Конкурентное равновесие

Конкурентное равновесие (также называемое: Вальрасовское равновесие ) - это концепция экономического равновесия введен Кеннетом Эрроу и Жераром Дебре в 1951 году, подходит для анализа товарных рынков с гибкими ценами и многими торговцами, и служит эталоном для эффективность в экономическом анализе. Он в значительной степени полагается на допущение о конкурентной среде, где каждый трейдер выбирает количество, которое настолько мало по сравнению с общим объемом торгов на рынке, что их отдельные транзакции не влияют на цены. Конкурентные рынки - идеальный стандарт, по которому оцениваются другие рыночные структуры.

• 1 Определения
  • 1.1 Альтернативное определение
  • 1.2 Приблизительное равновесие
• 2 Примеры
  • 2.1 Делимые ресурсы
  • 2.2 Неделимые объекты
• 3 Наличие конкурентного равновесия
  • 3.1 Делимые ресурсы
  • 3.2 Неделимые объекты
• 4 Конкурентное равновесие и эффективность распределения
  • 4.1 Теоремы благосостояния для распределения неделимых объектов
• 5 Поиск равновесия
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Конкурентное равновесие (CE) состоит из двух элементов:

• Ценовая функция $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$. Он принимает в качестве аргумента вектор, представляющий набор товаров, и возвращает положительное действительное число, которое представляет его цену. Обычно функция цены линейна - она ​​представлена ​​как вектор цен, цена для каждого типа товара.
• Матрица распределения $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$. Для каждого $i\; \in \; 1,\dots ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; in\; 1,\; \backslash \; dots,\; n\}$, $X\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{i\}\}$- вектор выделенных товаров агенту $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$.

Эти элементы должны удовлетворять следующему требованию:

• Удовлетворение (Свобода от зависти ): каждый агент слабо предпочитает свой набор любому другому доступный набор:

$\forall \; i\; \in \; 1,\dots ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; i\; \backslash \; in\; 1,\; \backslash \; dots,\; n\}$, если $P\; (Y)\; \le \; P\; (X\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (Y)\; \backslash \; leq\; P\; (X\_\; \{i\})\}$, затем $Y\; ⪯\; я\; X\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; \backslash \; prevq\; \_\; \{i\}\; X\_\; \{i\}\}$.

Часто существует исходная матрица обеспеченности $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$: для каждого $i\; \in \; 1,\dots ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; in\; 1,\; \backslash \; dots,\; n\}$, $E\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{i\}\}$- начальное наделение агента $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$. Затем CE должен удовлетворять некоторым дополнительным требованиям:

• Очистка рынка : спрос равен предложению, элементы не создаются и не уничтожаются:

$\sum \; i\; =\; 1\; n\; X\; i\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; E\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; X\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; E\_\; \{i\}\}$.

• Индивидуальная рациональность : все агенты лучше -выкл после сделки, чем до сделки:

$\forall \; i\; \in \; 1,\dots ,\; n:\; X\; i\; ⪰\; i\; E\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; i\; \backslash \; in\; 1,\; \backslash \; dots,\; n:\; X\_\; \{i\}\; \backslash \; successq\; \_\; \{i\}\; E\_\; \{i\}\}$.

• Остаток бюджета : все агенты могут позволить себе выделение с учетом их обеспеченности:

$\forall \; i\; \in \; 1,\dots ,\; n:\; P\; (X\; i)\; \le \; P\; (E\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; i\; \backslash \; in\; 1,\; \backslash \; dots,\; n:\; P\; (X\_\; \{i\})\; \backslash \; leq\; P\; (E\_\; \{i\})\}$.

Альтернативное определение

Альтернативное определение основывается на концепции набора спроса. Учитывая функцию цены P и агент с функцией полезности U, определенный набор товаров x входит в набор спроса агента, если: $U\; (x)\; -\; P\; (x)\; \ge \; U\; (y)\; -\; P\; (Y)\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; (x)\; -P\; (x)\; \backslash \; geq\; U\; (y)\; -P\; (y)\}$для любого другого пакета y. Конкурентное равновесие - это функция цены P и матрица распределения X, такая что:

• Пакет, выделенный X каждому агенту, находится в наборе спроса этого агента для вектора цен P;
• Каждый товар, который имеет положительную цену, полностью распределен (то есть каждый нераспределенный товар имеет цену 0).

