Автомедианный треугольник

редактировать

Автомедианный треугольник (черный) с длинами сторон в пропорции 13: 17: 7, его три медианы (коричневый), и треугольник , подобный исходному, стороны которого являются преобразованными копиями медиан

В геометрии плоскости, автомедианный треугольник является треугольник, в котором длины трех медиан (отрезков линии, соединяющих каждую вершину со средней точкой противоположной стороны) пропорциональны длинам трех сторон в другом порядке. Три медианы автомедианного треугольника могут быть преобразованы в для образования сторон второго треугольника, который аналогичен первому.

Содержание

1 Характеристика
2 Построение из прямоугольных треугольников
3 Примеры
4 Дополнительные свойства
5 История
6 Особые случаи
7 См. Также
8 Ссылки
9 Внешние ссылки

Характеристика

Длины сторон автомедианного треугольника удовлетворяют формуле 2a = b + c или ее перестановке, аналогичной теореме Пифагора, характеризующей прямоугольные треугольники как треугольники, удовлетворяющие формуле a = b + c. То есть, чтобы три числа a, b и c были сторонами автомедианного треугольника, последовательность из трех возведенных в квадрат длин сторон b, a и c должна образовывать арифметическую прогрессию.

Построение из прямоугольные треугольники

Если x, y и z - три стороны прямоугольного треугольника, отсортированные в порядке возрастания по размеру, и если 2x < z, then z, x + y, and y − x are the three sides of an automedian triangle. For instance, the right triangle with side lengths 5, 12, and 13 can be used to form in this way an automedian triangle with side lengths 13, 17, and 7.

Условие, что неравенство треугольника 2x < z is necessary: if it were not met, then the three numbers a = z, b = x + y, and c = x − y would still satisfy the equation 2a = b+ c characterizing automedian triangles, but they would not satisfy the и не может быть использован для образования сторон треугольника.

Следовательно, используя формулу Эйлера, которая генерирует примитивные треугольники Пифагора, можно генерировать примитивные целочисленные автомедианные треугольники (т. Е. Со сторонами, не имеющими общего множителя) как

a = m 2 + n 2 {\ displaystyle a = m ^ {2} + n ^ {2}}

{\ displaystyle a = m ^ {2} + n ^ {2}}

b = m 2 + 2 mn - n 2 {\ displaystyle b = m ^ {2} + 2mn-n ^ {2}}

{\ displaystyle b = m ^ {2} + 2mn-n ^ {2}}

c = | м 2 - 2 м n - n 2 | {\ displaystyle c = | m ^ {2} -2mn-n ^ {2} |}

{\ displaystyle c = | m ^ {2} -2mn-n ^ {2} |}

с $m {\ displaystyle m}$ $m$ и $n {\ displaystyle n}$ $n$ взаимно простое, $m + n {\ displaystyle m + n}$ $m + n$ нечетное, и удовлетворять неравенству треугольника $n < m < n 3 {\displaystyle n$ ${\ di splaystyle n <m <n {\ sqrt {3}}}$ (если количество внутри знаков абсолютного значения отрицательное) или $m>(2 + 3) n {\ displaystyle m>(2 + {\ sqrt {3}}) n}$ $m>(2 + {\ sqrt {3}}) n$ (если это количество положительное). Тогда это медианы треугольника $ta, tb, tc {\ displaystyle t_ {a}, t_ {b}, t_ {c}}$ ${\ displaystyle t_ {a}, t_ {b}, t_ {c}}$ находятся с использованием приведенных выше выражений для его сторон в общем формула для медиан :

ta = 2 b 2 + 2 c 2 - a 2 4 = a 3 2, tb = 2 a 2 + 2 c 2 - b 2 4 = c 3 2, tc = 2 a 2 + 2 b 2 - c 2 4 = b 3 2, {\ displaystyle t_ {a} = {\ sqrt {\ frac {2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2}} {4}}} = { \ frac {a {\ sqrt {3}}} {2}}, \ qquad t_ {b} = {\ sqrt {\ frac {2a ^ {2} + 2c ^ {2} -b ^ {2}} { 4}}} = {\ frac {c {\ sqrt {3}} } {2}}, \ qquad t_ {c} = {\ sqrt {\ frac {2a ^ {2} + 2b ^ {2} -c ^ {2}} {4}}} = {\ frac {b { \ sqrt {3}}} {2}},}

