ {*} (p) = \ sup _ {\ tilde {x}} \ {\ langle p, {\ tilde {x}} \ rangle -f ({\ tilde {x}}) \} \ geq \ langle p, x \ rangle -f (x)}$ .

Выпуклость

Для двух функций $f 0 {\ displaystyle f_ {0}}$ $f_ {0}$ и $f 1 {\ displaystyle f_ {1}}$ $f_ {1}$ и число $0 ≤ λ ≤ 1 {\ displaystyle 0 \ leq \ lambda \ leq 1}$ $0 \ leq \ lambda \ leq 1$ отношение выпуклости

((1 - λ) f 0 + λ f 1) ∗ ≤ ( 1 - λ) е 0 * + λ е 1 * {\ displaystyle \ left ((1- \ lambda) f_ {0} + \ lambda f_ {1} \ right) ^ {*} \ leq (1- \ lambda) f_ {0} ^ {*} + \ lambda f_ {1} ^ {*}}

{\ displaystyle \ left ((1- \ lambda) f_ {0} + \ lambda f_ {1} \ right) ^ {*} \ leq (1- \ lambda) f_ {0} ^ {*} + \ lambda f_ {1} ^ {*}}

удерживается. Операция $∗ {\ displaystyle {*}}$ ${*}$ сама по себе является выпуклым отображением.

Инфимальная свертка

Инфимальная свертка (или эпи-сумма) двух функций f и g определяется как

(f ◻ ⁡ g) (x) = inf {f (x - y) + g (y) ∣ y ∈ R n}. {\ Displaystyle \ left (е \ OperatorName {\ Box} g \ right) (x) = \ inf \ left \ {f (xy) + g (y) \ mid y \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ right \}.}

{\ displaystyle \ left (f \ operatorname {\ Box} g \ right) (x) = \ inf \ left \ {f (xy) + g (y) \ mid y \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ right \}.}

Пусть f 1,…, f m собственные, выпуклые и полунепрерывные снизу функции на R . Тогда инфимальная свертка является выпуклой и полунепрерывной снизу (но не обязательно собственной) и удовлетворяет условию

(f 1 ◻ ⁡ ⋯ ◻ f m) ∗ = f 1 ∗ + ⋯ + f m ∗. {\ displaystyle \ left (f_ {1} \ operatorname {\ Box} \ cdots \ operatorname {\ Box} f_ {m} \ right) ^ {*} = f_ {1} ^ {*} + \ cdots + f_ { m} ^ {*}.}

{\ displaystyle \ left (f_ {1} \ operatorname {\ Box} \ cdots \ operatorname {\ Box} f_ {m} \ right) ^ {*} = f_ {1} ^ {*} + \ cd ots + f_ {m} ^ {*}.}

Инфимальная свертка двух функций имеет геометрическую интерпретацию: (строгий) эпиграф инфимальной свертки двух функций - это сумма Минковского (строгих) эпиграфов этих функций.

Максимизирующий аргумент

Если функция $f {\ displaystyle f}$ $f$ дифференцируема, то ее производной является максимизация аргумента при вычислении выпуклого сопряжения:

f ′ (x) = x ∗ (x): = arg ⁡ sup x ∗ ⟨x, x ∗⟩ - f ∗ (x ∗) {\ displaystyle f ^ { \ prime} (x) = x ^ {*} (x): = \ arg \ sup _ {x ^ {*}} {\ langle x, x ^ {*} \ rangle} -f ^ {*} (x ^ {*})}

{\ displaystyle f ^ {\ prime} (x) = x ^ { *} (x): = \ arg \ sup _ {x ^ {*}} {\ langle x, x ^ {*} \ rangle} -f ^ {*} (x ^ {*})}

f ∗ ′ (x ∗) = x (x ∗): = arg ⁡ sup x ⟨x, x ∗⟩ - f (x); {\ displaystyle f ^ {{*} \ prime} (x ^ {*}) = x (x ^ {*}): = \ arg \ sup _ {x} {\ langle x, x ^ {*} \ rangle } -f (x);}

{\ displaystyle f ^ {{*} \ prime} (x ^ {*}) = x (x ^ {*}): = \ arg \ sup _ {x} {\ langle x, x ^ {*} \ rangle} -f (x);}

откуда

x = ∇ f ∗ (∇ f (x)), {\ displaystyle x = \ nabla f ^ {*} (\ nabla f (x)),}

{\ displaystyle x = \ nabla f ^ {*} (\ nabla f (x)),}

х * знак равно ∇ е (∇ е * (х *)), {\ displaystyle x ^ {*} = \ nabla f (\ nabla f ^ {*} (x ^ {*})),}

