Срок действия облигаций

В финансах, дюрация финансового актива который состоит из фиксированных денежных потоков, например облигаций, представляет собой средневзвешенное периодов времени до тех пор, пока эти фиксированные денежные потоки не будут получены. Когда цена актива рассматривается как функция доходности, дюрация также измеряет чувствительность цены к доходности, скорость изменения цены по отношению к доходности или процентное изменение для параллельного изменения

Двойное использование слова «продолжительность», как средневзвешенного времени до погашения, и как процентного изменения цены, часто вызывает путаницу. Строго говоря, Дюрация Маколея - это название, данное средневзвешенному времени до получения денежных потоков, и измеряется в годах. Модифицированная дюрация - это название чувствительности к цене и процентное изменение цены при изменении доходности единицы.

Оба показателя называются «продолжительностью» и имеют одинаковое (или близкое к) числовое значение, но важно помнить о концептуальных различиях между ними. Дюрация Маколея - это временная единица измерения в годах, которая действительно имеет смысл для инструмента с фиксированными денежными потоками. Для стандартной облигации дюрация Маколея будет от 0 до срока погашения. Он равен сроку погашения тогда и только тогда, когда облигация является бескупонной облигацией.

, с другой стороны, модифицированная дюрация является математической производной (скоростью изменения) цены и измеряет процентную скорость изменения. цены по отношению к доходности. (Чувствительность цены к доходности также может быть измерена в абсолютных величинах (доллар или евро и т. Д.), А абсолютная чувствительность часто обозначается как доллар (евро) длительность, DV01, BPV или дельта (δ или Δ) риск). Концепция модифицированной дюрации может использоваться к инструментам, чувствительным к изменению процентной ставки, с нефиксированными денежными потоками, и, таким образом, к более широкому кругу инструментов, чем дюрация Маколея. Модифицированная дюрация используется в современных финансах чаще, чем дюрация Маколея.

Для повседневного использования равенства (или почти равенства) значений Маколея и модифицированной продолжительности может быть полезным помощником для интуиции. Таким образом, модифицированная дюрация будет иметь несколько, но не значительно меньше на 10 лет, и из этого будет несколько, но не значительно меньше на 10%. Аналогичным образом, двухлетняя купонная облигация будет иметь дюрацию Маколея несколько ниже 2 лет, модифицированная дюрация несколько ниже 2%.

• 1 Дюрация Маколея
• 2 Модифицированная дюрация
  • 2.1 Периодически начисляемая
  • 2.2 Единицы
  • 2.3 Нефиксированные денежные потоки
  • 2.4 Конечные изменения доходности
• 3 Продолжительность Fisher - Weil
• 4 Длительность ключевой ставки
• 5 Формулы
  • 5.1 Пример
• 6 Пошаговый пример
• 7 Дюрация в долларах, DV01, BPV, Bloomberg «Риск»
  • 7.1 Применение к стоимости -по риску (VaR)
• 8 Риск - дюрация как чувствительность к процентной ставке
• 9 Встроенные опционы и эффективная дюрация
• 10 Продолжительность спреда
• 11 Средняя дюрация
• 12 Выпуклость
• 13 См. также
• 14 Примечания
• 15 Ссылки
• 16 Дополнительная литература
• 17 Ссылки

Продолжительность Маколея, названная в честь Фредерика Маколея, который представил концепцию, является средневзвешенным сроком погашения денежным потоком, при котором время предоставления каждого платежа взвешивается по приведенной стоимости платежа. Знаменатель - это сумма весов, которая и есть цена облигаций. Рассмотрим некоторый набор фиксированных денежных потоков. приведенная стоимость этих денежных потоков составляет:

$V\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; PV\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; PV\_\; \{i\}\}$

Длительность Маколея определяется как:

(1) $M\; ac\; D\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; nti\; PV\; i\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; PV\; i\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; nti\; PV\; i\; V\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; nti\; PV\; я\; В\; \{\backslash \; displaystyle\; MacD\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{t\_\; \{i\}\; PV\_\; \{i\}\}\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{PV\_\; \{i\}\; \}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{t\_\; \{i\}\; PV\_\; \{i\}\}\}\; \{V\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; t\_\; \{\; i\}\; \{\backslash \; frac\; \{PV\_\; \{i\}\}\; \{V\}\}\}$

где:

• $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$индексирует денежные потоки,
• $PV\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; PV\_\; \{\; i\}\}$- приведенная стоимость $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$-го денежного платежа из актива ,
• $ti\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{i\}\}$- время в годах до $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$-го платежа,
• $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$- это текущая стоимость всех денежных выплат от актива.

Во втором выражении дробный член - это отношение денежного потока $PV\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; PV\_\; \{i\}\}$к общему количеству PV. Эти члены добавляют к 1,0 и весами для средневзвешенного значения. Таким образом, общее выражение представляет собой средневзвешенное время до выплат денежного потока с весом $PV\; i\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{PV\_\; \{i\}\}\; \{V\}\}\}$, являющимся долей приведенная стоимость актива, обусловленная денежным потоком $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$.