{\ displaystyle t_ {a } = {\ sqrt {\ frac {2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2}} {4}}} = {\ frac {a {\ sqrt {3}}} {2}}, \ qquad t_ {b} = {\ sqrt {\ frac {2a ^ {2} + 2c ^ {2} -b ^ {2}} {4}}} = {\ frac {c {\ sqrt {3} }} {2}}, \ qquad t_ {c} = {\ sqrt {\ frac {2a ^ {2} + 2b ^ {2} -c ^ {2}} {4}}} = {\ frac {b {\ sqrt {3}}} {2}},}

где второе уравнение в каждом случае отражает автомедианную функцию $2 a 2 = b 2 + c 2. {\ displaystyle 2a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2}.}$ ${\ displaystyle 2a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ { 2}.}$

Отсюда можно увидеть отношения сходства

tatb = ac, tbtc = cb, tcta = ba и, следовательно, ta : tb: tc = a: c: b. {\ displaystyle {\ frac {t_ {a}} {t_ {b}}} = {\ frac {a} {c}}, \ qquad {\ frac {t_ {b}} {t_ {c}}} = {\ frac {c} {b}}, \ qquad {\ frac {t_ {c}} {t_ {a}}} = {\ frac {b} {a}} \ qquad {\ text {и, следовательно,}} \ qquad t_ {a}: t_ {b}: t_ {c} \ quad = \ quad a: c: b.}

{\ displaystyle {\ frac {t_ {a}} {t_ {b}}} = { \ frac {a} {c}}, \ qquad {\ frac {t_ {b}} {t_ {c}}} = {\ frac {c} {b}}, \ qquad {\ frac {t_ {c} } {t_ {a}}} = {\ frac {b} {a}} \ qquad {\ text {и, следовательно,}} \ qquad t_ {a}: t_ {b}: t_ {c} \ quad = \ quad a: c: b.}

Существует примитивный целочисленный автомедианный треугольник, который не создается из прямоугольного треугольника: а именно, равносторонний треугольник со сторонами, равными единице длины.

Примеры

Имеется 18 примитивных целочисленных автомедианных треугольников, показанных здесь как тройки сторон (a, b, c), с b ≤ 200:

(1, 1, 1)	(13, 17, 7)	(17, 23, 7)	(25, 31, 17)	(37, 47, 23)	(41, 49, 31)
(61, 71, 49)	(65, 79, 47)	(85, 97, 71)	(85, 113, 41)	(89, 119, 41)	(101, 119, 79)
(113, 127, 97)	(125, 161, 73)	(145, 161, 127)	(145, 167, 119)	(149, 191, 89)	(181, 199, 161)

Например, (26, 34, 14) не является примитивной автомедианной тройкой, так как она кратна (13, 17, 7) и делает не появляются выше.

Дополнительные свойства

Если $Δ (a, b, c) {\ displaystyle \ Delta (a, b, c)}$ ${\ displaystyle \ Delta (a, b, c)}$ - это область автомедианный треугольник, по формуле Герона $Δ (ta, tb, tc) = (3/4) Δ (a, b, c). {\ displaystyle \ Delta (t_ {a}, t_ {b}, t_ {c}) = (3/4) \ Delta (a, b, c).}$ ${\ displaystyle \ Delta (t_ {a}, t_ { b}, t_ {c}) = (3/4) \ Delta (a, b, c).}$

Линия Эйлера автомедианного треугольника перпендикулярно медиане к стороне a.