{\ displaystyle x ^ {*} = \ nabla f (\ nabla f ^ {*} (x ^ {*})),}

и кроме того

f ′ ′ (x) ⋅ f ∗ ′ ′ (x ∗ (x)) = 1, {\ displaystyle f ^ {\ prime \ prime} (x) \ cdot f ^ {{*} \ простое число \ простое число} (x ^ {*} (x)) = 1,}

{\ displaystyle f ^ {\ prime \ prime} (x) \ cdot f ^ {{{ *} \ prime \ prime} (x ^ {*} (x)) = 1,}

f ∗ ′ ′ (x ∗) ⋅ f ′ ′ (x (x ∗)) = 1. {\ displaystyle f ^ {{ *} \ prime \ prime} (x ^ {*}) \ cdot f ^ {\ prime \ prime} (x (x ^ {*})) = 1.}

{ \ displaystyle f ^ {{*} \ prime \ prime} (x ^ {*}) \ cdot f ^ {\ prime \ prime} (x (x ^ {*})) = 1.}

Свойства масштабирования

Если, для некоторых $γ>0 {\ displaystyle \ gamma>0}$ $\gamma>0$ , $g (x) = α + β x + γ ⋅ f (λ x + δ) {\ displaystyle g (x) = \ alpha + \ beta x + \ gamma \ cdot f (\ lambda x + \ delta)}$ ${\ displaystyle g (x) = \ alpha + \ beta x + \ gamma \ cdot f (\ lambda x + \ delta)}$ , тогда

g ∗ (x ∗) = - α - δ x ∗ - β λ + γ ⋅ f ∗ (x ∗ - β λ γ). {\ Displaystyle g ^ {*} ( x ^ {*}) = - \ alpha - \ delta {\ frac {x ^ {*} - \ beta} {\ lambda}} + \ gamma \ cdot f ^ {*} \ left ({\ frac {x ^ {*} - \ beta} {\ lambda \ gamma}} \ right).}

{\ displaystyle g ^ {*} (x ^ {* }) = - \ alpha - \ delta {\ frac {x ^ {*} - \ beta} {\ lambda}} + \ gamma \ cdot f ^ {*} \ left ({\ frac {x ^ {*} - \ beta} {\ lambda \ gamma}} \ right).}

В случае дополнительного параметра (скажем, α) кроме того

f α (x) = - f α (x ~), {\ displaystyle f _ {\ alpha} (x) = - f _ {\ alpha} ({\ tilde {x}}),}

f _ {\ alpha} (x) = - f _ {\ alpha} ({\ tilde {x}}),

где $x ~ {\ displaystyle {\ tilde {x}}}$ ${\ tilde {x}}$ выбран в качестве аргумента максимизации.

Поведение при линейных преобразованиях

Пусть A будет ограниченным линейным оператором из X в Y. Для любой выпуклой функции f на X выполняется

(A f) * Знак равно е * A * {\ Displaystyle \ влево (Af \ вправо) ^ {*} = f ^ {*} A ^ {*}}

{\ displaystyle \ left (Af \ right) ^ {*} = е ^ {*} A ^ {*}}

где

(A f) (y) = inf { е (х): x ∈ X, A x = y} {\ displaystyle (Af) (y) = \ inf \ {f (x): x \ in X, Ax = y \}}

(Af) (y) = \ inf \ {f (x): x \ in X, Ax = y \}

является прообразом из f по A и A - это сопряженный оператор к A.

Замкнутая выпуклая функция f симметрична относительно заданного множества G линейных ортогональных преобразований,

f (A x) знак равно е (Икс), ∀ Икс, ∀ A ∈ G {\ Displaystyle f \ left (Ax \ right) = F (x), \; \ forall x, \; \ forall A \ in G}

f \ left (Ax \ right) = f (x), \; \ forall x, \; \ forall A \ в G

если и только если его выпуклое сопряжение f симметрично относительно G.

Таблица выбранных выпуклых сопряженных элементов

В следующей таблице представлены преобразования Лежандра для многих общих функций, а также несколько полезных свойств.