Для набора полностью положительных фиксированных денежных потоков средневзвешенное значение будет находиться между 0 (минимальное время) или точнее, $t\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{1\}\}$(время до первого платежа) и время последнего денежного потока. Дюрация Маколея будет равна окончательному сроку погашения тогда и только тогда, когда будет произведен только один платеж при наступлении срока погашения. В символах, если денежные потоки по порядку: $(t\; 1,...,\; Tn)\; \{\backslash \; displaystyle\; (t\_\; \{1\},...,\; t\_\; \{n\})\}$, тогда:

$t\; 1\; \le \; M\; ac\; D\; \le \; tn,\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{1\}\; \backslash \; leq\; MacD\; \backslash \; leq\; t\_\; \{n\},\}$

со строгим неравенством, если только он не имеет единого денежного потока. Что касается стандартных облигаций (для которых денежные потоки фиксированных и положительных), это означает, что дюрация Маколея будет соответствовать сроку погашения только для бескупонной облигации.

Длительность Маколея имеет схематическую интерпретацию, показанную на рисунке 1.

Представляет собой облигацию, указанную ниже, со сроком погашения два года с купоном 20% и непрерывно начисляемой доходностью 3,9605%. Кружки предоставят приведенную стоимость, причем купонные выплаты становятся меньше по мере того, как они становятся в будущем, и окончательный крупный платеж, включающий как купонную выплату, так и окончательное погашение основной суммы. Балки представляют собой средневзвешенное расстояние (время до платежа), которое в данном случае составляет 1,78 года.

Для практических расчетов дюрация Маколея рассчитывается с использованием доходности к погашению для расчета $PV\; (i)\; \{\backslash \; displaystyle\; PV\; (i)\}$:

(2) $В\; знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; PV\; я\; знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; CF\; я\; \cdot \; е\; -\; Y\; \cdot \; ti\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; PV\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; CF\_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{-\; y\; \backslash \; cdot\; t\_\; \{i\}\}\}$

(3) $M\; ac\; D\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; nti\; CF\; i\; \cdot \; е\; -\; y\; \cdot \; ti\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; MacD\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; t\_\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{CF\_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{-\; y\; \backslash \; cdot\; t\_\; \{i\}\}\; \}\; \{V\}\}\}$

где:

• $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$индексирует денежные потоки,
• $PV\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; PV\_\; \{i\}\}$- приведенная стоимость $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$th денежного платежа от актива,
• $CF\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; CF\_\; \{i\}\}$- это денежный поток от $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$-го платежа от активации,
• $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$- доходность к погашению. (непрерывно сложный) для активации,
• $ti\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{i\}\}$- время в годах до $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$-й платеж будет получен,
• $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$- это приведенная стоимость всех денежных выплат от актива до погашения.

Маколей два альтернативных варианта. :

• Выражение (1) - Дюрация Фишера - Вейля, которая использует цены облигаций с нулевым купоном в качестве факторов дисконтирования, и
• Выражение (3), которое использует доходность облигации к погашению до рассчитать коэффициенты дисконтирования.

Основное различие между двумя дюрациями состоит в том, что дюрация Фишера - Вейля допускает возможность наклонной кривой доходности, тогда как форма вторая основа на постоянном значении доходности $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$, не зависит от срока оплаты. С использованием компьютера обе формы могут быть вычислены, но выражение (3), предполагающее постоянную доходность, широко используется из-за применения к измененной продолжительности.

Продолжительность по средневзвешенной продолжительности жизни

Сходство по значениям, так и в определениях продолжительности Маколея и средневзвешенной продолжительности жизни может привести к путанице в целях и расчетах этих двух показателей. Например, пятилетняя облигация с фиксированной процентной ставкой будет иметь средневзвешенный срок жизни 5 и дюрацию Маколея, которая должна быть очень близкой. Аналогично ведут себя ипотеки. Различия между ними заключаются в следующем:

1. Дюрация Маколея измеряет только денежные потоки с фиксированным периодом, а средневзвешенный срок жизни учитывает все основные денежные потоки, будь то фиксированные или плавающие. Таким образом, для гибридных ипотек ARM с фиксированным периодом для целей моделирования фиксированный период последнего фиксированного платежа или за месяц до сброса.
2. Дюрация Маколея дисконтирует все денежные потоки по стоимости капитала. Средневзвешенный срок жизни не дисконтируется.
3. Дюрация Маколея использует как основную сумму, так и проценты при взвешивании денежных потоков. Средневзвешенный срок жизни использует только основную сумму.

В отличие от дюрации Маколея, модифицированная дюрация (иногда сокращенно MD) является мерой чувствительности к цене, определяемой процентной производной ценой по отношению к доходности (логарифмическая производная цены облигации по доходности). Модифицированная дюрация, когда облигация или другой активный как функция доходности. В этом случае можно измерить логарифмическую производную по доходности:

$M\; od\; D\; (y)\; \equiv \; -\; 1\; V\; \cdot \; \partial \; V\; \partial \; y\; =\; -\; \partial \; ln\; \; (V)\; \partial \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; ModD\; (y)\; \backslash \; Equiv\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{V\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; V\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; ln\; (V)\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\}$

Когда доходность выражается непрерывно сложным, дюрация Маколея и модифицированная дюрация численно равны. Чтобы увидеть это, если мы возьмем производную цены или приведенную стоимость, выражение (2), непрерывно вычисляемой доходности $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$, мы увидим, что:

$\partial \; V\; \partial \; Y\; знак\; равно\; -\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; nti\; \cdot \; CF\; я\; \cdot \; е\; -\; Y\; \cdot \; ti\; =\; -\; M\; ac\; D\; \cdot \; V,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; V\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; =\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; t\_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; CF\_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{-\; y\; \backslash \; cdot\; t\_\; \{i\}\}\; =\; -\; MacD\; \backslash \; cdot\; V,\}$

Другими словами, для выраженной доходности с непрерывным составом,

$M\; od\; D\; =\; M\; ac\; D\; \{\backslash \; displaystyle\; ModD\; =\; MacD\}$.

