Линейная полезность

В экономике и теории потребителей, линейная функция полезности является функцией вида:

$u\; (x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xm)\; =\; w\; 1\; x\; 1\; +\; w\; 2\; x\; 2\; +\dots \; wmxm\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\}),\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{m\})\; =\; w\_\; \{1\}\; x\_\; \{1\}\; +\; w\_\; \{2\}\; x\_\; \{2\}\; +\; \backslash \; dots\; w\_\; \{m\}\; x\_\; \{m\}\}$

или, в векторной форме:

$u\; (x\; \to )\; =\; вес\; \to \; \cdot \; x\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (\{\backslash \; overrightarrow\; \{x\}\})\; =\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{w\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{x\}\}\}$

где:

• $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$- количество различных товаров в экономике.
• $x\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{x\}\}\}$- вектор размера $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$, представляющий bundle. Элемент $xi\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}\}$представляет количество товара $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$в наборе.
• $w\; \to \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{w\}\}\}$- вектор размером $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$, который представляет субъективные предпочтения потребителя.. Элемент $w\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{i\}\}$представляет относительную ценность, которую потребитель присваивает товару $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$. Если $wi\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{i\}\; =\; 0\}$, это означает, что потребитель считает, что продукт $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$совершенно бесполезен.. Чем выше значение $wi\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{i\}\}$, тем более ценной для потребителя является единица этого продукта.

Потребитель с линейной функцией полезности обладает следующими свойствами:

• Предпочтения строго монотонны : наличие большего количества даже одного товара строго увеличивает полезность.
• Предпочтения слабо выпуклые, но не строго выпуклый: сочетание двух эквивалентных наборов эквивалентно исходным, но не лучше его.
• предельная норма замещения всех товаров постоянна. Для каждых двух товаров $i,\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; i,\; j\}$:

$MRS\; i,\; j\; =\; wi\; /\; wj\; \{\backslash \; displaystyle\; MRS\_\; \{i,\; j\}\; =\; w\_\; \{i\}\; /\; w\_\; \{j\}\}$.

• Кривые безразличия представляют собой прямые линии (когда есть два товара) или гиперплоскости (когда товаров больше).
• Каждая кривая спроса (спрос как функция цены) является ступенчатой ​​функцией : потребитель хочет купить ноль единиц товара, соотношение полезности / цены которого ниже максимального, и хочет купить как можно больше единиц товара, полезность / цена которого
• Потребитель рассматривает товары как совершенные товары-заменители.

Содержание

• 1 Экономика с линейной полезностью
• 2 Конкурентное равновесие
• 3 Существование конкурентного равновесия
• 4 Конкурентное равновесие с равными доходами
  • 4.1 Примеры
• 5 Уникальность полезности в конкурентном равновесии
• 6 Расчет конкурентного равновесия
• 7 Понятия, связанные с данным
• 8 Ссылки

Экономика с линейной полезностью

Определите линейную экономику как экономика обмена, в которой все агенты имеют линейные функции полезности. Линейная экономика имеет несколько свойств.

Предположим, что каждый агент $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$имеет начальные ресурсы $e\; A\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{e\_\; \{A\}\}\}\}$. Это вектор размера $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$, в котором элемент $e\; A,\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{A,\; i\}\}$представляет количество товара $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$, которое изначально принадлежит агенту $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$. Тогда начальная полезность этого агента: $w\; A\; \to \; \cdot \; e\; A\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{w\_\; \{A\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{e\_\; \{A\}\}\}\}$.

Предположим, что рыночные цены представлены вектором $p\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{p\}\}\}$- вектором размера $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$в котором элемент $pi\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{i\}\}$- это цена товара $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$. Тогда бюджет агента $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$равен $p\; \to \; \cdot \; e\; A\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{p\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{e\_\; \{A\; \}\}\}\}$. Пока действует этот вектор цен, агент может позволить себе все и только пакеты $x\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{x\}\}\}$, которые удовлетворяют бюджетному ограничению : $p\; \to \; \cdot \; x\; \to \; \le \; p\; \to \; \cdot \; e\; A\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{p\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{x\}\}\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{p\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{\; e\_\; \{A\}\}\}\}$.