$г (Икс) {\ Displaystyle г (х)}$ $g (x)$	$дом ⁡ (г) {\ Displaystyle \ operatorname {dom} (г)}$ $\ operatorname {dom} (g)$	$г * (х ) {\ Displaystyle g ^ { } (x ^ {})}$ $g^{}(x^{*})$	$dom ⁡ (g ∗) {\ displaystyle \ operatorname {dom} (g ^ {})}$ $\ operatorname {dom} (g ^ {})$
$f (ax) {\ displaystyle f (ax)}$ $f (ax)$ (где $a ≠ 0 {\ displaystyle a \ neq 0}$ $a \ neq 0$ )	$X {\ displaystyle X}$ $X$	$f ∗ (x ∗ a) {\ displaystyle f ^ {} \ left ({\ гидроразрыва {x ^ {}} {a}} \ right)}$ $f ^ {} \ left ({\ frac {x ^ {} } {a}} \ right)$	$X ∗ {\ displaystyle X ^ {}}$ $X ^ {}$
$f (x + b) {\ displaystyle f (x + b)}$ $f (x + b)$	$X {\ displaystyle X}$ $X$	$е * (х ) - ⟨б, х ⟩ {\ displaystyle f ^ {} (х ^ {}) - \ langle b, x ^ {} \ rangle}$ $f ^ {} (x ^ {}) - \ langle b, x ^ {} \ rangle$	$X * {\ displaystyle X ^ {}}$ $X ^ {}$
$af (x) {\ displaystyle af (x)}$ $af(x)$ (где $a>0 {\ displaystyle a>0}$ $a>0$ )	$X {\ displaystyle X }$ $X$	$af ∗ (x ∗ a) {\ displaystyle af ^ {} \ left ({\ frac {x ^ {}} {a}} \ right)}$ $af ^ {} \ left ({\ frac {x ^ {}} {a}} \ right)$	$X ∗ {\ displaystyle X ^ {}}$ $X ^ {}$
$α + β x + γ ⋅ е (λ x + δ) {\ displaystyle \ alpha + \ beta x + \ gamma \ cdot f (\ lambda x + \ delta)}$ $\ alpha + \ beta x + \ gamma \ cdot f (\ lambda x + \ delta)$	$X {\ displaystyle X}$ $X$	$- α - δ x ∗ - β λ + γ ⋅ f ∗ (x ∗ - β γ λ) (γ>0) {\ displaystyle - \ alpha - \ delta {\ frac {x ^ {} - \ beta} {\ lambda}} + \ gamma \ cdot f ^ {} \ left ({\ frac {x ^ {} - \ beta} {\ gamma \ lambda}} \ right) \ quad (\ gamma>0)}$ $-\alpha -\delta {\frac {x^{}-\beta }{\lambda }}+\gamma \cdot f^{}\left({\frac {x^{}-\beta }{\gamma \lambda }}\right)\quad (\gamma>0)$	$Икс * {\ Displaystyle X ^ {}}$ $X ^ {}$
$\| х \| pp {\ displaystyle {\ frac {\| x \| ^ {p}} {p}}}$ ${\ frac {\| x \| ^ {p}} {p}}$ (где $p>1 {\ displaystyle p>1}$ $p>1$ )	$R {\ displaystyle \ math {R}}$ $\ mathbb {R}$	$\| x ∗ \| qq {\ displaystyle {\ frac {\| x ^ {} \| ^ {q}} {q}}}$ ${\ frac {\| x ^ {} \| ^ {q}} {q}}$ (где $1 p + 1 q = 1 {\ displaystyle {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = 1}$ ${\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = 1$ )	$R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$
$- xpp { \ displaystyle {\ frac {-x ^ {p}} {p}}}$ ${\ frac {-x ^ {p}} {p}}$ (где $0 < p < 1 {\displaystyle 0$ $0 <p <1$ )	$R + {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}$ $\ mathbb { R} _ {+}$	$- (- x ∗) qq {\ displaystyle {\ frac {- (- x ^ {}) ^ {q}} {q}}}$ ${\ frac {- (- x ^ { }) ^ {q}} {q}}$ (где $1 p + 1 q = 1 {\ displaystyle {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = 1}$ ${\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = 1$ )	$R - {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {-}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {- }}$
$1 + x 2 {\ displaystyle {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}$ ${\ sqrt {1 + x ^ {2}}}$	$R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$	$- 1 - (x ∗) 2 {\ displaystyle - {\ sqrt {1 - (х ^ {}) ^ {2}}}}$ $- {\ sqrt {1- (x ^ {}) ^ {2}}}$	$[- 1, 1] {\ displaystyle [-1,1]}$ $[-1,1]$
$- журнал ⁡ (x) {\ displaystyle - \ log ( x)}$ $- \ log (x)$	$R + + {\ d isplaystyle \ mathbb {R} _ {++}}$ $\ mathbb {R} _ {++}$	$- (1 + журнал ⁡ (- x ∗)) {\ displaystyle - (1+ \ log (-x ^ {}))}$ $- (1+ \ журнал (-x ^ {}))$	$R - - {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {-}}$ $\ mathbb {R} _ {-}$
$ex {\ displaystyle e ^ {x}}$ $e ^ {x}$	$R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$	${x ∗ log ⁡ (x ∗) - x ∗, если x ∗>0, 0 если x ∗ = 0 {\ displaystyle {\ begin {cases} x ^ {} \ log (x ^ {}) - x ^ {} {\ текст {if}} x ^ {}>0 \\ 0 {\ text {if}} x ^ {} = 0 \ end {cases}}}$ ${\begin{cases}x^{}\log(x^{})-x^{}{\text{if }}x^{}>0 \\ 0 {\ text { if}} x ^ {} = 0 \ end {cases}}$	$R + {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}$ $\ mathbb { R} _ {+}$
$журнал ⁡ (1 + ex) {\ displaystyle \ log \ left (1 + e ^ {x} \ right)}$ $\ log \ left (1 + e ^ {x} \ right)$	$R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$	${x ∗ log ⁡ (x ∗) + (1 - x ∗) log ⁡ (1 - x ∗), если 0 < x ∗ < 1 0 if x ∗ = 0, 1 {\displaystyle {\begin{cases}x^{}\log(x^{})+(1-x^{})\log(1-x^{}){\text{if }}0$ ${\ begin {cases} x ^ {} \ log (x ^ {}) + (1-x ^ {}) \ log (1-x ^ {}) {\ text {если }} 0 <x ^ {} <1 \\ 0 {\ text {if}} x ^ {} = 0,1 \ end {case}}$	$[ 0, 1] {\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$
$- журнал ⁡ (1 - ex) {\ displaystyle - \ log \ left (1-e ^ {x} \ right)}$ $- \ log \ left (1-e ^ {x} \ right)$	$R - - {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {-}}$ $\ mathbb {R} _ {-}$	${x ∗ log ⁡ (x ∗) - (1 + x ∗) log ⁡ (1 + x ∗), если x ∗>0, 0, если x ∗ = 0 {\ di splaystyle {\ begin {case} x ^ {} \ log (x ^ {}) - (1 + x ^ {}) \ log (1 + x ^ {}) {\ text {if}} x ^ {}>0 \\ 0 {\ text {if}} x ^ {} = 0 \ end {cases}}}$ ${\begin{cases}x^{}\log(x^{})-(1+x^{})\log(1+x^{}){\text{if }}x^{}>0 \\ 0 {\ text {if}} x ^ {} = 0 \ end {cases}}$	$R + {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}$ $\ mathbb { R} _ {+}$

