W-коэффициент Рака

редактировать

W-коэффициенты Рака были введены Джулио Раках в 1942 году. Эти коэффициенты имеют чисто математическое определение. В физике они используются в расчетах, включающих квантово-механическое описание углового момента, например, в атомной теории.

Коэффициенты появляются при наличии трех источников углового момента. в проблеме. Например, рассмотрим атом с одним электроном на s-орбитали и одним электроном на p-орбитали. Каждый электрон имеет электронный спин угловой момент, и, кроме того, p-орбиталь имеет орбитальный угловой момент (s-орбиталь имеет нулевой орбитальный угловой момент). Атом может быть описан LS-связью или jj-связью, как описано в статье о связи углового момента. Преобразование между волновыми функциями, которые соответствуют этим двум связям, включает W-коэффициент Рака.

Помимо фазового коэффициента, W-коэффициенты Рака равны 6-j символам Вигнера, поэтому любое уравнение, включающее W-коэффициенты Рака, может быть переписано с использованием 6-j символов. Это часто бывает выгодно, потому что свойства симметрии 6-j символов легче запомнить.

Угловые моменты в коэффициентах Рака W. Верхняя часть представляет собой проекцию на плоскость 2d в виде четырехугольника, нижняя часть представляет собой трехмерную четырехгранную конфигурацию.

Коэффициенты Рака связаны с коэффициентами повторной связи следующим образом:

W (j 1 j 2 J j 3; J 12 J 23) ≡ ⟨ (j 1, (j 2 j 3) J 23) J | ((j 1 j 2) J 12, j 3) J⟩ (2 J 12 + 1) (2 J 23 + 1). {\ Displaystyle W (j_ {1} j_ {2} Jj_ {3}; J_ {12} J_ {23}) \ Equiv {\ frac {\ langle (j_ {1}, (j_ {2} j_ {3})) J_ {23}) J | ((j_ {1} j_ {2}) J_ {12}, j_ {3}) J \ rangle} {\ sqrt {(2J_ {12} +1) (2J_ {23} +1)}}}.}

W (j_1j_2Jj_3; J_ {12} J_ {23}) \ Equiv \ frac {\ langle (j_1, (j_2j_3) J_ {23}) J | ((j_1j_2) J_ {12}, j_3) J \ rangle} {\ sqrt {(2J_ {12} +1) (2J_ {23} +1)}}.

Коэффициенты повторного связывания - это элементы унитарного преобразования, и их определение дается в следующем разделе. Коэффициенты Рака обладают более удобными свойствами симметрии, чем коэффициенты повторной связи (но менее удобны, чем символы 6-j).

Содержание

1 Коэффициенты повторной связи
2 Алгебра
3 Связь с 6-j символом Вигнера
4 См. Также
5 Примечания
6 Дополнительная литература
7 Внешние ссылки

Коэффициенты повторной связи

Связь двух угловых моментов $j 1 {\ displaystyle \ mathbf {j } _ {1}}$ ${\ mathbf {j}} _ {1}$ и $j 2 {\ displaystyle \ mathbf {j} _ {2}}$ ${\ mathbf {j}} _ {2}$ - это построение одновременных собственных функций $J 2 { \ displaystyle \ mathbf {J} ^ {2}}$ ${\ mathbf {J}} ^ {2}$ и $J z {\ displaystyle J_ {z}}$ $J_ {z}$ , где $J = j 1 + j 2 {\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {j} _ {1} + \ mathbf {j} _ {2}}$ ${\ mathbf {J}} = {\ mathbf {j}} _ {1} + {\ mathbf {j}} _ {2}$ , как описано в статье о коэффициентах Клебша – Гордана. Результат:

| (j 1 j 2) J M⟩ = ∑ m 1 = - j 1 j 1 ∑ m 2 = - j 2 j 2 | j 1 м 1⟩ | j 2 м 2⟩ ⟨j 1 м 1 j 2 м 2 | JM⟩, {\ displaystyle | (j_ {1} j_ {2}) JM \ rangle = \ sum _ {m_ {1} = - j_ {1}} ^ {j_ {1}} \ sum _ {m_ {2 } = - j_ {2}} ^ {j_ {2}} | j_ {1} m_ {1} \ rangle | j_ {2} m_ {2} \ rangle \ langle j_ {1} m_ {1} j_ {2 } m_ {2} | JM \ rangle,}

| (j_ {1 } j_ {2}) JM \ rangle = \ sum _ {{m_ {1} = - j_ {1}}} ^ {{j_ {1}}} \ sum _ {{m_ {2} = - j_ {2 }}} ^ {{j_ {2}}} | j_ {1} m_ {1} \ rangle | j_ {2} m_ {2} \ rangle \ langle j_ {1} m_ {1} j_ {2} m_ { 2} | JM \ rangle,

, где $J = | j 1 - j 2 |,…, J 1 + j 2 {\ displaystyle J = | j_ {1} -j_ {2} |, \ ldots, j_ {1} + j_ {2}}$ $J = | j_ {1} -j_ {2} |, \ ldots, j_ {1} + j_ {2}$ и $M = - J,…, J {\ displaystyle M = -J, \ ldots, J}$ $M = -J, \ ldots, J$ .