где:

• $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$индексирует денежные потоки,
• $ti\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{i\}\}$- время в годах до $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$-го платежа,
• $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$- приведенная стоимость всех выплат от актива.

Периодически начисляемые

На финансовых рынках доходность обычно периодически периодически (ежегодно или раз в полгода), а не постоянно смешанный. Тогда выражение (2) принимает следующий вид:

$V\; (yk)\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; PV\; i\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; CF\; i\; (1\; +\; yk\; /\; k)\; k\; \cdot \; ti\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (y\_\; \{k\; \})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; PV\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{CF\_\; \{i\}\}\; \{(1\; +\; y\_\; \{k\}\; /\; k)\; ^\; \{к\; \backslash \; cdot\; t\_\; \{i\}\}\}\}\}$

$M\; ac\; D\; =\; \sum \; я\; =\; 1\; nti\; V\; (yk)\; \cdot \; CF\; я\; (1\; +\; yk\; /\; k)\; k\; \cdot \; ti\; \{\backslash \; displaystyle\; MacD\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{t\_\; \{i\}\}\; \{V\; (y\_\; \{k\})\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{CF\_\; \{i\}\}\; \{(1\; +\; y\_\; \{k\}\; /\; k)\; ^\; \{k\; \backslash \; cdot\; t\_\; \{i\}\}\}\}\}$

Чтобы найти измененную длительность, когда мы берем производную от значения $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$по отношению к периодически составляемым полученным

$\partial \; V\; \partial \; yk\; =\; -\; 1\; (1\; +\; yk\; /\; k)\; \cdot \; \sum \; i\; =\; 1\; nti\; \cdot \; CF\; i\; (1\; +\; yk\; /\; k)\; k\; \cdot \; ti\; =\; -\; M\; ac\; D\; \cdot \; V\; (yk)\; (1\; +\; yk)\; /\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; V\}\; \{\backslash \; partial\; y\_\; \{k\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(1\; +\; y\_\; \{k\}\; /\; k)\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; сумма\; \_\; \{\; i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; t\_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{CF\_\; \{i\}\}\; \{(1\; +\; y\_\; \{k\}\; /\; k)\; ^\; \{k\; \backslash \; cdot\; t\_\; \{i\}\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{MacD\; \backslash \; cdot\; V\; (y\_\; \{k\})\}\; \{(1\; +\; y\_\; \{k\}\; /\; k)\}\}\}$

Изменение порядок (деление обеих сторон на -V) дает:

$M\; ac\; D\; (1\; +\; yk\; /\; k)\; =\; -\; 1\; V\; (yk)\; \cdot \; \partial \; V\; \partial \; yk\; \equiv \; M\; od\; D\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{MacD\}\; \{\; (1\; +\; y\_\; \{k\}\; /\; k)\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{V\; (y\_\; \{k\})\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; V\}\; \{\backslash \; partial\; y\_\; \{k\}\}\}\; \backslash \; Equiv\; ModD\}$

который представляет собой хорошо известную взаимосвязь между модифицированной длительностью и длительностью Маколея:

$M\; od\; D\; =\; M\; ac\; D\; (1\; +\; yk\; /\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; ModD\; =\; \{\backslash \; frac\; \{MacD\}\; \{(1\; +\; y\_\; \{k\}\; /\; k)\}\}\}$

где:

• $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$индексирует денежные потоки,
• $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$- частота сложения сложных процентов в год (1 для года, 2 для полугодия, 12 для месяца, 52 для недели и т. д.),
• $CF\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; CF\_\; \{i\}\}$- это денежный поток $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$-го платежа от активации,
• $ti\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{i\}\}$- время в годах до $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$-го платежа (например, двухлетний полугодовой будет представлен $ti\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{i\}\}$индексом 0,5, 1,0, 1,5 и 2,0),
• $yk\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{k\}\}$- доходность к погашению для активации, периодически увеличиваемая.
• $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$- текущая стоимость всех выплат от актива.

Это дает хорошо известную связь между длительностью Маколея и модифицированной продолжительной, процитированной выше. Следует помнить, что, продолжительность жизни Маколея и модифицированная длительность связаны, они концептуально различны. Дюрация Маколея - это средневзвешенное время до погашения (измеряемое в единицах времени, например, в годах), в то время как модифицированная дюрация является мерой чувствительности к цене, когда цена рассматривается как функция доходности, то есть процентного изменения цены по отношению к доходности.

Единицы

Дюрация Маколея измеряется в годах.