См. Также

Ссылки

^«Преобразование Лежандра». Проверено 14 апреля 2019 г.
^Нильсен, Фрэнк. «Преобразование Лежандра и информационная геометрия» (PDF).
^Роберт Фелпс (1991). Выпуклые функции, монотонные операторы и дифференцируемость (2-е изд.). Springer. п. 42. ISBN 0-387-56715-1.
^Bauschke, Heinz H.; Гебель, Рафаль; Люсет, Ив; Ван, Сяньфу (2008). «Проксимальное среднее: основная теория». SIAM Journal по оптимизации. 19 (2): 766. CiteSeerX 10.1.1.546.4270. doi : 10.1137 / 070687542.
^Иоффе, А.Д., Тихомиров, В.М. (1979), Theorie der Extremalaufgaben. Deutscher Verlag der Wissenschaften. Satz 3.4.3
^Борвейн, Джонатан ; Льюис, Адриан (2006). Выпуклый анализ и нелинейная оптимизация: теория и примеры (2-е изд.). Springer. Стр. 50 –51. ISBN 978-0-387-29570-1.

Арнольд, Владимир Игоревич (1989). Математические методы классической механики (Второе изд.). Springer. ISBN 0-387-96890-3. MR 0997295.
Рокафеллар, Р. Тайрелл (1970). Выпуклый анализ. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-01586-4. MR 0274683.

Дополнительная литература

Тушетт, Хьюго (2014-10-16). "В двух словах о преобразованиях Лежандра-Фенхеля" (PDF). Архивировано из оригинала (PDF) от 07.04.2017. Проверено 9 января 2017 г.

Тушетт, Хьюго (21 ноября 2006 г.). «Элементы выпуклого анализа» (PDF). Архивировано из оригинального (PDF) 26 мая 2015 года. Проверено 26 марта 2008 г.

«Преобразования Лежандра и Лежандра-Фенхеля в пошаговом объяснении». Проверено 18 мая 2013 г.

Эллерман, Дэвид Паттерсон (21 марта 1995 г.). «Глава 12: Параллельное сложение, последовательно-параллельная двойственность и финансовая математика». Интеллектуальное вторжение как образ жизни: Очерки философии, экономики и математики (PDF). Мирская философия: исследования на стыке философии и экономики. G - Справочная, информационная и междисциплинарная серия предметов (иллюстрированное издание). Rowman Littlefield Publishers, Inc. стр. 237–268. ISBN 0-8476-7932-2. Архивировано (PDF) из оригинала на 2016-03-05. Проверено 9 августа 2019 г. [1] (271 страница)

Эллерман, Дэвид Паттерсон (май 2004 г.) [1995-03-21]. «Введение в последовательно-параллельную двойственность» (PDF). Калифорнийский университет в Риверсайде. CiteSeerX 10.1.1.90.3666. Архивировано из оригинала 10.08.2019. Проверено 9 августа 2019. [2] (24 страницы)