Приблизительное равновесие

В некоторых случаях полезно определить равновесие, в котором условие рациональности ослаблено. Дано положительное значение $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$(измеряется в денежных единицах, например, долларах), вектор цен $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$и связка $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, определите $P\; ϵ\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \_\; \{\backslash \; epsilon\}\; ^\; \{x\}\}$как вектор цен, в котором все товары в x имеют ту же цену, что и в P, и все товары, не указанные в x, имеют цену на $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$больше, чем их цена в P.

В $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$-competitive-equilibrium связка x, выделенная агенту, должна находиться в наборе спроса этого агента для измененного вектора цен, $P\; ϵ\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \_\; \{\backslash \; epsilon\}\; ^\; \{x\}\}$.

Это приближение реалистично, когда есть комиссии на покупку / продажу. Например, предположим, что агент должен заплатить $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$долларов за покупку единицы товара в дополнение к цене этого товара. Этот агент будет сохранять свой текущий пакет, пока он находится в наборе спроса для вектора цен $P\; ϵ\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \_\; \{\backslash \; epsilon\}\; ^\; \{x\}\}$. Это делает равновесие более устойчивым.

Делимые ресурсы

В следующих примерах используется экономика обмена с двумя агентами, Джейн и Кельвином, двумя товарами например бананы (x) и яблоки (y), а денег нет.

1. Графический пример : Предположим, что начальное распределение находится в точке X, где у Джейн больше яблок, чем у Кельвина, а у Кельвина больше бананов, чем у Джейн.

Глядя на их кривые безразличия $J\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{1\}\}$Джейн и $K\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{\; 1\}\}$по Кельвину, мы видим, что это не равновесие - оба агента готовы торговать друг с другом по ценам $P\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{x\}\}$и $P\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{y\}\}$. После торговли Джейн и Кельвин переходят к кривой безразличия, которая отображает более высокий уровень полезности, $J\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{2\}\}$и $K\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{\; 2\}\}$. Новые кривые безразличия пересекаются в точке E. Наклон касательной к обеим кривым равен - $P\; x\; /\; P\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{x\}\; /\; P\_\; \{y\}\}$.

И $MRSJ\; ane\; =\; P\; x\; /\; P\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; MRS\_\; \{Jane\}\; =\; P\_\; \{x\}\; /\; P\_\; \{y\}\}$; $MRSK\; elvin\; =\; P\; x\; /\; P\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; MRS\_\; \{Кельвин\}\; =\; P\_\; \{x\}\; /\; P\_\; \{\; y\}\}$. Предельная скорость замещения (MRS) Джейн равна таковой у Кельвина. Таким образом, общество двух индивидов достигает эффективности по Парето, при этом невозможно улучшить положение Джейн или Кельвина, не сделав хуже других.

2. Арифметический пример: предположим, что у обоих агентов есть утилиты Кобба – Дугласа :

$u\; J\; (x,\; y)\; =\; xay\; 1\; -\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{J\}\; (x,\; y)\; =\; x\; ^\; \{a\}\; y\; ^\; \{1-a\}\}$

$u\; K\; (x,\; y)\; =\; xby\; 1\; -\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{K\}\; (x,\; y)\; =\; x\; ^\; \{b\}\; y\; ^\; \{1-\; b\}\}$

где $a,\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; a,\; b\}$- константы.

Предположим, что первоначальный вклад равен $E\; =\; [(1,\; 0),\; (0,\; 1)]\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; [(1,0),\; (0,1)]\}$.

Функция спроса Джейн для x:

$x\; J\; (px,\; py,\; IJ)\; =\; a\; \cdot \; IJ\; px\; =\; a\; \cdot \; (1\; \cdot \; px)\; px\; =\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{J\}\; (p\_\; \{x\},\; p\_\; \{y\},\; I\_\; \{J\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\; \backslash \; cdot\; I\_\; \{J\}\}\; \{p\_\; \{x\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\; \backslash \; cdot\; (1\; \backslash \; cdot\; p\_\; \{x\})\}\; \{\; p\_\; \{x\}\}\}\; =\; a\}$

Функция спроса по Кельвину для x:

$x\; K\; (px,\; py,\; IK)\; =\; b\; \cdot \; IJ\; px\; =\; b\; \cdot \; pypx\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{K\}\; (\; p\_\; \{x\},\; p\_\; \{y\},\; I\_\; \{K\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{b\; \backslash \; cdot\; I\_\; \{J\}\}\; \{p\_\; \{x\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{b\; \backslash \; cdot\; p\_\; \{y\}\}\; \{p\_\; \{x\}\}\}\}$

Условие очистки рынка для x:

$x\; J\; +\; x\; K\; =\; EJ,\; x\; +\; EK,\; x\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{J\}\; +\; x\_\; \{K\}\; =\; E\_\; \{\; J,\; x\}\; +\; E\_\; \{K,\; x\}\; =\; 1\}$

Это уравнение дает соотношение равновесных цен:

$p\; 2\; p\; 1\; =\; 1\; -\; ab\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{2\}\}\; \{p\_\; \{1\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1-a\}\; \{b\}\}\}$

Мы могли бы сделать аналогичный расчет для y, но в этом нет необходимости, поскольку закон Вальраса гарантирует, что результаты будут такими же. Обратите внимание, что в CE определяются только относительные цены; мы можем нормализовать цены, например, потребовав, чтобы $p\; 1\; +\; p\; 2\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{1\}\; +\; p\_\; \{2\}\; =\; 1\}$. Тогда мы получаем $p\; 1\; =\; b\; 1\; +\; b\; -\; a,\; p\; 1\; =\; 1\; -\; a\; 1\; +\; b\; -\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{1\; +\; ba\}\},\; p\_\; \{\; 1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1-a\}\; \{1\; +\; ba\}\}\}$. Но подойдет и любая другая нормализация.

3. Пример несуществования: Предположим, что полезности агентов:

$u\; J\; (x,\; y)\; =\; u\; K\; (x,\; y)\; =\; max\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{J\}\; (x,\; y)\; =\; u\_\; \{K\}\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; max\; (x,\; y)\}$

и начальный запас равен [(2,1), (2,1)]. В CE каждый агент должен иметь либо только x, либо только y (другой продукт ничего не вносит в полезность, поэтому агент хотел бы обменять его). Следовательно, единственно возможные распределения CE - это [(4,0), (0,2)] и [(0,2), (4,0)]. Поскольку агенты имеют одинаковый доход, обязательно $p\; y\; =\; 2\; p\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{y\}\; =\; 2p\_\; \{x\}\}$. Но тогда агент, владеющий 2 единицами y, захочет обменять их на 4 единицы x.

4. Примеры существования и несуществования линейных коммунальных услуг см. В разделе Линейная полезность # Примеры.

Неделимые элементы

Когда в экономике есть неделимые элементы, принято считать, что есть также деньги, который делится. У агентов есть функции квазилинейной полезности : их полезность - это сумма денег, которую они имеют, плюс полезность от связки элементов, которые они хранят.

А. Одиночный элемент: У Алисы есть машина, которую она оценивает как 10. У Боба нет машины, и он оценивает машину Алисы как 20. Возможный CE: цена машины составляет 15, Боб получает машину и платит 15 на Алиса. Это равновесие, потому что рынок очищен, и оба агента предпочитают свой последний пакет первоначальному пакету. Фактически, каждая цена от 10 до 20 будет ценой CE с одинаковым распределением. Такая же ситуация имеет место, когда автомобиль изначально не принадлежит Алисе, а скорее находится на аукционе, на котором Алиса и Боб являются покупателями: автомобиль переходит к Бобу, и его цена будет где-то между 10 и 20.

С другой стороны, любая цена ниже 10 не является равновесной ценой, потому что существует избыточный спрос (и Алиса, и Боб хотят машину по этой цене), и любая цена выше 20 не является равновесной ценой, потому что имеется избыток предложения (ни Алиса, ни Боб не хотят машину по этой цене).

Этот пример является частным случаем двойного аукциона.