Связь трех угловых моментов $j 1 {\ displaystyle \ mathbf {j} _ {1}}$ ${\ mathbf {j}} _ {1}$ , $j 2 {\ displaystyle \ mathbf {j} _ {2}}$ ${\ mathbf {j}} _ {2}$ и $j 3 {\ displaystyle \ mathbf {j} _ {3}}$ ${\ mathbf {j}} _ {3}$ , могут быть выполнены с помощью первая связь $j 1 {\ displaystyle \ mathbf {j} _ {1}}$ ${\ mathbf {j}} _ {1}$ и $j 2 {\ displaystyle \ mathbf {j} _ {2}}$ ${\ mathbf {j}} _ {2}$ в $J 12 {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {12}}$ ${\ mathbf {J}} _ {{12}}$ и следующее соединение $J 12 {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {12}}$ ${\ mathbf {J}} _ {{12}}$ и $j 3 {\ displaystyle \ mathbf {j} _ {3}}$ ${\ mathbf {j}} _ {3}$ к общему угловому моменту $J {\ displaystyle \ mathbf {J}}$ $\ mathbf {J}$ :

| ((j 1 j 2) J 12 j 3) J M⟩ = ∑ M 12 = - J 12 J 12 ∑ m 3 = - j 3 j 3 | (j 1 j 2) J 12 M 12⟩ | j 3 м 3⟩ ⟨J 12 M 12 j 3 м 3 | JM⟩ {\ displaystyle | ((j_ {1} j_ {2}) J_ {12} j_ {3}) JM \ rangle = \ sum _ {M_ {12} = - J_ {12}} ^ {J_ {12 }} \ sum _ {m_ {3} = - j_ {3}} ^ {j_ {3}} | (j_ {1} j_ {2}) J_ {12} M_ {12} \ rangle | j_ {3} m_ {3} \ rangle \ langle J_ {12} M_ {12} j_ {3} m_ {3} | JM \ rangle}

| ((j_ {1} j_ {2}) J _ {{12}} j_ {3}) JM \ rangle = \ sum _ {{M _ {{12}} = - J _ {{12}}}} ^ {{J _ {{12}}}} \ sum _ {{m_ {3} = - j_ {3}}} ^ {{j_ {3}}} | (j_ {1} j_ {2}) J _ {12}} M _ {{12}} \ rangle | j_ {3} m_ {3} \ rangle \ langle J _ {{12}} M_ {{12}} j_ {3} m_ {3} | JM \ rangle

В качестве альтернативы можно сначала связать $j 2 {\ displaystyle \ mathbf {j } _ {2}}$ ${\ mathbf {j}} _ {2}$ и $j 3 {\ displaystyle \ mathbf {j} _ {3}}$ ${\ mathbf {j}} _ {3}$ до $J 23 {\ displaystyle \ mathbf {J } _ {23}}$ ${\ mathbf {J}} _ {{23}}$ и следующая пара $j 1 {\ displaystyle \ mathbf {j} _ {1}}$ ${\ mathbf {j}} _ {1}$ и $J 23 {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {23}}$ ${\ mathbf {J}} _ {{23}}$ до $J {\ displaystyle \ mathbf {J}}$ $\ mathbf {J}$ :

| (j 1, (j 2 j 3) J 23) J M⟩ = ∑ m 1 = - j 1 j 1 ∑ M 23 = - J 23 J 23 | j 1 м 1⟩ | (j 2 j 3) J 23 M 23⟩ ⟨j 1 m 1 J 23 M 23 | JM⟩ {\ displaystyle | (j_ {1}, (j_ {2} j_ {3}) J_ {23}) JM \ rangle = \ sum _ {m_ {1} = - j_ {1}} ^ {j_ { 1}} \ sum _ {M_ {23} = - J_ {23}} ^ {J_ {23}} | j_ {1} m_ {1} \ rangle | (j_ {2} j_ {3}) J_ {23 } M_ {23} \ rangle \ langle j_ {1} m_ {1} J_ {23} M_ {23} | JM \ rangle}

| (j_ {1}, (j_ {2} j_ {3}) J _ {{23}}) JM \ rangle = \ sum _ {{m_ {1} = - j_ {1}}} ^ {{j_ {1}}} \ sum _ {{M _ {{23}} = - J _ {{23}}}} ^ {{J _ {{23}}}} | j_ {1} m_ {1} \ rangle | ( j_ {2} j_ {3}) J _ {{23}} M _ {{23}} \ rangle \ langle j_ {1} m_ {1} J _ {{23}} M _ {{23}} | JM \ rangle