Модифицированная дюрация измеряется как процентное изменение цены на одну единицу (процентный пункт) изменение доходности в год (например, доходность увеличивается с 8% в год (y = 0,08) до 9% в год (y = 0), 09)). Это даст модифицированной продолжительности числовое значение, близкое к продолжительности Маколея (и равное, когда непрерывно усложняются).

Формально модифицированная дюрация - это полуэластичность, процентное изменение цены за единицу изменения доходности, а не эластичность, которая представляет собой процентное изменение на выходе для процентного изменения на входе. Модифицированная дюрация - это скорость изменения, процентное изменение цены на изменение доходности.

Нефиксированные денежные потоки

Модифицированная дюрация может быть продлена на инструменты с нефиксированными денежными потоками, в то время как дюрация Маколея применялась только к инструментам с фиксированным денежным потоком. Модифицированная дюрация определяется как логарифмическая производная цена по отношению к доходности, и такое определение будет использоваться к инструментам, которые зависят от доходности независимо от того, являются ли денежные потоки фиксированными.

Конечные изменения доходности

Модифицированная дюрация определяется выше как производная (поскольку термин относится к исчислению) и поэтому основывается на бесконечно малых изменениях. Модифицированная дюрация также полезна в качестве меры чувствительности рыночной цены облигаций к конечным изменениям процентной ставки (т. Е. Доходности). Для небольшого изменения доходности $\Delta \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; y\}$,

$M\; od\; D\; \approx \; -\; 1\; V\; \Delta \; V\; \Delta \; y\; \Rightarrow \; \Delta \; V\; \approx \; -\; V\; \cdot \; M\; od\; D\; \cdot \; \Delta \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; ModD\; \backslash \; приблизительно\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{V\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; V\}\; \{\backslash \; Delta\; y\}\}\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; Delta\; V\; \backslash \; приблизительно\; -V\; \backslash \; cdot\; ModD\; \backslash \; cdot\; \backslash \; Delta\; y\}$

Изменено таким образом дюрация приблизительно соответствует процентному изменению цены для данного конечного изменения доходности. Таким образом, 15-летняя облигация с дюрацией Маколея 7 лет будет иметь модифицированную дюрацию примерно 7 лет и упадет примерно на 7% в стоимости, если процентная ставка увеличится на один процентный пункт (скажем, с 7% до 8%).

Дюрация Фишера - Вейля - это уточнение дюрации Маколея, которое учитывает временную устойчивость процентных ставок. Дюрация Фишера - Вейля рассчитывает соответствующую стоимость денежных потоков (более строго) с использованием нулевого купонного дохода за каждый соответствующий срок погашения.

Длительности ключевой ставки (также называемой частичными DV01) или частичная дюрация) являются естественным продолжением общей модифицированной дюрации для измерения чувствительности к сдвигам различных частей кривой доходности. Дюрация ключевой ставки может быть определена, например, в отношении бескупонных ставок со сроком погашения «1M», «3M», «6M», «1Y», «2Y», «3Y», «5Y», «7Y»., «10 лет», «15 лет», «20 лет», «25 лет», «30 лет». (1992) ввели термин дюрация ключевой ставки. Рейтано рассмотрела модели многофакторной кривой доходности еще в 1991 году и вернулась к теме этого недавнего обзора.

Дюрация ключевых ставок требует, чтобы мы оценивали инструмент вне кривой доходности, и требуют построения кривой доходности. Первоначальная методология Хо была основана на оценке инструментов от нулевой или спотовой кривой доходности и использовала линейную интерполяцию между «ключевыми ставками», но идея применима к кривым доходности, основанным на форвардных курсах, номинальных курсах и так далее. Многие технические проблемы используются для дюрации ключевой ставки (частичные DV01), дюрации для стандартной общей модифицированной из-за зависимости ключевой ставки от конкретного типа кривой доходности, используемой для оценки инструментов (см. Coleman, 2011).

Для стандартной облигации с фиксированными полугодовыми выплатами закрытая формула длительности облигации имеет следующий вид:

$Dur\; =\; 1\; P\; (C\; (1\; +\; ai)\; (1\; +\; i)\; m\; -\; (1\; +\; i)\; -\; (m\; -\; 1\; +\; a)\; ii\; 2\; (1\; +\; i)\; (m\; -\; 1\; +\; a)\; +\; FV\; (m\; -\; 1\; +\; a)\; (1\; +\; i)\; (m\; -\; 1\; +\; a))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Dur\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{P\}\}\; \backslash \; left\; (C\; \{\backslash \; frac\; \{(1\; +\; ai)\; (1\; +\; i)\; ^\; \{\; m\}\; -\; (1\; +\; i)\; -\; (m-1\; +\; a)\; i\}\; \{i\; ^\; \{2\}\; (1\; +\; i)\; ^\; \{(m-1\; +\; a)\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{FV\; (m-\; 1\; +\; a)\}\; \{(1\; +\; i)\; ^\; \{(m-1\; +\; a)\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

• FV = номинальная стоимость
• C = купонная выплата за период (полугодие)
• i = ставка дисконтирования за период (полугодие)
• a = доля периода, оставшаяся до следующей купонной выплаты
• m = количество полных купонных периодов до погашения
• P = цена облигации (приведенная стоимость денежных потоков, дисконтированных со ставкой i)