Конкурентное равновесие

A Конкурентное равновесие - это вектор цен и распределение, при котором удовлетворяются потребности всех агентов (спрос на каждый товар равен его предложению). В линейной экономике он состоит из вектора цен $p\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{p\}\}\}$и распределения $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, давая каждому агенту набор $x\; A\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{x\_\; \{A\}\}\}\}$такой, что:

• $\sum \; A\; x\; A\; \to \; =\; \sum \; A\; e\; A\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{A\}\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{x\_\; \{A\}\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{A\}\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{e\_\; \{A\}\}\}\}$(общая сумма всех товаров то же, что и при первоначальном распределении; товары не производятся и не уничтожаются).
• Для каждого агента $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$его распределение $x\; A\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{x\_\; \{A\}\}\}\}$максимизирует полезность агента, $w\; A\; \to \; \cdot \; x\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{w\_\; \{A\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{x\}\}\}$с учетом бюджетного ограничения $p\; \to \; \cdot \; x\; \to \; \le \; p\; \to \; \cdot \; e\; A\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{p\; \}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{x\}\}\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{p\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{e\_\; \{A\}\}\}\}$.

В равновесии каждый агент держит только go оды, для которых его соотношение полезности / цены слабо максимальное. То есть, если агент $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$удерживает $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$в равновесии, то для любого другого товара $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$:

$вес\; A,\; i\; /\; pi\; \ge \; w\; A,\; j\; /\; pj\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{A,\; i\}\; /\; p\_\; \{i\}\; \backslash \; geq\; w\_\; \{A,\; j\}\; /\; p\_\; \{j\}\}$

(в противном случае агент захочет обменять некоторое количество товара $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$на товар $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$, тем самым нарушив равновесие).

Не умаляя общности, можно предположить, что каждый товар желателен, по крайней мере, одним агентом (в противном случае этот товар можно игнорировать для всех практических целей). Согласно этому предположению, равновесная цена товара должна быть строго положительной (иначе спрос был бы бесконечным).

Существование конкурентного равновесия

Дэвид Гейл доказал необходимые и достаточные условия для существования конкурентного равновесия в линейной экономике. Он также доказал несколько других свойств линейной экономики.

Набор $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$агентов называется самодостаточным, если все члены $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$назначают положительное значение только для товаров, которые принадлежат исключительно членам $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$(другими словами, они присваивают значение $wi\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{i\}\; =\; 0\}$к любому продукту $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$, который принадлежит участникам за пределами $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$). Набор $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$называется супер-самодостаточным, если кто-то из $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$владеет товаром, который не оценивается любой член $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$(включая его самого). Теорема существования Гейла гласит:

Линейная экономика имеет конкурентное равновесие тогда и только тогда, когда ни один набор агентов не является сверхсамодостаточным.

Доказательство направления «только если»: предположим, что экономика находится в равновесии с ценой $p\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{p\}\}\}$и выделение $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. Предположим, $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$- это самодостаточный набор агентов. Тогда все члены $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$торгуют только друг с другом, потому что товары, принадлежащие другим агентам, бесполезны для них. Следовательно, равновесное распределение удовлетворяет следующим условиям:

$\sum \; A\; \in \; S\; x\; A\; \to \; =\; \sum \; A\; \in \; S\; e\; A\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{A\; \backslash \; in\; S\}\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{x\_\; \{A\}\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{A\; \backslash \; in\; S\}\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{e\_\; \{A\}\}\}\}$.