B. Заменители: Автомобиль и лошадь продаются на аукционе. Алиса заботится только о транспорте, поэтому для нее это идеальные замены: она получает полезность 8 от лошади, 9 от машины, и, если у нее есть оба из них, она использует только машину, поэтому ее полезность равна 9. Боб получает полезность. из 5 от лошади и 7 от машины, но если у него есть и то, и другое, то его полезность составляет 11, так как он также любит лошадь как домашнее животное. В этом случае труднее найти равновесие (см. ниже). Возможное равновесие состоит в том, что Алиса покупает лошадь за 5, а Боб покупает машину за 7. Это равновесие, поскольку Боб не хотел бы платить 5 за лошадь, что даст ему только 4 дополнительных полезности, а Алиса не хотела бы. заплатить 7 за машину, что даст ему только 1 дополнительную полезность.

С. Дополнения : Лошадь и карета продаются на аукционе. Есть два потенциальных покупателя: И и ИЛИ. И хочет, чтобы вместе были только лошадь и повозка - она ​​получает полезность $v\; и\; n\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{and\}\}$от удержания их обоих, но полезность 0 для удержания только одного из них. ИЛИ хочет либо лошадь, либо повозку, но не нуждается в обоих - он получает полезность $vor\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{или\}\}$от удержания одного из них и ту же полезность для удержания обоих из них. Здесь, когда , конкурентное равновесие НЕ существует, то есть никакая цена не очистит рынок. Доказательство: рассмотрите следующие варианты суммы цен (цена лошади + цена перевозки):

• Сумма меньше $v\; a\; n\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{и\}\}$. Затем AND хочет оба элемента. Поскольку цена хотя бы одного предмета меньше $vor\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{или\}\}$, OR хочет этот предмет, поэтому существует избыточный спрос.
• Сумма равна точно $vand\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{and\}\}$. Тогда И безразлично между покупкой обоих предметов и отказом от покупки какого-либо предмета. Но OR по-прежнему хочет только один элемент, поэтому имеется либо избыточный спрос, либо избыточное предложение.
• Сумма больше, чем $v\; a\; n\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{и\}\}$. Тогда AND не хочет ничего, а OR по-прежнему хочет не более одного предмета, поэтому имеется избыток предложения.

D. Потребители единицы спроса: Есть n потребителей. У каждого потребителя есть индекс $i\; =\; 1,...,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 1,...,\; n\}$. Есть только один вид товара. Каждый потребитель $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$хочет не более одной единицы товара, что дает ему полезность $u\; (i)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (i)\}$. Потребители упорядочены так, что $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$представляет собой слабо возрастающую функцию от $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$. Если предложение составляет $k\; \le \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; leq\; n\}$единиц, то любая цена $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$удовлетворяет $u\; (\; n\; -\; k)\; \le \; p\; \le \; u\; (n\; -\; k\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (nk)\; \backslash \; leq\; p\; \backslash \; leq\; u\; (n-k\; +\; 1)\}$- это равновесная цена, поскольку есть k потребителей, которые либо хотят купить товар, либо безразличны между покупкой и отказом от покупки. Обратите внимание, что увеличение предложения вызывает снижение цены.

Делимые ресурсы

Модель Эрроу – Дебре показывает, что CE существует в каждой экономике обмена с делимыми товарами, удовлетворяющими следующим условиям:

• Все агенты имеют строго выпуклые предпочтения ;
• Все товары желательны. Это означает, что если любой товар $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$предоставляется бесплатно ($pj\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{j\}\; =\; 0\}$), то все агенты хотят получить от этого добра как можно больше.

Доказательство проводится в несколько этапов.

A. Для конкретности предположим, что существует $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$агентов и $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$делимых товаров. Нормализовать цены так, чтобы их сумма была равна 1: $\sum \; j\; =\; 1\; k\; p\; j\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; p\_\; \{j\}\; =\; 1\}$. Тогда пространство всех возможных цен - это $k\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; k-1\}$-dimensional unit simplex in $R\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{k\}\}$. Мы называем этот симплекс ценовым симплексом.

Б. Пусть $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$будет функцией избыточного спроса. Это функция вектора цен $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$, когда начальный запас $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$остается постоянным:

$z\; (п)\; знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; NXI\; (п,\; п\; \cdot \; Е\; я)\; -\; Е\; я\; \{\backslash \; Displaystyle\; г\; (р)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{п\}\; \{х\_\; \{я\}\; (р,\; р\; \backslash \; cdot\; E\_\; \{i\})\; -\; E\_\; \{i\}\}\}$

Известно, что, когда агенты имеют строго выпуклые предпочтения, маршаллианская функция спроса является непрерывной. Следовательно, $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$также является непрерывной функцией от $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$.

