Преобразование Вейерштрасса

редактировать

Интегральное преобразование «сглаживания»

В математике преобразование Вейерштрасса функции f: R→ R, названной в честь Карла Вейерштрасса, представляет собой «сглаженную» версию функции f (x), полученную путем усреднения значений f, взвешенных с Гауссиан с центром в x.

График функции f (x) (черный) и ее обобщенных преобразований Вейерштрасса для пяти параметров ширины (t). Стандартное преобразование Вейерштрасса F (x) задается случаем t = 1 (зеленым цветом)

В частности, это функция F, определенная как

F (x) = 1 4 π ∫ - ∞ ∞ f (y) е - (Икс - Y) 2 4 dy знак равно 1 4 π ∫ - ∞ ∞ е (x - y) е - y 2 4 dy, {\ Displaystyle F (x) = {\ frac {1} {\ sqrt { 4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (y) \; e ^ {- {\ frac {(xy) ^ {2}} {4}}} \; dy = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (xy) \; e ^ {- {\ frac {y ^ {2}} { 4}}} \; dy ~,}

F (x) = \ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty f (y) \; е ^ {- \ гидроразрыва {(х-у) ^ 2} {4}} \; dy = \ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty f (x-y) \; е ^ {- \ frac {y ^ 2} {4}} \; dy ~,

свертка функции f с функцией Гаусса

1 4 π e - x 2/4. {\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} e ^ {- x ^ {2} / 4} ~.}

\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}} e ^ {- x ^ 2/4} ~.

Фактор 1 / √ (4 π ) выбирается так, чтобы общий интеграл гауссиана был равен 1, а значит, постоянные функции не изменяются преобразованием Вейерштрасса.

Вместо F (x) пишут также W [f] (x). Обратите внимание, что F (x) не обязательно существует для каждого действительного числа x, когда определяющий интеграл не может сходиться.

Преобразование Вейерштрасса тесно связано с уравнением теплопроводности (или, что эквивалентно, уравнением диффузии с постоянным коэффициентом диффузии). Если функция f описывает начальную температуру в каждой точке бесконечно длинного стержня, который имеет постоянную теплопроводность, равную 1, то распределение температуры стержня t = 1 единицы времени позже будет задано функцией F. Используя значения t, отличные от 1, мы можем определить обобщенное преобразование Вейерштрасса функции f.

Обобщенное преобразование Вейерштрасса предоставляет средства для произвольной аппроксимации данной интегрируемой функции f с помощью аналитических функций.

Содержание

1 Имена
2 Преобразования некоторых важных функций
3 Общие свойства
- 3.1 Фильтр нижних частот
4 Обратное преобразование
5 Обобщения
6 Связанные преобразования
7 См. Также
8 Ссылки

Имена

Вейерштрасс использовал это преобразование в своем первоначальном доказательстве аппроксимационной теоремы Вейерштрасса. Он также известен как преобразование Гаусса или преобразование Гаусса – Вейерштрасса после Карла Фридриха Гаусса и как преобразование Хилле после Эйнар Карл Хилле, который тщательно изучил его. Обобщение W t, упомянутое ниже, известно в анализе сигналов как фильтр Гаусса и в обработке изображений (когда реализовано на R ) как размытие по Гауссу.

Преобразования некоторых важных функций

Как упоминалось выше, каждая постоянная функция представляет собой собственное преобразование Вейерштрасса. Преобразование Вейерштрасса любого полинома является полиномом той же степени и, по сути, одним и тем же старшим коэффициентом (асимптотический рост не изменяется). Действительно, если H n обозначает (физический) многочлен Эрмита степени n, то преобразование Вейерштрасса H n (x / 2) просто x. Это можно показать, используя тот факт, что производящая функция для полиномов Эрмита тесно связана с гауссовым ядром, используемым в определении преобразования Вейерштрасса.

Преобразование Вейерштрасса функции e (где a - произвольная константа) - это e e. Таким образом, функция e является собственной функцией преобразования Вейерштрасса. (На самом деле это в более общем случае верно для всех преобразований свертки.)

Установка a = bi, где i - мнимая единица, и применение тождества Эйлера, видно, что преобразование Вейерштрасса функции cos (bx) равно e cos (bx), а преобразование Вейерштрасса функции sin (bx) равно e sin (bx).

Преобразование Вейерштрасса функции e равно

1 1 - 4 aeax 2 1 - 4 a {\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-4a}}} e ^ {\ frac {ax ^ {2}} {1-4a}}}

{\ frac {1} {{\ sqrt {1-4a} }}} e ^ {{{\ frac {ax ^ {2}} {1-4a}}}}

if a < 1/4 and undefined if a ≥ 1/4.

В частности, выбирая отрицательное значение, очевидно, что преобразование Вейерштрасса гауссовой функции снова является гауссовой функцией, но «шире».

Общие свойства

Преобразование Вейерштрасса назначает каждой функции f новую функцию F; это присвоение линейное. Он также инвариантен к сдвигу, что означает, что преобразование функции f (x + a) есть F (x + a). Оба эти факта в целом верны для любого интегрального преобразования, определенного через свертку.

