Коэффициенты Клебша – Гордана

редактировать

Коэффициенты в собственных состояниях углового момента квантовых систем

В физике Коэффициенты Клебша – Гордана (CG) - это числа, которые возникают при связи углового момента в квантовой механике. Они появляются как коэффициенты разложения полного углового момента собственных состояний в несвязанном базисе тензорного произведения. В более математических терминах коэффициенты CG используются в теории представлений, особенно в компактных группах Ли, для выполнения явного разложения прямой суммы тензорное произведение двух неприводимых представлений (т. е. сводимое представление в неприводимые представления в тех случаях, когда числа и типы неприводимых компонентов уже известны абстрактно). Название происходит от немецких математиков Альфреда Клебша и Пола Гордана, которые столкнулись с эквивалентной проблемой в теории инвариантов.

С точки зрения векторного исчисления., коэффициенты CG, связанные с группой SO(3) , могут быть определены просто в терминах интегралов произведений сферических гармоник и их комплексно сопряженных. Сложение спинов в квантово-механических терминах можно понять непосредственно из этого подхода, поскольку сферические гармоники - это собственные функции полного углового момента и их проекции на ось, а интегралы соответствуют гильбертову пространству внутренний продукт. Из формального определения углового момента можно найти рекуррентные соотношения для коэффициентов Клебша – Гордана. Существуют также сложные явные формулы для их прямого вычисления.

В формулах ниже используются обозначения Дирака бюстгальтер-кет и фазовое соглашение Кондона – Шортли принято.

Содержание

1 Операторы углового момента
2 Сферический базис для собственных состояний углового момента
3 Пространство тензорного произведения
4 Формальное определение коэффициентов Клебша – Гордана
5 Рекурсивные соотношения
6 Явные выражение
7 Отношения ортогональности
8 Особые случаи
9 Свойства симметрии
- 9.1 Правила для фазовых множителей
10 Связь с 3-j-символами Вигнера
11 Связь с D-матрицами Вигнера
12 Связь со сферическими гармониками
13 Другие свойства
14 SU (n) Коэффициенты Клебша – Гордана
15 См. Также
16 Примечания
17 Примечания
18 Ссылки
19 Внешние links
20 Дополнительная литература

Операторы углового момента

Операторы углового момента - это самосопряженные операторы jx, j y и j z, удовлетворяющих коммутационным соотношениям

[jk, jl] ≡ jkjl - jljk = i ℏ ε klmjmk, l, m ∈ {x, y, z}, {\ displaystyle {\ begin {align} [\ mathrm {j} _ {k}, \ mathrm {j} _ {l}] \ Equiv \ mathrm {j} _ {k} \ mathrm {j} _ {l} - \ mathrm {j} _ {l} \ mathrm {j} _ {k} = i \ hbar \ varepsilon _ {klm} \ mathrm {j} _ {m} k, l, m \ in \ {\ mathrm { x, y, z} \}, \ end {align}}}

{\begin{aligned}[\mathrm {j} _{k},\mathrm {j} _{l}]\equiv \mathrm {j} _{k}\mathrm {j} _{l}-\mathrm {j} _{l}\mathrm {j} _{k}=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {j} _{m}k,l,m\in \{\mathrm {x,y,z} \},\end{aligned}}

, где ε klm - это символ Леви-Чивиты. Вместе эти три оператора определяют векторный оператор, декартов тензорный оператор,

j = (j x, j y, j z) первого ранга. {\ displaystyle \ mathbf {j} = (\ mathrm {j_ {x}}, \ mathrm {j_ {y}}, \ mathrm {j_ {z}}).}

\mathbf {j} =(\mathrm {j_{x}},\mathrm {j_{y}},\mathrm {j_{z}}).

Он также известен как сферический вектор, поскольку он также является сферическим тензорным оператором. Только для ранга один сферические тензорные операторы совпадают с декартовыми тензорными операторами.

Развивая эту концепцию, можно определить другой оператор j как внутренний продукт для j с самим собой:

j 2 = jx 2 + jy 2 + jz 2. {\ Displaystyle \ mathbf {j} ^ {2} = \ mathrm {j_ {x} ^ {2}} + \ mathrm {j_ {y} ^ {2}} + \ mathrm {j_ {z} ^ {2} }.}

\mathbf {j} ^{2}=\mathrm {j_{x}^{2}} +\mathrm {j_{y}^{2}} +\mathrm {j_{z}^{2}}.

Это пример оператора Казимира. Он диагонален, и его собственное значение характеризует конкретное неприводимое представление алгебры углового момента, поэтому (3) ≅ su (2). Это физически интерпретируется как квадрат полного углового момента состояний, на которые действует представление.

Также можно определить операторы подъема (j +) и опускания (j -), так называемые операторы лестничной диаграммы,

j ± = jx ± ijy. {\ displaystyle \ mathrm {j _ {\ pm}} = \ mathrm {j_ {x}} \ pm i \ mathrm {j_ {y}}.}

\mathrm {j_{\pm }} =\mathrm {j_{x}} \pm i\mathrm {j_{y}}.

Сферический базис для собственных состояний углового момента

It можно показать из приведенных выше определений, что j коммутирует с j x, j y и j z:

[j 2, jk] = 0 k ∈ {x, y, z}. {\ displaystyle {\ begin {align} [\ mathbf {j} ^ {2}, \ mathrm {j} _ {k}] = 0 k \ in \ {\ mathrm {x}, \ mathrm {y}, \ mathrm {z} \}. \ end {align}}}

{\begin{aligned}[\mathbf {j} ^{2},\mathrm {j} _{k}]=0k\in \{\mathrm {x},\mathrm {y},\mathrm {z} \}.\end{aligned}}

Когда два эрмитовых оператора коммутируют, существует общий набор собственных состояний. Обычно выбираются j и j z. Из коммутационных соотношений можно найти возможные собственные значения. Эти собственные состояния обозначаются | j m⟩, где j - квантовое число углового момента, а m - проекция углового момента на ось z.