Каждое равновесное распределение является эффективным по Парето. Это означает, что при равновесном распределении $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$каждый товар принадлежит только агенту, который придает этому товару положительную ценность. Согласно только что упомянутому равенству для каждого товара $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$общая сумма $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$, принадлежащая членам $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$в равновесном распределении $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$равняется общей сумме $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$удерживается членами $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$при первоначальном выделении $e\; \{\backslash \; displaystyle\; e\}$. Следовательно, при первоначальном распределении $e\; \{\backslash \; displaystyle\; e\}$каждый товар принадлежит члену $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, только если он ценно для одного или нескольких членов $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$. Следовательно, $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$не является супер-самодостаточным.

Конкурентное равновесие с равными доходами

Конкурентное равновесие с равными доходами (CEEI) - это особый вид конкурентного равновесия, в котором бюджет всех агентов одинаков. То есть для каждых двух агентов $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$:

$p\; \to \; \cdot \; x\; A\; \to \; =\; p\; \to \; \cdot \; x\; B\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{p\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{x\_\; \{A\}\}\}\; =\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{p\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{x\_\; \{B\}\}\}\}$

Распределение CEEI важно, потому что оно гарантированно будет без зависти : пакет $x\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{A\}\}$дает агенту $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$максимальная полезность среди всех комплектов с одинаковой ценой, поэтому, в частности, он дает ему, по крайней мере, такую ​​же полезность, как и комплект $x\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{B\}\}$.

Один из способов достижения CEEI заключается в том, чтобы предоставить всем агентам одинаковые начальные средства, т. Е. Для каждого $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$:

$e\; A\; \to \; =\; e\; B\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{e\_\; \{A\}\}\}\; =\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{e\_\; \{B\}\}\}\}$

(если есть $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$агентов, то каждые агент получает ровно $1\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; n\}$количества каждого товара). При таком распределении никакие подмножества агентов не являются самодостаточными. Следовательно, как следствие теоремы Гейла:

В линейной экономике всегда существует CEEI .

Примеры

Во всех приведенных ниже примерах есть два агента - Алиса и Джордж, и два товара - яблоки. (х) и гуавы (у).

А. Уникальное равновесие : функции полезности:

$u\; A\; (x,\; y)\; =\; 3\; x\; +\; 2\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{A\}\; (x,\; y)\; =\; 3x\; +\; 2y\}$,

$u\; G\; (x,\; y)\; =\; 2\; x\; +\; 3\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{G\}\; (x,\; y)\; =\; 2x\; +\; 3y\}$.

Общий запас составляет $T\; =\; (6,\; 6)\; \{\backslash \; displaystyle\; Т\; =\; (6,6)\}$. Без потери общности мы можем нормализовать вектор цен таким образом, чтобы $P\; x\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{x\}\; =\; 1\}$. Какие значения может иметь $P\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{y\}\}$в CE? Если $P\; y>3/2\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{y\}>3/2\}$, то оба агента хотят отдать все свои y за x; если , то оба агента хотят дать все свои x вместо y; следовательно, в CE $2/3\; \le \; P\; y\; \le \; 3/2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2/3\; \backslash \; leq\; P\_\; \{y\}\; \backslash \; leq\; 3/2\}$. Если $P\; y\; =\; 2/3\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{y\}\; =\; 2/3\}$, то Алиса безразлична между x и y, а Джордж хочет только y. Аналогично, если $P\; y\; =\; 3/2\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{y\}\; =\; 3/2\}$, тогда Джордж безразличен, а Алиса хочет только x. Если , то Алисе нужно только x, в то время как Джордж хочет только y. Следовательно, распределение CE должно быть [(6,0); (0,6)]. Вектор цен зависит от начального распределения. Например, если начальное распределение равно, [(3, 3); (3,3)], то оба агента имеют одинаковый бюджет в CE, поэтому $P\; y\; =\; P\; x\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{y\}\; =\; P\_\; \{x\}\; =\; 1\}$. Этот CE по сути уникален: вектор цен можно умножить на постоянный коэффициент, но равновесие CE не изменится.