Для облигации с частотой купона $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, но целое число периодов (чтобы не было периода д робных выплат), формула упрощается до:

$M\; ac\; D\; =\; [(1\; +\; y\; /\; k)\; y\; /\; k\; -\; 100\; (1\; +\; y\; /\; k)\; +\; m\; (c\; /\; k\; -\; 100\; y\; /\; k)\; (c\; /\; k)\; [(1\; +\; y\; /\; k)\; m\; -\; 1]\; +\; 100\; y\; /\; k]\; /\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; MacD\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{(1+\; y\; /\; k)\}\; \{y\; /\; k\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{100\; (1\; +\; y\; /\; k)\; +\; m\; (c\; /\; k-100y\; /\; k)\}\; \{(c\; /\; k)\; [(1\; +\; y\; /\; k)\; ^\; \{m\}\; -1]\; +\; 100y\; /\; k\}\}\; \backslash \; right]\; /\; k\}$

где

• y = доходность (в год, в процентах),
• c = купон (в год, в десятичной форме),
• m = Количество купонных периодов.

Пример

Рассмотрим 2-летнюю облигацию с номинальной стоимостью 100 долларов США, полугодовым купоном 20% и доходность 4% раз в полгода сложная. Общая PV будет:

$V\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; PV\; i\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; CF\; i\; (1\; +\; y\; /\; k)\; k\; \cdot \; ti\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; 4\; 10\; (1\; +.04\; /\; 2)\; я\; +\; 100\; (1\; +.04\; /\; 2)\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; PV\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{CF\_\; \{i\}\}\; \{(1\; +\; y\; /\; k)\; ^\; \{k\; \backslash \; cdot\; t\_\; \{i\}\}\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{4\}\; \{\backslash \; frac\; \{10\}\; \{(1+.\; 04/2)\; ^\; \{i\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{100\}\; \{(1\; +.04\; /\; 2)\; ^\; \{4\}\}\}\}$

$=\; 9.804\; +\; 9.612\; +\; 9.423\; +\; 9.238\; +\; 92.385\; =\; 130.462\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; 9.804\; +\; 9.612\; +\; 9.423\; +\; 9.238\; +\; 92.385\; =\; 130.462\}$

Тогда длительность Маколея будет

$MacD\; =\; 0.5\; \cdot \; 9.804\; 130.462\; +\; 1.0\; \cdot \; 9.612\; 130.462\; +\; 1.5\; \cdot \; 9.423\; 130.462\; +\; 2.0\; \cdot \; 9.238\; 130.462\; +\; 2.0\; \cdot \; 92.385\; 130,462\; =\; 1,777\; лет\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{MacD\}\}\; =\; 0,5\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{9.804\}\; \{130.462\}\}\; +\; 1,0\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{9.612\}\; \{130.462\}\}\; +\; 1,5\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\; 9.423\}\; \{130.462\}\}\; +\; 2.0\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{9.238\}\; \{130.462\}\}\; +\; 2.0\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{92.385\}\; \{130.462\}\}\; =\; 1.777\; \backslash ,\; \{\backslash \; text\; \{years\}\}\}$.

простая формула выше дает (y / k = 0,04 / 2 = 0,02, c / k = 20/2 = 10):

$MacD\; =\; [(1,02)\; 0,02\; -\; 100\; (1,02)\; +\; 4\; (10\; -\; 2)\; 10\; [(1.02)\; 4\; -\; 1]\; +\; 2]\; /\; 2\; =\; 1.777\; лет\; \{\backslash \; displa\; ystyle\; \{\backslash \; text\; \{MacD\}\}\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{(1.02)\}\; \{0.02\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{100\; (1.02)\; +4\; (10-2)\}\; \{10\; [(1.02)\; ^\; \{4\; \}\; -1]\; +2\}\}\; \backslash \; right]\; /2=1.777\; \backslash ,\; \{\backslash \; text\; \{years\}\}\}$

Модифицированная дюрация, измеренная как процентное изменение цены при изменении доходности на один процентный пункт, составляет:

$ModD\; =\; MacD\; (1\; +\; y\; /\; k)\; =\; 1,777\; (1\; +\; 0,04\; /\; 2)\; =\; 1,742\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{ModD\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; text\; \{MacD\}\}\; \{(1\; +\; y\; /\; k)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1.777\}\; \{(1\; +.04\; /\; 2)\}\}\; =\; 1,742\}$(% изменение цены на 1 процентный пункт изменения доходности)

DV01, измеренное как изменение цены в долларах для облигации номиналом 100 долларов при изменении доходности на один процентный пункт, составляет

$DV01\; =\; ModD\; \cdot \; 130,462\; 100\; =\; 2,27\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{DV01\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; text\; \{ModD\}\}\; \backslash \; cdot\; 130.462\}\; \{100\}\}\; =\; 2.27\}$($ за 1 процентное изменение доходности)

где деление на 100 происходит пот ому, что модифицированная дюрация является процентным изменением.