Если медианы автомедианного треугольника продолжаются до описанной окружности треугольника, то три точки LMN, где расширенные медианы пересечь описанную окружность и образовать равнобедренный треугольник. Треугольники, для которых этот второй треугольник LMN является равнобедренным, в точности являются треугольниками, которые сами являются либо равнобедренными, либо автомедианными. Это свойство автомедианных треугольников противоречит теореме Штейнера – Лемуса, согласно которой единственные треугольники, у которых биссектрисы биссектрисы имеют одинаковую длину, - это равнобедренные треугольники.

Кроме того, предположим, что ABC - автомедианный треугольник, в котором вершина A стоит напротив стороны a. Пусть G - точка, в которой пересекаются три медианы ABC, и пусть AL - одна из расширенных медиан ABC, причем L лежит на описанной окружности ABC. Тогда BGCL - это параллелограмм, два треугольника BGL и CLG, на которые он может быть подразделен, оба похожи на ABC, G - это середина AL, а линия Эйлера треугольника является серединным перпендикуляром AL.

При генерации примитивного автомедианного треугольника из примитива тройки Пифагора с использованием евклидовых параметров m, n, затем $m>n {\ displaystyle m>n}$ $m>n$ и отсюда следует, что $b ≥ a ≥ c {\ displaystyle b \ geq a \ geq c}$ ${\ displaystyle b \ geq a \ geq c}$ . Поскольку непримитивные автомедианные треугольники кратны своим примитивам, неравенства стороны применяются ко всем целочисленным автомедианным треугольникам. Равенство возникает только для тривиальных равносторонних треугольников. Кроме того, поскольку $m + n {\ displaystyle m + n}$ $m + n$ всегда нечетно, все стороны a, b, c должно быть нечетным. Этот факт позволяет троек автомедианы иметь только стороны и периметр простых чисел. Например, (13, 17, 7) имеет периметр 37.

Поскольку в примитивном автомедианном треугольнике сторона a является суммой двух квадратов и равна гипотенузе образующей примитивной пифагоровой тройки, она делится только на простые числа, равные 1 (mod 4). Следовательно, a должно быть конгруэнтно 1 (mod 4).

Точно так же, поскольку стороны связаны соотношением $2 a 2 = b 2 + c 2 {\ displaystyle 2a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2}}$ ${\ displaystyle 2a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2}}$ , каждая из сторон b и c в примитивном автомедиане - это разница между двойным квадратом и квадратом. Они также являются суммой и разностью ног примитивной пифагорейской тройки. Это ограничивает b и c, чтобы они делились только на простые числа, конгруэнтные ± 1 (mod 8). Следовательно, b и c должны совпадать с ± 1 (mod 8).

История

Изучение целочисленных квадратов в арифметической прогрессии имеет долгую историю, восходящую к Диофанту и Фибоначчи ; он тесно связан с congrua, то есть числами, которые могут быть разностями квадратов в такой прогрессии. Однако связь между этой проблемой и автомедианными треугольниками возникла гораздо позже. Проблема описания автомедианных треугольников была поставлена в конце 19 века в «Educational Times» (на французском языке) Джозефом Жан-Батистом Нойбергом и решена там формулой 2a = b + c Уильямом Джоном. Greenstreet.

Особые случаи

Помимо тривиальных случаев равносторонних треугольников, треугольник с длинами сторон 17, 13 и 7 является наименьшим (по площади или периметру) автомедианным треугольником с целыми длинами сторон.

Есть только один автомедианный прямоугольный треугольник, длина сторон которого пропорциональна 1, √2 и √3. Этот треугольник - второй треугольник в спирали Теодора. Это единственный прямоугольный треугольник, в котором две медианы перпендикулярны друг другу.

См. Также

срединный треугольник
Целочисленный треугольник
треугольник Кеплера, прямоугольный треугольник, в котором квадраты длин ребер образуют геометрическую прогрессию вместо арифметической.

Ссылки

Внешние ссылки

Автомедианные треугольники и магические квадраты K. Математические страницы С. Брауна