Обе схемы связи приводят к полному ортонормированному базису для $(2 j 1 + 1) (2 j 2 + 1) (2 j 3 + 1) {\ displaystyle (2j_ {1} +1) (2j_ {2} +1) (2j_ {3} +1)}$ $( 2j_ {1} +1) (2j_ {2} +1) (2j_ {3} +1)$ мерное пространство, охватываемое

| j 1 м 1⟩ | j 2 м 2⟩ | j 3 m 3⟩, m 1 = - j 1,…, j 1; m 2 = - j 2,…, j 2; m 3 = - j 3,…, j 3. {\ displaystyle | j_ {1} m_ {1} \ rangle | j_ {2} m_ {2} \ rangle | j_ {3} m_ {3} \ rangle, \; \; m_ {1} = - j_ {1 }, \ ldots, j_ {1}; \; \; m_ {2} = - j_ {2}, \ ldots, j_ {2}; \; \; m_ {3} = - j_ {3}, \ ldots, j_ {3}.}

| j_ { 1} m_ {1} \ rangle | j_ {2} m_ {2} \ rangle | j_ {3} m_ {3} \ rangle, \; \; m_ {1} = - j_ {1}, \ ldots, j_ {1}; \; \; m_ {2} = - j_ {2}, \ ldots, j_ {2}; \; \; m_ {3} = - j_ {3}, \ ldots, j_ {3}.

Следовательно, два основных момента количества движения связаны унитарным преобразованием. Матричные элементы этого унитарного преобразования задаются скалярным произведением и известны как коэффициенты повторной связи. Коэффициенты не зависят от $M {\ displaystyle M}$ $M$ , поэтому мы имеем

| ((j 1 j 2) J 12 j 3) J M⟩ = ∑ J 23 | (j 1, (j 2 j 3) J 23) J M⟩ ⟨(j 1, (j 2 j 3) J 23) J | ((j 1 j 2) J 12 j 3) J. {\ displaystyle | ((j_ {1} j_ {2}) J_ {12} j_ {3}) JM \ rangle = \ sum _ {J_ {23}} | (j_ {1}, (j_ {2} j_ {3}) J_ {23}) JM \ rangle \ langle (j_ {1}, (j_ {2} j_ {3}) J_ {23}) J | ((j_ {1} j_ {2}) J_ { 12} j_ {3}) J \ rangle.}

| ((j_ {1} j_ {2}) J_ { {12}} j_ {3}) JM \ rangle = \ sum _ {{J _ {{23}}}} | (j_ {1}, (j_ {2} j_ {3}) J _ {{23}}) JM \ rangle \ langle (j_ {1}, (j_ {2} j_ {3}) J _ {{23}}) J | ((j_ {1} j_ {2}) J _ {{12}} j_ {3 }) J \ rangle.

Независимость $M {\ displaystyle M}$ $M$ легко следует из написания этого уравнения для $M = J {\ displaystyle M = J}$ $M = J$ и применение оператора опускания $J - {\ displaystyle J _ {-}}$ $J _ {-}$ к обеим сторонам уравнения.

Алгебра

Пусть

Δ (a, b, c) = [(a + b - c)! (а - б + в)! (- а + б + в)! / (a + b + c + 1)! ] 1/2 {\ displaystyle \ Delta (a, b, c) = [(a + bc)! (A-b + c)! (- a + b + c)! / (A + b + c + 1)!] ^ {1/2}}

\ Delta (a, b, c) = [(a + bc)! (A-b + c)! (- a + b + c)! / (A + b + c + 1)! ] ^ {{1/2}}

- обычный треугольный множитель, тогда коэффициент Рака является произведением четырех из них на сумму по факториалам,

W (abcd; ef) = Δ (a, б, е) Δ (с, d, е) Δ (a, c, f) Δ (b, d, f) w (abcd; ef) {\ displaystyle W (abcd; ef) = \ Delta (a, b, e) \ Delta (c, d, e) \ Delta (a, c, f) \ Delta (b, d, f) w (abcd; ef)}

W (abcd; ef) = \ Delta (a, b, e) \ Delta (c, d, e) \ Delta (a, c, f) \ Delta (b, d, f) w ( abcd; ef)