Б. Нет равновесия : Предположим, Алиса держит яблоки и гуаву, но хочет только яблоки. Джордж держит только гуаву, но хочет и яблок, и гуаву. Набор {Алиса} самодостаточен, потому что Алиса считает, что все товары Джорджа бесполезны. Более того, набор {Алиса} супер-самодостаточен, потому что Алиса держит гуавы, которые для нее ничего не стоят. Действительно, конкурентного равновесия не существует: независимо от цены Алиса хотела бы отдать все свои гуавы за яблоки, но у Джорджа нет яблок, поэтому ее спрос останется невыполненным.

С. Множество равновесий : предположим, что есть два товара и два агента, оба агента присваивают одинаковую ценность обоим товарам (например, для обоих из них $wapples\; =\; wguavas\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{apples\}\; =\; w\_\; \{guavas\}\; =\; 1\}$). Затем в состоянии равновесия агенты могут обменять несколько яблок на равное количество гуав, и в результате все равно будет равновесие. Например, если есть равновесие, в котором у Алисы 4 яблока и 2 гуавы, а у Джорджа 5 яблок и 3 гуавы, то ситуация, в которой Алиса имеет 5 яблок и 1 гуаву, а Джордж - 4 яблока и 4 гуавы, также является равновесием.

Но в обоих этих равновесиях общие полезности обоих агентов одинаковы: Алиса имеет полезность 6 в обоих равновесиях, а Джордж имеет полезность 8 в обоих равновесиях. Это не совпадение, как показано в следующем разделе.

Уникальность полезности в конкурентном равновесии

Гейл доказал, что:

В линейной экономике все агенты безразличны между всеми равновесиями .

Доказательство. Доказательство проводится индукцией по количеству трейдеров. Когда есть только один трейдер, претензия очевидна. Предположим, есть два или более трейдеров и рассмотрим два равновесия: равновесие X с вектором цен $p\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{p\}\}\}$и распределение $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, и равновесие Y с вектором цены $q\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{q\}\}\}$и распределением $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$. Следует рассмотреть два случая:

a. Векторы цен одинаковы с точностью до мультипликативной константы: $p\; \to \; =\; C\; \cdot \; q\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{p\}\}\; =\; C\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{q\}\}\}$для некоторая константа $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$. Это означает, что в обоих состояниях равновесия все агенты имеют одинаковый набор бюджета (они могут позволить себе одинаковые пакеты). В состоянии равновесия полезность каждого агента - это максимальная полезность пакета в бюджетном наборе; если набор бюджета тот же, то и максимальная полезность в этом наборе.

б. Векторы цен не пропорциональны. Это означает, что цена на одни товары изменилась больше, чем на другие. Определите самый высокий рост цены как:

$M:\; =\; max\; iqi\; /\; pi\; \{\backslash \; displaystyle\; M:\; =\; \backslash \; max\; \_\; \{i\}\; \{q\_\; \{i\}\; /\; p\_\; \{i\}\}\}$

и определите самую высокую цену -поднять товары как те товары / товары, которые испытали максимальное изменение цены (это должно быть надлежащее подмножество всех товаров, поскольку векторы цен не пропорциональны):

$H:\; =\; \{i\; |\; qi\; /\; pi\; =\; M\}\; \{\backslash \; displaystyle\; H:\; =\; \backslash \; \{i\; |\; q\_\; \{i\}\; /\; p\_\; \{i\}\; =\; M\; \backslash \}\}$

и определим держателей наибольшего роста цен как тех трейдеров, которые владеют одним или больше этих товаров с максимальным изменением цены в Равновесии Y:

$S:\; =\; \{A\; |\; y\; A,\; i>0\; для\; некоторого\; i\; \in \; H\}\; \{\backslash \; displaystyle\; S:\; =\; \backslash \; \{A\; |\; y\_\; \{A,\; i\}>0\; \{\backslash \; text\; \{для\; некоторых\}\}\; i\; \backslash \; in\; H\; \backslash \}\}$