Они составляют сферический базис , являются полными и удовлетворяют следующим уравнениям на собственные значения,

j 2 | j m⟩ = ℏ 2 j (j + 1) | j m⟩, j ∈ {0, 1 2, 1, 3 2,…} j z | j m⟩ = ℏ m | j m⟩, m ∈ {- j, - j + 1,…, j}. {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {j} ^ {2} | j \, m \ rangle = \ hbar ^ {2} j (j + 1) | j \, m \ rangle, j \ in \ {0, {\ tfrac {1} {2}}, 1, {\ tfrac {3} {2}}, \ ldots \} \\\ mathrm {j_ {z}} | j \, m \ rangle = \ hbar m | j \, m \ rangle, m \ in \ {- j, -j + 1, \ ldots, j \}. \ end {align}}}

{\begin{aligned}\mathbf {j} ^{2}|j\,m\rangle =\hbar ^{2}j(j+1)|j\,m\rangle,j\in \{0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots \}\\\mathrm {j_{z}} |j\,m\rangle =\hbar m|j\,m\rangle,m\in \{-j,-j+1,\ldots,j\}.\end{aligned}}

Можно использовать операторы повышения и понижения для изменения значения m,

j ± | j m⟩ = ℏ C ± (j, m) | j (м ± 1)⟩, {\ displaystyle \ mathrm {j} _ {\ pm} | j \, m \ rangle = \ hbar C _ {\ pm} (j, m) | j \, (m \ pm 1) \ rangle,}

\mathrm {j} _{\pm }|j\,m\rangle =\hbar C_{\pm }(j,m)|j\,(m\pm 1)\rangle,

где лестничный коэффициент определяется как:

C ± (j, m) = j (j + 1) - m (m ± 1) = (j ∓ m) (j ± m + 1). {\ displaystyle C _ {\ pm} (j, m) = {\ sqrt {j (j + 1) -m (m \ pm 1)}} = {\ sqrt {(j \ mp m) (j \ pm m +1)}}.}

C_{\pm }(j,m)={\sqrt {j(j+1)-m(m\pm 1)}}={\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}.

(1)

В принципе, можно также ввести (возможно, комплексный) фазовый коэффициент в определение $C ± (j, m) {\ displaystyle C _ {\ pm} (j, m)}$ $C_{\pm }(j,m)$ . Выбор, сделанный в этой статье, согласуется с соглашением о фазах Кондона – Шортли. Состояния углового момента ортогональны (поскольку их собственные значения относительно эрмитова оператора различны) и считаются нормированными,

⟨j m | j ′ m ′⟩ = δ j, j ′ δ m, m ′. {\ displaystyle \ langle j \, m | j '\, m' \ rangle = \ delta _ {j, j '} \ delta _ {m, m'}.}

\langle j\,m|j'\,m'\rangle =\delta _{j,j'}\delta _{m,m'}.

Здесь курсивом j и m обозначают целое число или полуцелое угловой момент квантовые числа частицы или системы. С другой стороны, латинское число j x, j y, j z, j +, j - и j обозначают операторы. Символы $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\delta$ - это дельты Кронекера.

Пространство тензорного произведения

Теперь рассмотрим системы с двумя физически разными угловыми моментами j 1 и j 2. Примеры включают спин и орбитальный угловой момент одного электрона, или спины двух электронов, или орбитальные угловые моменты двух электронов. Математически это означает, что операторы углового момента действуют в пространстве $V 1 {\ displaystyle V_ {1}}$ $V_{1}$ размерности $2 j 1 + 1 {\ displaystyle 2j_ {1} + 1}$ $2j_{1}+1$ , а также в пространстве $V 2 {\ displaystyle V_ {2}}$ $V_{2}$ измерения $2 j 2 + 1 {\ displaystyle 2j_ {2} + 1}$ $2j_{2}+1$ . Затем мы собираемся определить семейство операторов «полного углового момента», действующих на тензорное произведение space $V 1 ⊗ V 2 {\ displaystyle V_ {1} \ otimes V_ {2}}$ $V_{1}\otimes V_{2}$ , имеющий размерность $(2 j 1 + 1) (2 j 2 + 1) {\ displaystyle (2j_ {1} +1) (2j_ {2} +1)}$ $(2j_1+1)(2j_2+1)$ . Действие оператора полного углового момента на этом пространстве составляет представление алгебры Ли su (2), но приводимое. Редукция этого приводимого представления на неприводимые части - цель теории Клебша – Гордана.

Пусть V 1 будет (2 j 1 + 1) -мерным векторным пространством , охватываемым состояниями

| j 1 м 1⟩, м 1 ∈ {- j 1, - j 1 + 1,…, j 1} {\ displaystyle {\ begin {align} | j_ {1} \, m_ {1} \ rangle, m_ {1} \ in \ {- j_ {1}, - j_ {1} +1, \ ldots, j_ {1} \} \ end {align}}}

{\begin{aligned}|j_{1}\,m_{1}\rangle,m_{1}\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots,j_{1}\}\end{aligned}}

и V 2 (2 j 2 + 1) -мерное векторное пространство, натянутое на состояния

| j 2 m 2⟩, m 2 ∈ {- j 2, - j 2 + 1,…, j 2} {\ displaystyle {\ begin {align} | j_ {2} \, m_ {2} \ rangle, m_ {2} \ in \ {- j_ {2}, - j_ {2} +1, \ ldots, j_ {2} \} \ end {align}}}

{\begin{aligned}|j_{2}\,m_{2}\rangle,m_{2}\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots,j_{2}\}\end{aligned}}

Тензорное произведение этих пространств, V 3 ≡ V 1 ⊗ V 2, имеет (2 j 1 + 1) (2 j 2 + 1) -мерный несвязанный базис

| j 1 м 1 j 2 м 2⟩ ≡ | j 1 м 1⟩ ⊗ | j 2 m 2⟩, m 1 ∈ {- j 1, - j 1 + 1,…, j 1}, m 2 ∈ {- j 2, - j 2 + 1,…, j 2} {\ displaystyle | j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} \ rangle \ Equiv | j_ {1} \, m_ {1} \ rangle \ otimes | j_ {2} \, m_ {2 } \ rangle, \ quad m_ {1} \ in \ {- j_ {1}, - j_ {1} +1, \ ldots, j_ {1} \}, \ quad m_ {2} \ in \ {- j_ {2}, - j_ {2} +1, \ ldots, j_ {2} \}}

|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle,\quad m_{1}\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots,j_{1}\},\quad m_{2}\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots,j_{2}\}

Операторы углового момента определены для воздействия на состояния в V 3 следующим образом:

(j ⊗ 1) | j 1 м 1 j 2 м 2⟩ ≡ j | j 1 м 1⟩ ⊗ | j 2 м 2⟩ {\ displaystyle (\ mathbf {j} \ otimes 1) | j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} \ rangle \ эквив \ mathbf {j} | j_ {1} \, m_ {1} \ rangle \ otimes | j_ {2} \, m_ {2} \ rangle}

({\mathbf j}\otimes 1)|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv {\mathbf j}|j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m _{2}\rangle

(1 ⊗ j) | j 1 м 1 j 2 м 2⟩ ≡ | j 1 м 1⟩ ⊗ j | j 2 м 2⟩, {\ displaystyle (1 \ otimes \ mathrm {\ mathbf {j}}) | j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} \ rangle \ эквив | j_ {1} \, m_ {1} \ rangle \ otimes \ mathbf {j} | j_ {2} \, m_ {2} \ rangle,}

(1\otimes \mathrm {\mathbf {j} })|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes \mathbf {j} |j_{2}\,m_{2}\rangle,

где 1 обозначает оператор идентичности.