где

w (abcd; ef) ≡ ∑ z (- 1) z + β 1 (z + 1)! (z - α 1)! (z - α 2)! (z - α 3)! (z - α 4)! (β 1 - z)! (β 2 - z)! (β 3 - z)! {\ Displaystyle w (abcd; ef) \ Equiv \ sum _ {z} {\ frac {(-1) ^ {z + \ beta _ {1}} (z + 1)!} {(z- \ alpha _ { 1})! (Z- \ alpha _ {2})! (Z- \ alpha _ {3})! (Z- \ alpha _ {4})! (\ Beta _ {1} -z)! (\ бета _ {2} -z)! (\ beta _ {3} -z)!}}}

w (abcd; ef) \ Equiv \ sum _ {z} {\ frac {(-1) ^ {{z + \ beta _ {1}}} (z + 1)!} {(z- \ alpha _ {1})! (z- \ alpha _ {2})! (z- \ alpha _ {3})! (z- \ alpha _ {4})! (\ beta _ {1} -z)! (\ beta _ {2} -z)! (\ beta _ {3 } -z)!}}

α 1 = a + b + e; β 1 = a + b + c + d; {\ displaystyle \ alpha _ {1} = a + b + e; \ quad \ beta _ {1} = a + b + c + d;}

\ alpha _ {1} = a + b + e; \ quad \ beta _ {1} = a + b + c + d;

α 2 = c + d + e; β 2 = а + d + е + f; {\ displaystyle \ alpha _ {2} = c + d + e; \ quad \ beta _ {2} = a + d + e + f;}

\ alpha _ {2} = c + d + e; \ quad \ beta _ {2} = a + d + e + f;

α 3 = a + c + f; β 3 = b + c + e + f; {\ displaystyle \ alpha _ {3} = a + c + f; \ quad \ beta _ {3} = b + c + e + f;}

\ alpha _ {3} = a + c + f; \ quad \ beta _ {3} = b + c + e + f;

α 4 = b + d + f. {\ displaystyle \ alpha _ {4} = b + d + f.}

\ alpha _ {4} = b + d + f.

Сумма по $z {\ displaystyle z}$ $z$ конечна в диапазоне

max (α 1, α 2, α 3, α 4) ≤ z ≤ min (β 1, β 2, β 3). {\ Displaystyle \ макс (\ альфа _ {1}, \ альфа _ {2}, \ альфа _ {3}, \ альфа _ {4}) \ leq z \ leq \ min (\ beta _ {1}, \ beta _ {2}, \ beta _ {3}).}

\ max (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ alpha _ {3}, \ alpha _ {4}) \ leq z \ leq \ min (\ beta _ {1}, \ beta _ {2}, \ beta _ {3}).

Связь с 6-j-символом Вигнера

W-коэффициенты Рака связаны с 6-j-символами Вигнера, которые обладают еще более удобными свойствами симметрии

W (abcd; ef) (- 1) a + b + c + d = {abedcf}. {\ displaystyle W (abcd; ef) (- 1) ^ {a + b + c + d} = {\ begin {Bmatrix} a b e \\ d c f \ end {Bmatrix}}.}

W (abcd; ef) (- 1) ^ {{a + b + c + d}} = {\ begin {Bmatrix} a b e \\ d c f \ end {Bmatrix}}.

Ср. или

W (j 1 j 2 J j 3; J 12 J 23) = (- 1) j 1 + j 2 + j 3 + J {j 1 j 2 J 12 j 3 J J 23}. {\ displaystyle W (j_ {1} j_ {2} Jj_ {3}; J_ {12} J_ {23}) = (- 1) ^ {j_ {1} + j_ {2} + j_ {3} + J } {\ begin {Bmatrix} j_ {1} j_ {2} J_ {12} \\ j_ {3} J J_ {23} \ end {Bmatrix}}.}

W (j_ {1} j_ {2} Jj_ {3}; J _ {{12}} J_ { {23}}) = (- 1) ^ {{j_ {1} + j_ {2} + j_ {3} + J}} {\ begin {Bmatrix} j_ {1} j_ {2} J _ {12} } \\ j_ {3} J J _ {{23}} \ end {Bmatrix}}.

См. также

Примечания

Дополнительная литература

Edmonds, AR (1957). Угловой момент в квантовой механике. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 0-691-07912-9.
Condon, Edward U.; Шортли, Г. Х. (1970). «Глава 3». Теория атомных спектров. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09209-4.
Мессия, Альберт (1981). Квантовая механика (Том II) (12-е изд.). Нью-Йорк: North Holland Publishing. ISBN 0-7204-0045-7.
Сато, Масачиё (1955). «Общая формула коэффициента Рака». Успехи теоретической физики. 13 (4): 405–414. Bibcode : 1955PThPh..13..405S. doi : 10.1143 / PTP.13.405.
Brink, D.M.; Сатчлер, Г. Р. (1993). «Глава 2». Угловой момент (3-е изд.). Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 0-19-851759-9.
Заре, Ричард Н. (1988). "Глава 2". Угловой момент. Нью-Йорк: Джон Вили. ISBN 0-471-85892-7.
Biedenharn, L.C.; Лоук, Дж. Д. (1981). Момент импульса в квантовой физике. Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-13507-8.

Внешние ссылки

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]