В равновесии агенты имеют только товары, соотношение полезности / цены которых слабо максимальное. Таким образом, для всех агентов в $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$полезность Соотношение цена / цена всех товаров в $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$слабо максимальное при векторе цен $q\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{q\}\}\}$. Поскольку товары в $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$испытали наибольший рост цен, когда вектор цен равен $p\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{p\}\}\}$их соотношение полезности / цены строго максимально. Следовательно, в равновесии X все агенты в $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$имеют только товары из $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \}$. В равновесии X кто-то должен держать товары, которых нет в $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$; следовательно, $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$должен быть правильным подмножеством агентов.

Таким образом, в равновесии X, $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$-агенты содержат только $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$-товары, и в равновесии Y, $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$-агенты содержат все $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$-товары. Это позволяет нам производить некоторые расчеты бюджета:

С одной стороны, в равновесии X с ценой $p\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{p\}\}\}$, $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$-агенты тратят весь свой бюджет на $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$-товары, поэтому:

$p\; \to \; \cdot \; \sum \; A\; \in \; S\; е\; A\; \to \; \le \; \sum \; я\; \in \; H\; pi\; pi\; ei\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{p\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sum\; \_\; \{A\; \backslash \; in\; S\}\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{e\_\; \{A\}\}\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; H\}\; \{p\_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{e\_\; \{i\}\}\}\}\}$

(где $ei\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{e\_\; \{i\}\}\}\}\}$- это общий первоначальный запас товара $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$).

С другой стороны, в равновесии Y с ценой $q\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{q\}\}\}$, $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$-агенты могут позволить себе все $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$-товары, поэтому:

$q\; \to \; \cdot \; \sum \; A\; \in \; S\; e\; A\; \to \; \ge \; \sum \; i\; \in \; H\; qi\; \cdot \; ei\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{q\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sum\; \_\; \{A\; \backslash \; in\; S\}\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{e\_\; \{A\}\}\}\; \backslash \; geq\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; \backslash \; in\; H\}\; \{q\_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{e\_\; \{i\}\}\}\}\}$

Объединение этих уравнений приводит к выводу, что в обоих состояниях равновесия агенты $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$торгуют только друг с другом:

$\sum \; A\; \in \; S\; y\; A\; =\; \sum \; A\; \in \; S\; x\; A\; =\; \sum \; A\; \in \; S\; e\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{A\; \backslash \; in\; S\}\; \{y\_\; \{A\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; A\; \backslash \; in\; S\}\; \{x\_\; \{A\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{A\; \backslash \; in\; S\}\; \{e\_\; \{A\}\}\}$.

Следовательно, агенты не в $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$Тоже торгуют только друг с другом. Это означает, что равновесие X состоит из двух равновесий: одно, в котором участвуют только $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$-агенты, и $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$-продукты., и другой, который включает только не $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$-агенты и не- $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$-товары. То же самое верно и для агента Y. Поскольку $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$- собственное подмножество агентов, предположение индукции может быть применено, и теорема доказана.

Расчет конкурентного равновесия

Ивс представил алгоритм для нахождения конкурентного равновесия за конечное число шагов, когда такое равновесие существует.

Понятия, связанные с данным

Линейные служебные функции - это небольшое подмножество квазилинейных служебных функций.

Товары с линейными полезностями являются частным случаем товаров-заменителей.

Предположим, что набор товаров не конечный, а непрерывный. Например, товар - это неоднородный ресурс, такой как земля. Тогда функции полезности не являются функциями конечного числа переменных, а скорее функциями множества, определенными на борелевских подмножествах земли. Естественным обобщением линейной функции полезности для этой модели является аддитивная функция множества. Это обычный случай в теории разделки торта. Расширение результата Гейла на этот параметр дается теоремой Веллера.

При определенных условиях порядковое отношение предпочтения может быть представлено линейной и непрерывной функцией полезности.

Ссылки