Операторы totalуглового момента определяются с помощью совместного произведения (или тензорного произведения ) двух представлений, действующих на V 1⊗V2,

$J ≡ j ⊗ 1 + 1 ⊗ j. {\ displaystyle \ mathbf {J} \ Equiv \ mathbf {j} \ otimes 1 + 1 \ otimes \ mathbf {j} ~.}$ $\mathbf {J} \equiv \mathbf {j} \otimes 1+1\otimes \mathbf {j} ~.$

Можно показать, что операторы полного углового момента удовлетворяют тем же самым коммутационным соотношениям,

[J K, J l] = я ℏ ε klm J m, {\ displaystyle [\ mathrm {J} _ {k}, \ mathrm {J} _ {l}] = i \ hbar \ varepsilon _ {klm } \ mathrm {J} _ {m} ~,}

[\mathrm {J} _{k},\mathrm {J} _{l}]=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {J} _{m}~,

где k, l, m ∈ {x, y, z}. Действительно, предыдущая конструкция является стандартным методом построения действия алгебры Ли на тензорном произведении.

Следовательно, для оператора полного углового момента также существует набор связанных собственных состояний,

J 2 | [j 1 j 2] J M⟩ = ℏ 2 J (J + 1) | [j 1 j 2] J M⟩ J z | [j 1 j 2] J M⟩ = ℏ M | [j 1 j 2] JM⟩ {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {J} ^ {2} | [j_ {1} \, j_ {2}] \, J \, M \ rangle = \ hbar ^ {2} J (J + 1) | [j_ {1} \, j_ {2}] \, J \, M \ rangle \\\ mathrm {J_ {z}} | [j_ {1} \, j_ {2}] \, J \, M \ rangle = \ hbar M | [j_ {1} \, j_ {2}] \, J \, M \ rangle \ end {align}}}

{\begin{aligned}\mathbf {J} ^{2}|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle =\hbar ^{2}J(J+1)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \\\mathrm {J_{z}} |[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle =\hbar M|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \end{aligned}}

для M ∈ {−J, −J + 1,…, J}. Обратите внимание, что часть [j 1j2] обычно опускают.

Квантовое число J полного углового момента должно удовлетворять треугольному условию:

| j 1 - j 2 | ≤ J ≤ j 1 + j 2 {\ displaystyle | j_ {1} -j_ {2} | \ leq J \ leq j_ {1} + j_ {2}}

|j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2}

такой, что три неотрицательных целых или полуцелых числа значения могут соответствовать трем сторонам треугольника.

Общее количество собственных состояний полного углового момента обязательно равно размерности V 3:

∑ J = | j 1 - j 2 | j 1 + j 2 (2 J + 1) = (2 j 1 + 1) (2 j 2 + 1). {\ displaystyle \ sum _ {J = | j_ {1} -j_ {2} |} ^ {j_ {1} + j_ {2}} (2J + 1) = (2j_ {1} +1) (2j_ { 2} +1) ~.}

\sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}(2J+1)=(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)~.

Как показывает это вычисление, представление тензорного произведения разлагается как прямая сумма одной копии каждого из неприводимых представлений размерности $2 J + 1 {\ displaystyle 2J + 1}$ $2J+1$ , где $J {\ displaystyle J}$ $J$ находится в диапазоне от $| j 1 - j 2 | {\ displaystyle | j_ {1} -j_ {2} |}$ $|j_{1}-j_{2}|$ до $j 1 + j 2 {\ displaystyle j_ {1} + j_ {2}}$ $j_{1}+j_{2}$ в с шагом 1. В качестве примера рассмотрим тензорное произведение трехмерного представления, соответствующего $j 1 = 1 {\ displaystyle j_ {1} = 1}$ $j_{1}=1$ с двумерным представлением с $j 2 = 1/2 {\ displaystyle j_ {2} = 1/2}$ $j_{2}=1/2$ . Возможные значения $J {\ displaystyle J}$ $J$ тогда равны $J = 1/2 {\ displaystyle J = 1/2}$ $J=1/2$ и $J = 3/2 {\ displaystyle J = 3/2}$ $J=3/2$ . Таким образом, представление шестимерного тензорного произведения распадается как прямая сумма двухмерного представления и четырехмерного представления.

Теперь цель состоит в том, чтобы описать предыдущую декомпозицию в явном виде, то есть явно описать базисные элементы в пространстве тензорного произведения для каждого из возникающих представлений компонентов.

Состояния с полным угловым моментом образуют ортонормированный базис V 3:

⟨J M | J ′ M ′⟩ = δ J, J ′ δ M, M ′. {\ displaystyle \ left \ langle J \, M | J '\, M' \ right \ rangle = \ delta _ {J, J '} \ delta _ {M, M'} ~.}

\left\langle J\,M|J'\,M'\right\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}~.

Эти правила могут повторяться, например, для объединения n дублетов (s = 1/2), чтобы получить ряд разложения Клебша-Гордана (треугольник Каталонии ),

2 ⊗ n = ⨁ k = 0 ⌊ n / 2 ⌋ (N + 1-2 кн + 1 (N + 1 К)) (N + 1-2 к), {\ Displaystyle \ mathbf {2} ^ {\ otimes n} = \ bigoplus _ {k = 0} ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor} ~ \ left ({\ frac {n + 1-2k} {n + 1}} {n + 1 \ select k} \ right) ~ (\ mathbf {n} + \ mathbf {1} - \ mathbf {2} \ mathbf {k}) ~,}

\mathbf {2} ^{\otimes n}=\bigoplus _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }~\left({\frac {n+1-2k}{n+1}}{n+1 \choose k}\right)~(\mathbf {n} +\mathbf {1} -\mathbf {2} \mathbf {k})~,

где $⌊ n / 2 ⌋ {\ displaystyle \ lfloor n / 2 \ rfloor}$ $\lfloor n/2\rfloor$ - это целое число функция пола ; и число перед обозначением размерности неприводимого представления жирным шрифтом (2j + 1) указывает на кратность этого представления в сокращении представления. Например, из этой формулы сложение трех вращений 1/2 дает спин 3/2 и два вращения 1/2, $2 ⊗ 2 ⊗ 2 = 4 ⊕ 2 ⊕ 2 {\ displaystyle {\ mathbf {2} } \ otimes {\ mathbf {2}} \ otimes {\ mathbf {2}} = {\ mathbf {4}} \ oplus {\ mathbf {2}} \ oplus {\ mathbf {2}}}$ ${\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }={\mathbf {4} }\oplus {\mathbf {2} }\oplus {\mathbf {2} }$ .