Рассмотрим облигацию с номинальной стоимостью 1000 долларов США, купонной ставкой 5% и годовой доходностью 6,5%, со сроком погашения через 5 лет. Шаги для вычисления продолжительности следующие:

1. Оцените стоимость облигации. Купоны будут составлять 50 долларов в годы 1, 2, 3 и 4. Затем, в год 5, по облигации будет выплачен купон и основная сумма на общую сумму 1050 долларов. При дисконтировании к текущей стоимости 6,5% стоимость облигации составляет 937,66 долларов США. Подробности следующие:

Год 1: 50 долларов США / (1 + 6,5%) ^ 1 = 46,95

Год 2: 50 долларов США / (1 + 6,5%) ^ 2 = 44,08

Год 3: 50 долларов США / (1 + 6,5%) ^ 3 = 41,39

Год 4: 50 долларов США / (1 + 6,5%) ^ 4 = 38,87

Год 5: 1050 долларов США / (1 + 6,5%) ^ 5 = 766,37

2. Умножьте время получения каждого денежного потока на его приведенную стоимость

Год 1: 1 * 46,95 доллара США = 46,95

Год 2: 2 * 44,08 доллара США = 88,17

Год 3: 3 * 41,39 доллара = 124,18

год 4: 4 * 38,87 доллара = 155,46

год 5: 5 * 766,37 = 3831,87

ИТОГО: 4246,63

3. Сравните итоговую сумму из шага 2 со стоимостью облигации (шаг 1)

дюрация Маколея: 4246,63 / 937,66 = 4,53

долларовая дюрация или DV01 или BPV или Bloomberg Риск определяется как отрицательное значение производной стоимости в отношении доходности:

$D\; \$\; =\; DV\; 01\; =\; -\; \partial \; V\; \partial \; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; \$\}\; =\; DV01\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; V\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}.\}$

, так что это произведение измененной продолжительности и цены (значения):

$D\; \$\; =\; DV\; 01\; =\; BPV\; =\; V\; \cdot \; M\; od\; D\; /\; 100\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; \$\}\; =\; DV01\; =\; BPV\; =\; V\; \backslash \; cdot\; ModD\; /\; 100\}$($ за изменение на 1 процентный пункт в yield)

или

$D\; \$\; =\; DV\; 01\; =\; V\; \cdot \; M\; od\; D\; /\; 10000\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; \$\}\; =\; DV01\; =\; V\; \backslash \; cdot\; ModD\; /\; 10000\}$($ за 1 изменение доходности в базисных пунктах)

DV01 аналогичен дельте в ценообразовании производных финансовых инструментов (греки) - это отношение изменения цены выпуска (в долларах) к единице изменения затрат (базисная точка доходности). Дюрация в долларах или DV01 - это изменение цены в долларах, а не в процентах. Он показывает изменение стоимости облигации в долларах на единицу изменения доходности. Это часто измеряется на 1 базисный пункт - DV01 сокращенно от «долларовой стоимости 01» (или 1 базисного пункта). Также используется название BPV (значение базисного пункта ) или Bloomberg «Риск», часто применяемое к изменению доллара для условного изменения доходности на 100 б.п. на 100 б.п., что дает те же единицы, что и дюрация. Иногда используется PV01 (приведенная стоимость 01), хотя PV01 более точно относится к стоимости аннуитета в один доллар или один базисный пункт. (Для облигации с номинальной стоимостью и плоской кривой доходности DV01, производная от цены по доходности, и PV01, величина годового дохода в один доллар, фактически будут иметь одинаковое значение.) DV01 или долларовая дюрация может быть используется для инструментов с нулевой авансовой стоимостью, таких как процентные свопы, где процентные изменения и модифицированная дюрация менее полезны.

Применение к стоимости, подверженной риску (VaR)

Дюрация доллара $D\; \$\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; \$\}\}$обычно используется для расчет стоимости под риском (VaR). Чтобы проиллюстрировать приложения для управления рисками портфеля, рассмотрим портфель ценных бумаг, зависящих от процентных ставок $r\; 1,\dots ,\; rn\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; r\_\; \{n\}\}$как факторов риска, и пусть

$V\; =\; V\; (r\; 1,\dots ,\; rn)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; V\; (r\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; r\_\; \{n\})\; \backslash ,\}$

обозначает значение таких портфолио. Тогда вектор экспозиции $\omega \; =\; (\omega \; 1,\dots ,\; \omega \; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; omega\}\}\; =\; (\backslash \; omega\; \_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; omega\; \_\; \{n\})\}$имеет компоненты

$\omega \; i\; =\; -\; D\; \$,\; i:\; =\; \partial \; V\; \partial \; ri.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{i\}\; =\; -\; D\; \_\; \{\backslash \; \$,\; i\}:\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; V\}\; \{\backslash \; partial\; r\_\; \{i\}\}\}.\}$

Соответственно, изменение значения портфель можно приблизительно представить как

$\Delta \; V\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; \omega \; i\; \Delta \; ri\; +\; \sum \; 1\; \le \; i,\; j\; \le \; N\; O\; (\Delta \; ri\; \Delta \; rj),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; V\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; omega\; \_\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; r\_\; \{i\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{1\; \backslash \; leq\; i,\; j\; \backslash \; leq\; n\}\; O\; (\backslash \; Delta\; r\_\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; r\_\; \{j\; \}),\}$

то есть компонент, линейный по отношению к изменениям процентной ставки, плюс член ошибки, который является как минимум квадратичным. Эту формулу можно использовать для расчета VaR портфеля, игнорируя термины более высокого порядка. Обычно кубические или более высокие члены усекаются. Квадратичные члены, если они включены, могут быть выражены в терминах (многовариантной) выпуклости облигаций. Можно сделать предположения о совместном распределении процентных ставок, а затем рассчитать VaR с помощью моделирования Монте-Карло или, в некоторых особых случаях (например, распределение Гаусса, предполагая линейное приближение), даже аналитически. Формулу также можно использовать для расчета DV01 портфеля (см. Ниже), и ее можно обобщить для включения факторов риска помимо процентных ставок.