C. Определим следующую функцию из ценового симплекса самому себе:

$gi\; (p)\; =\; pi\; +\; max\; (0,\; zi\; (p))\; 1\; +\; \sum \; j\; =\; 1\; k\; max\; (0,\; zj\; (p)),\; \forall \; i\; \in \; 1,\dots ,\; к\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{i\}\; (p)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{i\}\; +\; \backslash \; max\; (0,\; z\_\; \{i\}\; (p))\}\; \{1+\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; max\; (0,\; z\_\; \{j\}\; (p))\}\},\; \backslash \; forall\; i\; \backslash \; in\; 1,\; \backslash \; dots,\; k\}$

Это непрерывная функция, поэтому Брауэр фиксировал- точечная теорема существует вектор цен $p\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{*\}\}$такой, что:

$p\; \ast \; =\; g\; (p\; \ast )\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{\; *\}\; =\; g\; (p\; ^\; \{*\})\}$

так,

$pi\; \ast \; =\; pi\; +\; max\; (0,\; zi\; (p))\; 1\; +\; \sum \; j\; =\; 1\; k\; max\; (0,\; zj\; (p)),\; \forall \; я\; \in \; 1,\dots ,\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{i\}\; ^\; \{*\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{i\}\; +\; \backslash \; max\; (0,\; z\_\; \{i\}\; (p))\}\; \{1+\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; max\; (0,\; z\_\; \{j\}\; (p))\}\},\; \backslash \; forall\; i\; \backslash \; in\; 1,\; \backslash \; dots,\; k\}$

D. Используя закон Вальраса и некоторую алгебру, можно показать, что для этого вектора цен нет избыточного спроса ни на один продукт, то есть:

$zj\; (p\; \ast )\; \le \; 0,\; \forall \; j\; \in \; 1,\dots ,\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{j\}\; (p\; ^\; \{*\})\; \backslash \; leq\; 0,\; \backslash \; forall\; j\; \backslash \; in\; 1,\; \backslash \; dots,\; k\}$

E. Предположение о желательности подразумевает, что все товары имеют строго положительные цены:

$pj>0,\; \forall \; j\; \in \; 1,\dots ,\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{j\}>0,\; \backslash \; forall\; j\; \backslash \; in\; 1,\; \backslash \; dots,\; k\}$

По закону Вальраса, $p\; \ast \; \cdot \; z\; (p\; \ast )\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{*\}\; \backslash \; cdot\; z\; (p\; ^\; \{*\})\; =\; 0\}$. Но это означает, что указанное выше неравенство должно быть равенством:

$zj\; (p\; \ast )\; =\; 0,\; \forall \; j\; \in \; 1,\dots ,\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{j\}\; (p\; ^\; \{*\})\; =\; 0,\; \backslash \; forall\; j\; \backslash \; in\; 1,\; \backslash \; dots,\; k\}$

Это означает, что $p\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{*\}\}$- это ценовой вектор конкурентного равновесия.

Обратите внимание, что Линейные полезности имеют лишь слабую выпуклость, поэтому они не соответствуют критериям модели Эрроу – Дебре., Дэвид Гейл доказал, что CE существует в любой линейной экономике обмена, удовлетворяющей определенным условиям. Подробнее см. Линейные полезности # Existen ce конкурентного равновесия.

Неделимые предметы

В приведенных выше примерах конкурентное равновесие существовало, когда предметы были заменяющими, но не когда предметы дополняли. Это не совпадение.

Учитывая функцию полезности двух товаров X и Y, скажем, что товары слабо замещают брутто (GS), если они либо Независимые товары, либо брутто товары-заменители, но не Дополнительные товары. Это означает, что $\Delta \; спрос\; (X)\; \Delta \; цена\; (Y)\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; \{\backslash \; text\; \{demand\}\}\; (X)\}\; \{\backslash \; Delta\; \{\backslash \; text\; \{price\}\}\; (Y)\}\}\; \backslash \; geq\; 0\}$. То есть, если цена Y увеличивается, то спрос на X либо остается постоянным, либо увеличивается, но не уменьшается.