Формально определение коэффициентов Клебша – Гордана

Связанные состояния могут быть расширены через отношение полноты (разрешение идентичности) в несвязанном базисе

| J M⟩ = ∑ m 1 = - j 1 j 1 ∑ m 2 = - j 2 j 2 | j 1 м 1 j 2 м 2⟩ ⟨j 1 м 1 j 2 м 2 | JM⟩ {\ displaystyle | J \, M \ rangle = \ sum _ {m_ {1} = - j_ {1}} ^ {j_ {1}} \ sum _ {m_ {2} = - j_ {2}} ^ {j_ {2}} | j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} \ rangle \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, M \ rangle}

|J\,M\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle

(2)

Коэффициенты расширения

⟨j 1 m 1 j 2 m 2 | J M⟩ {\ displaystyle \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, M \ rangle}

\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle

- коэффициенты Клебша – Гордана. Обратите внимание, что некоторые авторы пишут их в другом порядке, например ⟨j 1j2; м 1m2| Дж М⟩. Другое распространенное обозначение - isj 1m1j2m2| JM⟩ = C. j1m1j2m2.

Применение операторов

J = j ⊗ 1 + 1 ⊗ j J z = jz ⊗ 1 + 1 ⊗ jz {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {J} = \ mathrm {j} \ otimes 1 + 1 \ otimes \ mathrm {j} \\\ mathrm {J} _ {\ mathrm {z}} = \ mathrm {j} _ {\ mathrm {z}} \ otimes 1 + 1 \ otimes \ mathrm {j} _ {\ mathrm {z}} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\mathrm {J} =\mathrm {j} \otimes 1+1\otimes \mathrm {j} \\\mathrm {J} _{\mathrm {z} }=\mathrm {j} _{\mathrm {z} }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\mathrm {z} }\end{aligned}}

к обеим сторонам определяющего уравнения показывает, что коэффициенты Клебша – Гордана могут быть ненулевыми, только если

| j 1 - j 2 | ≤ J ≤ j 1 + j 2 M = m 1 + m 2 {\ displaystyle {\ begin {align} | j_ {1} -j_ {2} | \ leq J \ leq j_ {1} + j_ {2} \\ M = m_ {1} + m_ {2} \ end {align}}}

{\begin{aligned}|j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2}\\M=m_{1}+m_{2}\end{aligned}}

Отношения рекурсии

Отношения рекурсии были обнаружены физиком Джулио Ракахом из Еврейского университета. Иерусалима в 1941 году.

Применение операторов увеличения и уменьшения полного углового момента

J ± = j ± ⊗ 1 + 1 ⊗ j ± {\ displaystyle \ mathrm {J} _ {\ pm} = \ mathrm {j} _ {\ pm} \ otimes 1 + 1 \ otimes \ mathrm {j} _ {\ pm}}

{\mathrm J}_{\pm }={\mathrm j}_{\pm }\otimes 1+1\otimes {\mathrm j}_{\pm }

в левой части определяющего уравнения дает

J ± | [j 1 j 2] J M⟩ = ℏ C ± (J, M) | [j 1 j 2] J (M ± 1)⟩ = ℏ C ± (J, M) ∑ m 1, m 2 | j 1 м 1 j 2 м 2⟩ ⟨j 1 м 1 j 2 м 2 | J (M ± 1)⟩ {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {J} _ {\ pm} | [j_ {1} \, j_ {2}] \, J \, M \ rangle = \ hbar C _ {\ pm} (J, M) | [j_ {1} \, j_ {2}] \, J \, (M \ pm 1) \ rangle \\ = \ hbar C _ {\ pm} (J, M) \ sum _ {m_ {1}, m_ {2}} | j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} \ rangle \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, (M \ pm 1) \ rangle \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\mathrm J}_{\pm }|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle =\hbar C_{\pm }(J,M)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,(M\pm 1)\rangle \\=\hbar C_{\pm }(J,M)\sum _{{m_{1},m_{2}}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle \end{aligned}}

Применение тех же операторов к правой части дает

J ± ∑ m 1, m 2 | j 1 м 1 j 2 м 2⟩ ⟨j 1 м 1 j 2 м 2 | JM⟩ = ℏ ∑ m 1, m 2 (C ± (j 1, m 1) | j 1 (m 1 ± 1) j 2 m 2⟩ + C ± (j 2, m 2) | j 1 m 1 j 2 (м 2 ± 1)⟩) ⟨j 1 м 1 j 2 м 2 | J M⟩ = ℏ ∑ m 1, m 2 | j 1 m 1 j 2 m 2⟩ (C ± (j 1, m 1 ∓ 1) ⟨j 1 (m 1 ∓ 1) j 2 m 2 | JM⟩ + C ± (j 2, m 2 ∓ 1) ⟨ j 1 m 1 j 2 (m 2 ∓ 1) | JM⟩). {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {J} _ {\ pm} \ sum _ {m_ {1}, m_ {2}} | j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2 } \, m_ {2} \ rangle \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, M \ rangle \\ = \ hbar \ sum _ { m_ {1}, m_ {2}} {\ Bigl (} C _ {\ pm} (j_ {1}, m_ {1}) | j_ {1} \, (m_ {1} \ pm 1) \, j_ {2} \, m_ {2} \ rangle + C _ {\ pm} (j_ {2}, m_ {2}) | j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, (m_ { 2} \ pm 1) \ rangle {\ Bigr)} \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, M \ rangle \\ = \ hbar \ sum _ {m_ {1}, m_ {2}} | j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} \ rangle {\ Bigl (} C _ {\ pm} ( j_ {1}, m_ {1} \ mp 1) \ langle j_ {1} \, (m_ {1} \ mp 1) \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, M \ rangle + C _ {\ pm} (j_ {2}, m_ {2} \ mp 1) \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, (m_ {2} \ mp 1) | Дж \, M \ rangle {\ Bigr)} {\ text {.}} \ End {align}}}

{\begin{aligned}{\mathrm J}_{\pm }\sum _{{m_{1},m_{2}}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar \sum _{{m_{1},m_{2}}}{\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1})|j_{1}\,(m_{1}\pm 1)\,j_{2}\,m_{2}\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2})|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\pm 1)\rangle {\Bigr)}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar \sum _{{m_{1},m_{2}}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle {\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle {\Bigr)}{\text{.}}\end{aligned}}

где C ± определено в 1. Объединение этих результатов дает рекурсивные соотношения для коэффициентов Клебша – Гордана:

C ± (J, M) ⟨j 1 m 1 j 2 m 2 | J (M ± 1)⟩ = C ± (j 1, m 1 ∓ 1) ⟨j 1 (m 1 ∓ 1) j 2 m 2 | J M⟩ + C ± (j 2, m 2 1) ⟨j 1 m 1 j 2 (m 2 ∓ 1) | JM⟩ {\ Displaystyle C _ {\ pm} (J, M) \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, (M \ pm 1) \ rangle = C _ {\ pm} (j_ {1}, m_ {1} \ mp 1) \ langle j_ {1} \, (m_ {1} \ mp 1) \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, M \ rangle + C _ {\ pm} (j_ {2}, m_ {2} \ mp 1) \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, (m_ { 2} \ mp 1) | J \, M \ rangle}

C_{\pm }(J,M)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle =C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle

Взяв верхний знак с условием, что M = J, получаем исходное рекурсивное соотношение:

0 = C + (j 1, m 1 - 1) ⟨ j 1 (м 1 - 1) j 2 м 2 | J J⟩ + C + (j 2, m 2 - 1) ⟨j 1 m 1 j 2 (m 2 - 1) | JJ⟩ {\ displaystyle 0 = C _ {+} (j_ {1}, m_ {1} -1) \ langle j_ {1} \, (m_ {1} -1) \, j_ {2} \, m_ { 2} | J \, J \ rangle + C _ {+} (j_ {2}, m_ {2} -1) \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, (m_ { 2} -1) | J \, J \ rangle}

0=C_{+}(j_{1},m_{1}-1)\langle j_{1}\,(m_{1}-1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,J\rangle +C_{+}(j_{2},m_{2}-1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}-1)|J\,J\rangle

В соглашении о фазах Кондона – Шортли добавляется ограничение:

⟨j 1 j 1 j 2 (J - j 1) | JJ⟩>0 {\ displaystyle \ langle j_ {1} \, j_ {1} \, j_ {2} \, (J-j_ {1}) | J \, J \ rangle>0}

\langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,(J-j_{1})|J\,J\rangle>0

(следовательно, также действительны).

Коэффициенты Клебша – Гордана ⟨j 1m1j2m2| JM⟩ затем могут быть найдены из этих рекурсивных соотношений. Нормализация фиксируется требованием, чтобы сумма квадратов, что эквивалентно требование, чтобы норма состояния | [j 1j2] JJ⟩ была равна единице.

Нижний знак в соотношении рекурсии может использоваться для нахождения всех коэффициентов Клебша – Гордана с M = J - 1. Повторное использование этого уравнения дает все коэффициенты.

Эта процедура поиска коэффициентов Клебша – Гордана показывает, что все они действительны в соответствии с соглашением о фазах Кондона – Шортли.

Явное выражение

Отношения ортогональности

Они наиболее четко записаны путем введения альтернативного обозначения ion

⟨J M | j 1 м 1 j 2 м 2⟩ ≡ ⟨j 1 м 1 j 2 м 2 | JM⟩ {\ Displaystyle \ langle J \, M | j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} \ rangle \ Equiv \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, M \ rangle}

\langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle

Первое соотношение ортогональности:

∑ J = | j 1 - j 2 | j 1 + j 2 ∑ M = - J J ⟨j 1 м 1 j 2 м 2 | J M⟩ ⟨J M | j 1 m 1 ′ j 2 m 2 ′⟩ = ⟨j 1 m 1 j 2 m 2 | j 1 м 1 ′ j 2 м 2 ′⟩ знак равно δ м 1, m 1 ′ δ м 2, m 2 ′ {\ displaystyle \ sum _ {J = | j_ {1} -j_ {2} |} ^ {j_ {1} + j_ {2}} \ sum _ {M = -J} ^ {J} \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, M \ rangle \ langle J \, M | j_ {1} \, m_ {1} '\, j_ {2} \, m_ {2}' \ rangle = \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | j_ {1} \, m_ {1} '\, j_ {2} \, m_ {2}' \ rangle = \ delta _ {m_ {1}, m_ { 1} '} \ delta _ {m_ {2}, m_ {2}'}}

\sum _{{J=|j_{1}-j_{2}|}}^{{j_{1}+j_{2}}}\sum _{{M=-J}}^{J}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\delta _{{m_{1},m_{1}'}}\delta _{{m_{2},m_{2}'}}

(получено из того факта, что 1 ≡ ∑ x | x⟩ ⟨x |) и второй равно

∑ m 1, m 2 ⟨JM | j 1 м 1 j 2 м 2⟩ ⟨j 1 м 1 j 2 м 2 | J ′ M ′⟩ = ⟨J M | J ′ M ′⟩ знак равно δ J, J ′ δ M, M ′ {\ displaystyle \ sum _ {m_ {1}, m_ {2}} \ langle J \, M | j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} \ rangle \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | J '\, M' \ rangle = \ langle J \, M | J '\, M' \ rangle = \ delta _ {J, J '} \ delta _ {M, M'}}

\sum _{{m_{1},m_{2}}}\langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J'\,M'\rangle =\langle J\,M|J'\,M'\rangle =\delta _{{J,J'}}\delta _{{M,M'}}

Особые случаи

Для J = 0 алгоритм Клебша –Коэффициенты Гордана даются как

⟨j 1 m 1 j 2 m 2 | 0 0⟩ знак равно δ j 1, j 2 δ м 1, - м 2 (- 1) j 1 - m 1 2 j 1 + 1 {\ displaystyle \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ { 2} \, m_ {2} | 0 \, 0 \ rangle = \ delta _ {j_ {1}, j_ {2}} \ delta _ {m_ {1}, - m_ {2}} {\ frac {( -1) ^ {j_ {1} -m_ {1}}} {\ sqrt {2j_ {1} +1}}}}

\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|0\,0\rangle =\delta _{j_{1},j_{2}}\delta _{m_{1},-m_{2}}{\frac {(-1)^{j_{1}-m_{1}}}{\sqrt {2j_{1}+1}}}

Для J = j 1 + j 2 и M = J имеем

⟨j 1 j 1 j 2 j 2 | (J 1 + J 2) (J 1 + J 2)⟩ = 1 {\ Displaystyle \ langle j_ {1} \, j_ {1} \, j_ {2} \, j_ {2} | (j_ {1} + j_ {2}) \, (j_ {1} + j_ {2}) \ rangle = 1}

\langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,j_{2}|(j_{1}+j_{2})\,(j_{1}+j_{2})\rangle =1

Для j 1 = j 2 = J / 2 и m 1 = −m 2 имеем

⟨j 1 m 1 j 1 (- m 1) | (2 j 1) 0⟩ знак равно (2 j 1)! 2 (j 1 - m 1)! (j 1 + m 1)! (4 j 1)! {\ Displaystyle \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {1} \, (- m_ {1}) | (2j_ {1}) \, 0 \ rangle = {\ frac {(2j_ { 1})! ^ {2}} {(j_ {1} -m_ {1})! (J_ {1} + m_ {1})! {\ Sqrt {(4j_ {1})!}}}}}