Основное использование дюрации (модифицированной дюрации) заключается в измерении чувствительности к процентной ставке или подверженности риску. Думать о риске с точки зрения процентных ставок или доходности очень полезно, потому что это помогает нормализовать различные инструменты, которые в противном случае были бы разными. Рассмотрим, например, следующие четыре инструмента, каждый с 10-летним окончательным сроком погашения:

Все четыре имеют 10-летний срок погашения, но чувствительность к процентным ставкам ставки и, следовательно, риск будут другими: нулевой купон имеет самую высокую чувствительность, а аннуитет - самую низкую.

Сначала рассмотрим вложение 100 долларов в каждую, что имеет смысл для трех облигаций (купонная облигация, аннуитет, бескупонная облигация - это не имеет смысла для процентного свопа, для которого нет начальные вложения). Модифицированная дюрация - полезный показатель для сравнения чувствительности к процентной ставке по всем трем. Бескупонная облигация будет иметь самую высокую чувствительность, изменяясь со скоростью 9,76% на изменение доходности на 100 б.п. Это означает, что если доходность вырастет с 5% до 5,01% (рост на 1 б.п.), цена упадет примерно на 0,0976% или изменится цена с 61,0271 доллара за 100 долларов до примерно 60,968 долларов. Первоначально вложенные 100 долларов упадут примерно до 99,90 долларов. Аннуитет имеет самую низкую чувствительность, примерно вдвое меньше, чем у бескупонной облигации, с модифицированной дюрацией 4,72%.

В качестве альтернативы, мы могли бы рассматривать каждый инструмент номинальной стоимостью 100 долларов. В этом случае BPV или DV01 (долларовая стоимость 01 или долларовая дюрация) является более естественной мерой. BPV в таблице - это изменение цены в долларах на условные 100 долларов при изменении доходности на 100 б.п. BPV будет иметь смысл для процентного свопа (для которого модифицированная дюрация не определена), а также для трех облигаций.

Модифицированная дюрация измеряет размер чувствительности к процентной ставке. Иногда мы можем ошибаться, полагая, что он измеряет, к какой части кривой доходности чувствителен инструмент. В конце концов, модифицированная дюрация (% изменения цены) - это почти то же число, что и дюрация Маколея (своего рода средневзвешенное количество лет до погашения). Например, аннуитет, указанный выше, имеет дюрацию Маколея 4,8 года, и мы можем подумать, что он чувствителен к 5-летней доходности. Но он имеет денежные потоки до 10 лет и, следовательно, будет чувствителен к 10-летней доходности. Если мы хотим измерить чувствительность к частям кривой доходности, нам необходимо учитывать продолжительность ключевой ставки.

Для облигаций с фиксированными денежными потоками изменение цены может происходить из двух источников:

1. Время (конвергенция к номинал). Это, конечно, полностью предсказуемо и, следовательно, не представляет риска.
2. Изменение доходности. Это может быть связано с изменением эталонной доходности и / или изменением спреда доходности.

Отношение доходности к цене является обратным, а модифицированная дюрация обеспечивает очень полезную меру чувствительности цены к доходности. В качестве первой производной он обеспечивает линейное приближение. Для больших изменений урожайности можно добавить выпуклость, чтобы обеспечить квадратичную аппроксимацию или приближение второго порядка. В качестве альтернативы, что часто более полезно, выпуклость может использоваться для измерения того, как изменяется модифицированная дюрация при изменении доходности. Аналогичные меры риска (первого и второго порядка), используемые на рынках опционов, - это дельта и гамма.

Модифицированная дюрация и DV01 как меры чувствительности к процентной ставке, которые также полезны, поскольку они могут применяться к инструменты и ценные бумаги с переменными или условными денежными потоками, например опционы.

Для облигаций, которые имеют встроенные опционы, например, облигации с правом обратной продажи и отзываемые облигации, измененная дюрация не будет правильно приближать движение цены при изменении доходность к погашению.

Рассмотрим облигацию со встроенным опционом пут. Например, облигация на сумму 1000 долларов США, которая может быть погашена держателем по номинальной стоимости в любое время до наступления срока погашения облигации (то есть американский пут-опцион). Какими бы высокими ни становились процентные ставки, цена облигации никогда не опустится ниже 1000 долларов (без учёта). Чувствительность цены этой облигации к изменениям процентной ставки отличается от облигации без права обратной продажи с идентичным в остальном денежным потоком.

