Двойственность Артина – Вердье

Теорема о конструктивных абелевых пучках над спектром кольца алгебраических чисел

В математике, двойственность Артина – Вердье является теоремой двойственности для конструируемые абелевы пучки над спектром кольца алгебраических чисел, введенные Майклом Артином и Жан-Луи Вердье (1964), который обобщает двойственность Тейта.

Он показывает, что, насколько etale (или плоский ) когомологии обеспокоен тем, что кольцо целых чисел в числовом поле ведет себя как 3-мерное математическое объект.

Пусть X будет спектром кольца целых чисел в полностью мнимом числовом поле K, и F конструируемый этал абелев пучок на X. Тогда пара Йонеды

$H\; r\; (X,\; F)\; \times \; Ext\; 3\; -\; р\; \; (F,\; G\; m)\; \to \; H\; 3\; (X,\; G\; m)\; =\; Q\; /\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{r\}\; (X,\; F)\; \backslash \; times\; \backslash \; operatorname\; \{Ext\}\; ^\; \{3-r\}\; (\; F,\; \backslash \; mathbb\; \{G\}\; \_\; \{m\})\; \backslash \; to\; H\; ^\; \{3\}\; (X,\; \backslash \; mathbb\; \{G\}\; \_\; \{m\})\; =\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$

является невырожденное спаривание конечных абелевых групп для любого целого r.

Здесь H (X, F) - r-я группа этальных когомологий схемы схемы X со значениями в F, а Ext (F, G) - группа r- расширений этального пучка G этальным пучком F в категории этальных абелевых пучков на X. Кроме того, G m обозначает этальный пучок единиц в структурном пучке X.

Кристофер Денингер (1986) доказал двойственность Артина – Вердье для конструктивного, но не обязательно торсионные шкивы. Для такого пучка F указанное выше спаривание индуцирует изоморфизмы

$H\; r\; (X,\; F)\; \ast \; \cong \; Ext\; 3\; -\; r\; \; (F,\; G\; m)\; r\; =\; 0,\; 1\; H\; r\; (X,\; F)\; \cong \; Ext\; 3\; -\; р\; \; (F,\; г\; м)\; *\; р\; знак\; равно\; 2,\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; H\; ^\; \{r\}\; (X,\; F)\; ^\; \{*\}\; \backslash \; cong\; \backslash \; operatorname\; \{Ext\}\; ^\; \{3-r\; \}\; (F,\; \backslash \; mathbb\; \{G\}\; \_\; \{m\})\; r\; =\; 0,1\; \backslash \backslash \; H\; ^\; \{r\}\; (X,\; F)\; \backslash \; cong\; \backslash \; operatorname\; \{Ext\}\; ^\; \{3-r\}\; (F,\; \backslash \; mathbb\; \{G\}\; \_\; \{m\})\; ^\; \{*\}\; r\; =\; 2,3\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где

$(-)\; \ast \; =\; Hom\; \; (-,\; Q\; /\; Z).\; \{\backslash \; displaystyle\; (-)\; ^\; \{*\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; (-,\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}).\}$

Пусть U - открытая подсхема спектра кольца целых чисел в числовом поле K, а F - конечная плоская коммутативная групповая схема над U. Тогда чашечное произведение определяет невырожденное спаривание

$ЧАС\; р\; (U,\; FD)\; \times \; ЧАС\; c\; 3\; -\; r\; (U,\; F)\; \to \; H\; c\; 3\; (U,\; G\; m)\; =\; Q\; /\; Z\; \{\backslash \; Displaystyle\; H\; ^\; \{r\}\; (U,\; F\; ^\; \{D\})\; \backslash \; times\; H\_\; \{c\}\; ^\; \{3-r\}\; (U,\; F)\; \backslash \; to\; H\_\; \{c\}\; ^\; \{3\}\; (U,\; \{\backslash \; mathbb\; \{G\}\}\; \_\; \{m\})\; =\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$

конечных абелевых групп для всех целых r.

Здесь F обозначает двойственный по Картье к F, который является другой конечной плоской коммутативной групповой схемой над U. Более того, $H\; r\; (U,\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{\; r\}\; (U,\; F)\}$- это r-я группа плоских когомологий схемы U со значениями в плоском абелевом пучке F, а $H\; cr\; (U,\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{c\}\; ^\; \{r\}\; (U,\; F)\}$- r-я плоская когомология с компактными носителями U со значениями в плоском абелевом пучке F.

Плоские когомологии с компактными носителями определены так, чтобы порождать длинную точную последовательность

$\cdots \; \to \; H\; cr\; (U,\; F)\; \to \; H\; r\; (U,\; F)\; \to \; ⨁\; v\; \notin \; UH\; r\; (K\; v,\; F)\; \to \; ЧАС\; CR\; +\; 1\; (U,\; F)\; \to \; \cdots \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; cdots\; \backslash \; к\; H\_\; \{c\}\; ^\; \{r\}\; (U,\; F)\; \backslash \; к\; H\; ^\; \{r\}\; (U,\; F)\; \backslash \; к\; \backslash \; bigoplus\; \backslash \; nolimits\; \_\; \{v\; \backslash \; notin\; U\}\; H\; ^\; \{r\}\; (K\_\; \{v\},\; F)\; \backslash \; to\; H\_\; \{c\}\; ^\; \{r\; +\; 1\}\; (U,\; F)\; \backslash \; to\; \backslash \; cdots\}$

Сумма берется из все места из K, не входящие в U, включая архимедовы. Локальный вклад H (K v, F) - это когомология Галуа генселизации KvK в месте v, модифицированная как Tate :

$H\; r\; (K\; v,\; F)\; =\; HT\; r\; (G\; al\; (K\; vs\; /\; K\; v),\; F\; (K\; vs)).\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{r\}\; (K\_\; \{v\},\; F)\; =\; H\_\; \{T\}\; ^\; \{r\}\; (\backslash \; mathrm\; \{Gal\}\; (K\_\; \{v\}\; ^\; \{s\}\; /\; K\_\; \{v\}),\; F\; (K\_\; \{v\}\; ^\; \{s\})).\}$

Здесь $K\; vs\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{v\}\; ^\; \{s\}\}$- это разделимое замыкание $K\; v.\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{v\}.\}$

• Артин, Майкл ; Вердье, Жан-Луи (1964), «Семинар по этальным когомологиям числовых полей», Конспекты лекций, подготовленные в связи с проведенными в летнем институте семинарами по алгебраической геометрии. Поместье Уитни, Вудс-Хоул, Массачусетс. 6 - 31 июля 1964 г. (PDF), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, заархивировано из оригинального (PDF) 26 мая 2011 г.
• Денингер, Кристофер (1986), «Расширение дуальности Артина-Вердье на неторсионные пучки», Journal für die reine und angewandte Mathematik, 366 : 18–31, doi : 10.1515 / crll.1986.366.18, MR 0833011
• Мазур, Барри (1973), «Заметки об этальных когомологиях числовых полей», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, 6 : 521–552, ISSN 0012-9593, MR 0344254
• Милн, Джеймс С. (2006), Арифметические теоремы двойственности (второе изд.), BookSurge, LLC, стр. Viii + 339, ISBN 1-4196 -4274-X