\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{1}\,(-m_{1})|(2j_{1})\,0\rangle ={\frac {(2j_{1})!^{2}}{(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!{\sqrt {(4j_{1})!}}}}

Для j 1 = j 2 = m 1 = −m 2 мы имеем

⟨j 1 j 1 j 1 (- j 1) | J 0⟩ знак равно (2 j 1)! 2 J + 1 (J + 2 j 1 + 1)! (2 j 1 - J)!. {\ displaystyle \ langle j_ {1} \, j_ {1} \, j_ {1} \, (- j_ {1}) | J \, 0 \ rangle = (2j_ {1})! {\ sqrt {\ frac {2J + 1} {(J + 2j_ {1} +1)! (2j_ {1} -J)!}}}.}

\langle j_{1}\,j_{1}\,j_{1}\,(-j_{1})|J\,0\rangle =(2j_{1})!{\sqrt {{\frac {2J+1}{(J+2j_{1}+1)!(2j_{1}-J)!}}}}.

Для j 2 = 1, m 2 = 0 имеем

⟨j 1 m 1 0 | (j 1 + 1) m⟩ = (j 1 - m + 1) (j 1 + m + 1) (2 j 1 + 1) (j 1 + 1) ⟨j 1 m 1 0 | j 1 м⟩ знак равно m j 1 (j 1 + 1) ⟨j 1 м 1 0 | (J 1 - 1) м⟩ знак равно - (J 1 - м) (J 1 + м) J 1 (2 J 1 + 1) {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ langle j_ {1} \, м \, 1 \, 0 | (j_ {1} +1) \, m \ rangle = {\ sqrt {\ frac {(j_ {1} -m + 1) (j_ {1} + m + 1)} { (2j_ {1} +1) (j_ {1} +1)}}} \\\ langle j_ {1} \, m \, 1 \, 0 | j_ {1} \, m \ rangle = {\ frac {m} {\ sqrt {j_ {1} (j_ {1} +1)}}} \\\ langle j_ {1} \, m \, 1 \, 0 | (j_ {1} -1) \, m \ rangle = - {\ sqrt {\ frac {(j_ {1} -m) (j_ {1} + m)} {j_ {1} (2j_ {1} +1)}}} \ end { выровнено}}}

{\begin{aligned}\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}+1)\,m\rangle ={\sqrt {{\frac {(j_{1}-m+1)(j_{1}+m+1)}{(2j_{1}+1)(j_{1}+1)}}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|j_{1}\,m\rangle ={\frac {m}{{\sqrt {j_{1}(j_{1}+1)}}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}-1)\,m\rangle =-{\sqrt {{\frac {(j_{1}-m)(j_{1}+m)}{j_{1}(2j_{1}+1)}}}}\end{aligned}}

Для j 2 = 1/2 мы имеем

⟨j 1 (M - 1 2) 1 2 1 2 | (j 1 ± 1 2) M⟩ = ± 1 2 (1 ± M j 1 + 1 2) ⟨j 1 (M + 1 2) 1 2 (- 1 2) | (j 1 ± 1 2) M⟩ знак равно 1 2 (1 ∓ M j 1 + 1 2) {\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle j_ {1} \, \ left (M - {\ frac { 1} {2}} \ right) \, {\ frac {1} {2}} \, {\ frac {1} {2}} {\ Bigg |} \ left (j_ {1} \ pm {\ frac {1} {2}} \ right) \, M \ right \ rangle = \ pm {\ sqrt {{\ frac {1} {2}} \ left (1 \ pm {\ frac {M} {j_ { 1} + {\ frac {1} {2}}}} \ right)}} \\\ left \ langle j_ {1} \, \ left (M + {\ frac {1} {2}} \ right) \, {\ frac {1} {2}} \, \ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) {\ Bigg |} \ left (j_ {1} \ pm {\ frac {1} {2}} \ right) \, M \ right \ rangle = {\ sqrt {{\ frac {1} {2}} \ left (1 \ mp {\ frac {M} {j_ {1} + {\ frac {1} {2}}}} \ right)}} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\left\langle j_{1}\,\left(M-{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{2}}{\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle =\pm {\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\\\left\langle j_{1}\,\left(M+{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,\left(-{\frac {1}{2}}\right){\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle ={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\mp {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\end{aligned}}

Свойства симметрии

⟨j 1 m 1 j 2 m 2 | J M⟩ = (- 1) j 1 + j 2 - J ⟨j 1 (- m 1) j 2 (- m 2) | J (- M)⟩ = (- 1) j 1 + j 2 - J ⟨j 2 м 2 j 1 м 1 | J M⟩ = (- 1) j 1 - m 1 2 J + 1 2 j 2 + 1 ⟨j 1 m 1 J (- M) | j 2 (- m 2)⟩ = (- 1) j 2 + m 2 2 J + 1 2 j 1 + 1 ⟨J (- M) j 2 m 2 | j 1 (- m 1)⟩ = (- 1) j 1 - m 1 2 J + 1 2 j 2 + 1 ⟨J M j 1 (- m 1) | j 2 m 2⟩ = (- 1) j 2 + m 2 2 J + 1 2 j 1 + 1 ⟨j 2 (- m 2) J M | j 1 м 1⟩ {\ displaystyle {\ begin {align} \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, M \ rangle = (- 1) ^ {j_ {1} + j_ {2} -J} \ langle j_ {1} \, (- m_ {1}) \, j_ {2} \, (- m_ {2}) | J \, ( -M) \ rangle \\ = (- 1) ^ {j_ {1} + j_ {2} -J} \ langle j_ {2} \, m_ {2} \, j_ {1} \, m_ {1 } | J \, M \ rangle \\ = (- 1) ^ {j_ {1} -m_ {1}} {\ sqrt {\ frac {2J + 1} {2j_ {2} +1}}} \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, J \, (- M) | j_ {2} \, (- m_ {2}) \ rangle \\ = (- 1) ^ {j_ {2} + m_ {2}} {\ sqrt {\ frac {2J + 1} {2j_ {1} +1}}} \ langle J \, (- M) \, j_ {2} \, m_ {2} | j_ {1} \, (- m_ {1}) \ rangle \\ = (- 1) ^ {j_ {1} -m_ {1}} {\ sqrt {\ frac {2J + 1} {2j_ {2} +1}}} \ langle J \, M \, j_ {1} \, (- m_ {1}) | j_ {2} \, m_ {2} \ rangle \\ = (- 1) ^ {j_ {2} + m_ {2}} {\ sqrt {\ frac {2J + 1} {2j_ {1} +1}}} \ langle j_ {2} \, (- m_ {2}) \, J \, M | j_ {1} \, m_ {1} \ rangle \ end {align}}}