Для определения цены таких облигаций необходимо использовать ценообразование опционов для определения стоимости облигации, а затем можно вычислить ее дельту (и, следовательно, ее лямбду), что и есть продолжительность. эффективная дюрация является дискретным приближением к последнему и требует модели ценообразования опционов.

$Эффективная\; продолжительность\; =\; V\; -\; \Delta \; y\; -\; V\; +\; \Delta \; y\; 2\; (V\; 0)\; \Delta \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Effective\; duration\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{V\; \_\; \{-\; \backslash \; Delta\; y\}\; -V\; \_\; \{+\; \backslash \; Дельта\; y\}\}\; \{2\; (V\_\; \{0\})\; \backslash \; Delta\; y\}\}\}$

где Δ y - величина, при которой доходность изменяется, а $V\; -\; \Delta \; y\; и\; V\; +\; \Delta \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; \_\; \{-\; \backslash \; Delta\; y\}\; \{\backslash \; text\; \{и\}\}\; V\; \_\; \{+\; \backslash \; Delta\; y\}\}$- это значения, которые будет принимать облигация, если доходность упадет на y или повысится на y, соответственно. (A "parallel shift" ; note that this value may vary depending on the value used for Δ y.)

These values are typically calculated using a tree-based model, built for the entire yield curve (as opposed to a single yield to maturity), and therefore capturing exercise behavior at each point in the option's life as a function of both time and interest rates; see Lattice model (finance)#Interest rate derivatives.

Sensitivity of a bond's market price to a change in Option Adjusted Spread (OAS). Thus the index, or underlying yield curve, remains unchanged. Floating rate Активы, которые сравниваются с индексом (например, 1-месячный или 3-месячный LIBOR) и периодически обнуляются, будут иметь эффективную дюрацию, близкую к нулю, но длительность спреда, сопоставимую с идентичной в остальном облигацией с фиксированной ставкой.

Также может иметь значение чувствительность портфеля облигаций, таких как облигации взаимный фонд, к изменениям процентных ставок. Часто указывается средняя дюрация облигаций в портфеле. Дюрация портфеля равна средневзвешенному сроку погашения всех денежных потоков в портфеле. Если каждая облигация имеет одинаковую доходность к погашению, это равно средневзвешенному значению дюрации портфеля облигаций с весами, пропорциональными ценам облигаций. В противном случае средневзвешенное значение дюрации облигации является лишь хорошим приближением, но оно все же может использоваться для вывода о том, как стоимость портфеля изменится в ответ на изменения процентных ставок.

Дюрация - это линейная мера того, как цена облигации изменяется в ответ на изменение процентной ставки. При изменении процентных ставок цена не изменяется линейно, а является выпуклой функцией процентных ставок. Выпуклость - это мера кривизны изменения цены облигации при изменении процентной ставки. В частности, дюрация может быть сформулирована как первая производная функции цены облигации по отношению к рассматриваемой процентной ставке, а выпуклость - как вторая производная.

Выпуклость также дает представление о распределении будущих денежных потоков. (Так же, как продолжительность дает дисконтированное среднее значение, так и выпуклость может использоваться для расчета дисконтированного стандартного отклонения, например, доходности.)

Обратите внимание, что выпуклость может быть положительной или отрицательной. Облигация с положительной выпуклостью не будет иметь никаких признаков отзыва, т. Е. Эмитент должен выкупить облигацию при наступлении срока погашения, а это означает, что по мере снижения ставок ее дюрация и цена будут расти.

С другой стороны, облигация с функцией отзыва, т. Е. Когда эмитент может погасить облигацию досрочно, имеет отрицательную выпуклость по мере приближения ставок к страйку опциона, то есть ее дюрация будет уменьшаться по мере того, как ставки падают, и, следовательно, его цена будет расти медленнее. Это связано с тем, что эмитент может выкупить старую облигацию с высоким купоном и перевыпустить новую облигацию по более низкой ставке, тем самым предоставляя эмитенту ценные возможности. Подобно описанному выше, в этих случаях может быть более правильным рассчитать эффективную выпуклость.

ипотечных ценных бумаг (сквозные предоплаты основной суммы ипотеки) с 15- или 30-летними ипотечными кредитами в американском стиле с фиксированной ставкой как обеспечение - это примеры облигаций с правом отзыва.

• Оценка облигаций
• Правила подсчета дней
• Иммунизация (финансы)
• Список финансовых тем
• Срок хранения

• Fabozzi, Frank J. (1999), «Основы дюрации и выпуклости», Duration, Convexity, and Other Bond Risk Measures, Frank J. Fabozzi Series, 58, John Wiley and Sons, ISBN 9781883249632 CS1 maint: ref = harv (link )
• Mayle, Jan (1994), Standard Securities Методы расчета: формулы ценных бумаг с фиксированным доходом для аналитических показателей, 2 (1-е изд.), Ассоциация индустрии ценных бумаг и финансовых рынков, ISBN 1-882936 -01-9. Стандартная ссылка на соглашения, применимые к ценным бумагам США.

• Рохас Арсу, Хорхе; Рока, Флоренсия (декабрь 2018 г.), стр. 43–44, ISBN 9781791814342

• Энциклопедия рисков для хорошего объяснения множественных определений продолжительности и их происхождения.
• S Пошаговое видеообучение
• Объяснение продолжительности Investopedia