Функция полезности называется GS, если в соответствии с этой функцией полезности все пары различных товаров являются GS. При использовании функции полезности GS, если у агента есть спрос, установленный на заданном векторе цен, и цены на некоторые предметы увеличиваются, тогда у агента есть набор спроса, который включает все предметы, цена которых осталась постоянной. Он может решить, что ему не нужна вещь, которая стала дороже; он также может решить, что вместо этого хочет другой предмет (замену); но он может не решить, что ему не нужен третий предмет, цена которого не изменилась.

Когда функции полезности всех агентов являются GS, всегда существует конкурентное равновесие.

Более того, набор оценок GS является самым большим набором, содержащим оценки удельного спроса, для которых существует конкурентное равновесие гарантировано: для любой оценки НГБ существуют оценки спроса на единицу, такие, что не существует конкурентного равновесия для этих оценок спроса на единицу в сочетании с данной оценкой НГБ.

Согласно фундаментальным теоремам экономики благосостояния, любое распределение CE является эффективным по Парето, и любое эффективное распределение может быть устойчивым посредством конкурентного равновесия. Более того, согласно теоремам Вариана, распределение CE, при котором все агенты имеют одинаковый доход, также не зависит от зависти.

При конкурентном равновесии ценность, которую общество придает благу, эквивалентна стоимость ресурсов, затраченных на его производство (предельная выгода равна предельным затратам ). Это обеспечивает эффективность распределения : дополнительная ценность, которую общество придает другой единице блага, равна тому, от чего общество должно отказаться в ресурсах для ее производства.

Обратите внимание, что микроэкономический анализ не предполагает аддитивного полезность, и не предполагает никаких межличностных компромиссов полезности. Следовательно, эффективность означает отсутствие улучшений Парето. Он никоим образом не высказывает мнение о справедливости распределения (в смысле справедливого распределения или справедливости ). Эффективным равновесием может быть такое равновесие, при котором у одного игрока есть все товары, а у других игроков их нет (в крайнем случае), что эффективно в том смысле, что нельзя найти улучшение Парето, что заставляет всех игроков (включая один со всем в данном случае) лучше (для строгого улучшения по Парето) или не хуже.

Теоремы благосостояния для присвоения неделимых предметов

В случае неделимых предметов у нас есть следующие сильные версии двух теорем благосостояния :

1. Любое конкурентное равновесие максимизирует общественное благосостояние ( сумма утилит) не только для всех реалистичных назначений элементов, но и для всех дробных назначений элементов. То есть, даже если бы мы могли назначать доли элемента разным людям, мы не могли бы добиться большего, чем конкурентное равновесие, в котором назначаются только целые элементы.
2. Если есть целое назначение (без дробных присвоений)), который максимизирует общественное благосостояние, то с этим назначением существует конкурентное равновесие.

В случае неделимого назначения элементов, когда функции полезности всех агентов являются GS (и, таким образом, существует равновесие), можно найти конкурентное равновесие с помощью аукциона по возрастанию. На аукционе по возрастанию аукционист публикует вектор цен, изначально равный нулю, и покупатели объявляют свой любимый набор по этим ценам. В случае, если каждый предмет желает не более одного участника торгов, предметы делятся, и аукцион заканчивается. В случае избыточного спроса на один или несколько предметов аукционист увеличивает цену на предмет чрезмерного спроса на небольшую сумму (например, на доллар), и покупатели снова делают ставки.

В литературе было предложено несколько различных механизмов восходящего аукциона. Такие механизмы часто называют вальрасовским аукционом, вальрасианским аукционом или английским аукционом.

• ценообразование без зависти - ослабление вальрасовского равновесия, при котором некоторые предметы могут оставаться нераспределенными..
• Рынок Фишера - упрощенная модель рынка с одним продавцом и множеством покупателей, в которой можно эффективно рассчитать CE.
• Эффективность распределения
• Экономическое равновесие
• Теория общего равновесия
• Вальрасовский аукцион

• Рихтер М.К.; Вонг, К. С. (1999). «Невычислимость конкурентного равновесия». Экономическая теория. 14 : 1-27. doi : 10.1007 / s001990050281.

• Конкурентное равновесие, Вальрасовское равновесие и Вальрасовский аукцион в Economics Stack Exchange.