{\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle =(-1)^{{j_{1}+j_{2}-J}}\langle j_{1}\,(-m_{1})\,j_{2}\,(-m_{2})|J\,(-M)\rangle \\=(-1)^{{j_{1}+j_{2}-J}}\langle j_{2}\,m_{2}\,j_{1}\,m_{1}|J\,M\rangle \\=(-1)^{{j_{1}-m_{1}}}{\sqrt {{\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,J\,(-M)|j_{2}\,(-m_{2})\rangle \\=(-1)^{{j_{2}+m_{2}}}{\sqrt {{\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}}\langle J\,(-M)\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,(-m_{1})\rangle \\=(-1)^{{j_{1}-m_{1}}}{\sqrt {{\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}}\langle J\,M\,j_{1}\,(-m_{1})|j_{2}\,m_{2}\rangle \\=(-1)^{{j_{2}+m_{2}}}{\sqrt {{\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}}\langle j_{2}\,(-m_{2})\,J\,M|j_{1}\,m_{1}\rangle \end{aligned}}

Удобный способ вывести эти отношения - преобразовать коэффициенты Клебша – Гордана в 3-j-символы Вигнера с помощью 3. Свойства симметрии 3-j-символов Вигнера намного проще.

Правила для фазовых множителей

При упрощении фазовых множителей необходимо соблюдать осторожность: квантовое число может быть полуцелым, а не целым числом, поэтому (-1) не обязательно равно 1 для данного квантовое число k, если не может быть доказано, что оно является целым числом. Вместо этого оно заменяется следующим более слабым правилом:

(- 1) 4 k = 1 {\ displaystyle (-1) ^ {4k} = 1}

(-1)^{4 k} = 1

для любого квантового числа k, подобного угловому моменту.

Тем не менее, комбинация j i и m i всегда является целым числом, поэтому для этих комбинаций применяется более строгое правило:

(- 1) 2 (ji - mi) = 1 {\ displaystyle (-1) ^ {2 (j_ {i} -m_ {i})} = 1}

(-1)^{2 (j_i - m_i)} = 1

Это тождество также выполняется, если знак j i или m i или оба поменяны местами.

Полезно заметить, что любой фазовый коэффициент для данной пары (j i, m i) можно привести к канонической форме:

( - 1) aji + b (ji - mi) {\ displaystyle (-1) ^ {aj_ {i} + b (j_ {i} -m_ {i})}}

(-1)^{a j_i + b (j_i - m_i)}

где a ∈ {0, 1, 2, 3} и b ∈ {0, 1} (возможны и другие соглашения). Преобразование фазовых коэффициентов в эту форму позволяет легко определить, эквивалентны ли два фазовых коэффициента. (Обратите внимание, что эта форма является только локально канонической: она не принимает во внимание правила, которые управляют комбинациями пар (j i, m i), например, описанной в следующем параграфа.)

Дополнительное правило выполняется для комбинаций j 1, j 2 и j 3, связанных между собой Коэффициент Гордана или символ 3-j Вигнера:

(- 1) 2 (j 1 + j 2 + j 3) = 1 {\ displaystyle (-1) ^ {2 (j_ {1} + j_ {2} + j_ {3})} = 1}

(-1)^{2 (j_1 + j_2 + j_3)} = 1

Это тождество также сохраняется, если знак любого j i меняется на противоположный или если любой из них заменяется на m i вместо.

Связь с 3-j-символами Вигнера

Коэффициенты Клебша – Гордана связаны с 3-j-символами Вигнера, которые имеют более удобные соотношения симметрии.

⟨j 1 м 1 j 2 м 2 | JM⟩ = (- 1) - j 1 + j 2 - M 2 J + 1 (j 1 j 2 J m 1 m 2 - M) = (- 1) 2 j 2 (- 1) J - M 2 J + 1 (J 1 J J 2 м 1 - М м 2) {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, M \ rangle = (- 1) ^ {- j_ {1} + j_ {2} -M} {\ sqrt {2J + 1}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} j_ {2} J \ \ m_ {1} m_ {2} - M \ end {pmatrix}} \\ = (- 1) ^ {2j_ {2}} (- 1) ^ {JM} {\ sqrt {2J + 1}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} J j_ {2} \\ m_ {1} - M m_ {2} \ end {pmatrix}} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle =(-1)^{-j_{1}+j_{2}-M}{\sqrt {2J+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}j_{2}J\\m_{1}m_{2}-M\end{pmatrix}}\\=(-1)^{2j_{2}}(-1)^{J-M}{\sqrt {2J+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}Jj_{2}\\m_{1}-Mm_{2}\end{pmatrix}}\end{aligned}}

(3)

Фактор (−1) связано с ограничением Кондона – Шортли, что ⟨j 1j1j2(J - j 1) | JJ⟩>0, а (–1) связано с обращенной во времени природой | JM⟩.

Связь с D-матрицами Вигнера

∫ 0 2 π d α ∫ 0 π sin ⁡ β d β ∫ 0 2 π d γ DM, KJ (α, β, γ) ∗ D m 1, k 1 j 1 (α, β, γ) D m 2, k 2 j 2 (α, β, γ) = 8 π 2 2 J + 1 ⟨j 1 m 1 j 2 m 2 | J M⟩ ⟨j 1 k 1 j 2 k 2 | JK⟩ {\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ alpha \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ beta \, d \ beta \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ gamma \, D_ {M, K} ^ {J} (\ alpha, \ beta, \ gamma) ^ {*} D_ {m_ {1}, k_ {1}} ^ {j_ {1}} (\ alpha, \ beta, \ gamma) D_ {m_ {2}, k_ {2}} ^ {j_ {2}} (\ alpha, \ beta, \ gamma) \\ = {\ frac {8 \ pi ^ {2}} {2J + 1}} \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, M \ rangle \ langle j_ {1} \, k_ {1} \, j_ {2} \, k_ {2} | J \, K \ rangle \ end {align}}}

{\begin{aligned}\int _{0}^{{2\pi }}d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \beta \,d\beta \int _{0}^{{2\pi }}d\gamma \,D_{{M,K}}^{J}(\alpha,\beta,\gamma)^{*}D_{{m_{1},k_{1}}}^{{j_{1}}}(\alpha,\beta,\gamma)D_{{m_{2},k_{2}}}^{{j_{2}}}(\alpha,\beta,\gamma)\\={\frac {8\pi ^{2}}{2J+1}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle j_{1}\,k_{1}\,j_{2}\,k_{2}|J\,K\rangle \end{aligned}}

Отношение к сферическим гармоникам

В случае использования целых чисел коэффициенты могут быть связаны с интегралами сферических гармоник :

