Модель BF

модель BF или теория BF - это топологическое поле, которое при квантовании становится топологической квантовой теорией поля.. BF обозначает фоновое поле . B и F, как показано ниже. w, также являются переменными, фигурирующими в лагранжиане теории, что полезно в качестве мнемонического средства.

У нас есть 4-мерное дифференцируемое многообразие M, калибровочная группа G, которая имеет в качестве "динамических" полей 2-форму Bпринимая значения в присоединенном представлении группы G и форме соединения Aдля G.

Действие действие задается как

$S\; =\; \int \; MK\; [B\; \wedge \; F]\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{M\}\; K\; [\backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; mathbf\; \{F\}]\}$

где K - инвариант невырожденный билинейная форма над $g\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{g\}\}\}$(если G полупростой, форма убийства будет делать) и F - это форма кривизны

$F\; \equiv \; d\; A\; +\; A\; \wedge \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \backslash \; Equiv\; d\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{A\; \}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\}$

Это действие диффеоморфно инвариантно и калибровочно-инвариантно. Его уравнения Эйлера – Лагранжа :

$F\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; 0\}$(без кривизны)

и

$d\; AB\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; 0\}$(ковариантная внешняя производная от B равна нулю).

Фактически, всегда можно отследить любые локальные степени свободы, поэтому это называется топологической теорией поля.

Однако, если M топологически нетривиален, A и B могут иметь нетривиальные решения глобально.

Фактически, теория БФ может быть использована для формулировки теории дискретной калибровки. Можно добавить дополнительные термины изгиба, разрешенные теорией групповых когомологий, такие как Дейкграаф - Виттен топологическая калибровочная теория. Существует много разновидностей модифицированных теорий BF, таких как теории топологического поля, которые приводят к инвариантам связи в 3-х измерениях, 4-х измерениях и других общих измерениях.

• Вращающаяся пена
• Метод фонового поля
• Двойной гравитон
• Действие Плебанского
• Модель Барретта – Крейна
• Действие Тетрадика Палатини

• http://math.ucr.edu/home/baez/qg-fall2000/qg2.2.html

.