∫ 4 π Y ℓ 1 m 1 ∗ (Ω) Y ℓ 2 m 2 ∗ (Ω) YLM (Ω) d Ω = (2 ℓ 1 + 1) (2 ℓ 2 + 1) 4 π (2 L + 1) ⟨ℓ 1 0 ℓ 2 0 | L 0⟩ ⟨ℓ 1 м 1 ℓ 2 м 2 | LM⟩ {\ displaystyle \ int _ {4 \ pi} Y _ {\ ell _ {1}} ^ {m_ {1}} {} ^ {*} (\ Omega) Y _ {\ ell _ {2}} ^ { m_ {2}} {} ^ {*} (\ Omega) Y_ {L} ^ {M} (\ Omega) \, d \ Omega = {\ sqrt {\ frac {(2 \ ell _ {1} +1) (2 \ ell _ {2} +1)} {4 \ pi (2L + 1)}}} \ langle \ ell _ {1} \, 0 \, \ ell _ {2} \, 0 | L \, 0 \ rangle \ langle \ ell _ {1} \, m_ {1} \, \ ell _ {2} \, m_ {2} | L \, M \ rangle}

\int _{{4\pi }}Y_{{\ell _{1}}}^{{m_{1}}}{}^{*}(\Omega)Y_{{\ell _{2}}}^{{m_{2}}}{}^{*}(\Omega)Y_{L}^{M}(\Omega)\,d\Omega ={\sqrt {{\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle

Отсюда и ортонормальность сферических гармоник, которые коэффициенты CG на самом деле являются коэффициентами разложения произведения двух сферических гармоник в терминах одной сферической гармоники:

Y ℓ 1 м 1 (Ω) Y 2 m 2 (Ω) = ∑ L, M (2 ℓ 1 + 1) (2 ℓ 2 + 1) 4 π (2 L + 1) ⟨ℓ 1 0 ℓ 2 0 | L 0⟩ ⟨ℓ 1 м 1 ℓ 2 м 2 | LM⟩ YLM (Ω) {\ displaystyle Y _ {\ ell _ {1}} ^ {m_ {1}} (\ Omega) Y _ {\ ell _ {2}} ^ {m_ {2}} (\ Omega) = \ sum _ {L, M} {\ sqrt {\ frac {(2 \ ell _ {1} +1) (2 \ ell _ {2} +1)} {4 \ pi (2L + 1)}}} \ langle \ ell _ {1} \, 0 \, \ ell _ {2} \, 0 | L \, 0 \ rangle \ langle \ ell _ {1} \, m_ {1} \, \ ell _ {2 } \, m_ {2} | L \, M \ rangle Y_ {L} ^ {M} (\ Omega)}

Y_{{\ell _{1}}}^{{m_{1}}}(\Omega)Y_{{\ell _{2}}}^{{m_{2}}}(\Omega)=\sum _{{L,M}}{\sqrt {{\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle Y_{L}^{M}(\Omega)

Другие свойства

∑ m (- 1) j - m ⟨jmj (- m) | J 0⟩ знак равно δ J, 0 2 J + 1 {\ displaystyle \ sum _ {m} (- 1) ^ {jm} \ langle j \, m \, j \, (- m) | J \, 0 \ rangle = \ delta _ {J, 0} {\ sqrt {2j + 1}}}

\sum _{m}(-1)^{{j-m}}\langle j\,m\,j\,(-m)|J\,0\rangle =\delta _{{J,0}}{\sqrt {2j+1}}

SU (n) коэффициенты Клебша – Гордана

Для произвольных групп и их представлений коэффициенты Клебша – Гордана не являются известно в общем. Однако известны алгоритмы получения коэффициентов Клебша – Гордана для специальной унитарной группы . В частности, SU (3) коэффициенты Клебша-Гордана были вычислены и занесены в таблицу из-за их полезности для характеристики адронных распадов, где существует симметрия аромата -SU (3), которая связывает up, вниз и странные кварки. Доступен веб-интерфейс для табулирования SU (N) коэффициентов Клебша – Гордана.

См. Также

Примечания

Ссылки

Alex, A.; Kalus, M.; Huckleberry, A.; фон Делфт, Дж. (2011). «Численный алгоритм для явного вычисления SU (N) и SL (N, C) коэффициентов Клебша – Гордана». J. Math. Phys. 82 (2): 023507. arXiv : 1009.0437. Bibcode : 2011JMP.... 52b3507A. doi : 10.1063 / 1.3521562. CS1 maint: ref = harv (link )
Condon, Edward U.; Shortley, GH (1970). Ch. 3 ". Теория атомных спектров. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09209-8.CS1 maint: ref=harv (link )
Edmonds, AR (1957). Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07912-7.CS1 maint: ref=harv (link )
Greiner, Walter ; Müller, Berndt (1994). Quantum Mechanics: Symmetries (2nd ed.). Springer Verlag. ISBN 978-3540580805.CS1 maint: ref= harv (link )
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222(2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
Kaplan, LM; Resnikoff, M. (1967). "Matrix products and explicit 3, 6, 9, and 12j coef ficients of the regular representation of SU(n)". J. Math. Phys. 8(11): 2194. Bibcode :1967JMP.....8.2194K. doi :10.1063/1.1705141.CS1 maint: ref=harv (link )
Kaeding, Thomas (1995). "Tables of SU(3) isoscalar factors". Atomic Data and Nuclear Data Tables. 61(2): 233–288. arXiv :nucl-th/9502037. Bibcode :1995ADNDT..61..233K. doi :10.1006/adnd.1995.1011.CS1 maint: ref=harv (link )
Merzbacher, Eugen (1998). Quantum Mechanics (3rd ed.). John Wiley. pp. 428 –9. ISBN 978-0-471-88702-7.CS1 maint: ref=harv (link )
Albert Messiah (1966). Quantum Mechanics (Vols. I II), English translation from French by G. M. Temmer. North Holland, John Wiley Sons.
de Swart, J. J. (1963). "The Octet model and its Clebsch-Gordan coefficients". Rev. Mod. Phys. (Submitted manuscript). 35(4): 916. Bibcode :1963RvMP...35..916D. doi :10.1103/RevModPhys.35.916.CS1 maint: ref=harv (lin k )

External links

Nakamura, Kenzo; и другие. (2010). "Review of Particle Physics: Clebsch-Gordan coefficients, spherical harmonics, and d functions" (PDF). Журнал физики G: Ядерная физика и физика элементарных частиц. 37(75021): 368. Partial update for 2012 edition
Clebsch–Gordan, 3-j and 6-j Coefficient Web Calculator
Downloadable Clebsch–Gordan Coefficient Calculator for Mac and Windows
Web interface for tabulating SU(N) Clebsch–Gordan coefficients