Если преобразование F (x) существует для действительных чисел x = a и x = b, то оно также существует для всех реальных значений между ними и образует там аналитическую функцию ; кроме того, F (x) будет существовать для всех комплексных значений x с a ≤ Re (x) ≤ b и образует голоморфную функцию на этой полосе комплексной плоскости . Это формальное утверждение упомянутой выше «гладкости» F.

Если f интегрируем по всей действительной оси (т. Е. F ∈ L(R) ), то также и его преобразование Вейерштрасса F, и если, кроме того, f (x) ≥ 0 для всех x, то также F (x) ≥ 0 для всех x и интегралы от f и F равны. Это выражает физический факт, что полная тепловая энергия или тепло сохраняется уравнением теплопроводности или что общее количество диффундирующего материала сохраняется уравнением диффузии.

Используя вышеизложенное, можно показать, что для 0 < p ≤ ∞ and f ∈ L(R) мы имеем F ∈ L (R ) и || F || p ≤ || е || р. Следовательно, преобразование Вейерштрасса дает ограниченный оператор W: L (R ) → L (R ).

Если f достаточно гладкое, то преобразование Вейерштрасса k-й производной функции f равно k-й производной преобразования Вейерштрасса функции f.

Существует формула, связывающая преобразование Вейерштрасса W и двустороннее преобразование Лапласа L. Если мы определим

g (x) = e - x 2 4 f (x) {\ displaystyle g (x) = e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {4}}} f (x)}

g (x) = e ^ {{- {\ frac {x ^ {2}} {4}}}} f (x)

, тогда

W [f] (x) = 1 4 π e - x 2/4 L [g] (- x 2). {\ displaystyle W [f] (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} e ^ {- x ^ {2} / 4} L [g] \ left (- {\ frac {x} {2}} \ right).}

W [f] (x) = {\ frac {1} {{\ sqrt {4 \ pi}}}} e ^ {{- x ^ {2} / 4}} L [g ] \ left (- {\ frac {x} {2}} \ right).

Фильтр нижних частот

Выше мы видели, что преобразование Вейерштрасса для cos (bx) равно e cos (bx), и аналогично для sin ( bx). В терминах анализа сигнала это предполагает, что если сигнал f содержит частоту b (т.е. содержит слагаемое, которое является комбинацией sin (bx) и cos (bx)), то преобразованный сигнал F будет содержат ту же частоту, но с амплитудой , умноженной на коэффициент e. Это приводит к тому, что более высокие частоты снижаются больше, чем более низкие, и, таким образом, преобразование Вейерштрасса действует как фильтр нижних частот . Это также можно показать с помощью непрерывного преобразования Фурье следующим образом. Преобразование Фурье анализирует сигнал с точки зрения его частот, преобразует свертки в произведения и преобразует гауссианы в гауссианы. Преобразование Вейерштрасса представляет собой свертку с гауссовым преобразованием и, следовательно, представляет собой умножение преобразованного Фурье сигнала на гауссовский с последующим применением обратного преобразования Фурье. Это умножение на гауссиан в частотном пространстве смешивает высокие частоты, что является еще одним способом описания свойства «сглаживания» преобразования Вейерштрасса.

Обратное преобразование

Следующая формула, тесно связанная с преобразованием Лапласа функции Гаусса и реальным аналогом преобразования Хаббарда – Стратоновича, относительно легко установить:

eu 2 = 1 4 π ∫ - ∞ ∞ e - uye - y 2/4 dy. {\ displaystyle e ^ {u ^ {2}} = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- uy} e ^ {-y ^ {2} / 4} \; dy.}

e ^ {{u ^ {2}}} = {\ frac {1} {{ \ sqrt {4 \ pi}}}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {\ infty} e ^ {{- uy}} e ^ {{- y ^ {2} / 4}} \; dy.

Теперь заменим u на формальный оператор дифференцирования D = d / dx и воспользуемся оператором сдвига Лагранжа

e - y D f (x) = f (x - y) {\ displaystyle e ^ {- yD} f (x) = f (xy)}

e ^ {{- yD}} f (x) = f (xy)

(следствие формулы ряда Тейлора и определения экспоненциальная функция ), чтобы получить

e D 2 f (x) = 1 4 π ∫ - ∞ ∞ e - y D f (x) e - y 2/4 dy = 1 4 π ∫ - ∞ ∞ е (Икс - Y) е - Y 2/4 dy = W [f] (x) {\ displaystyle {\ begin {align} e ^ {D ^ {2}} f (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- yD} f (x) e ^ {- y ^ {2} / 4} \; dy \\ = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (xy) e ^ {- y ^ {2} / 4} \; dy = W [f] (x) \ end {align}}}

{\ begin {align} e ^ {{D ^ {2}}} f (x) = {\ frac {1} {{\ sqrt {4 \ pi}}}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {\ infty} e ^ {{- yD}} f (x) e ^ {{- y ^ {2} / 4}} \; dy \\ = {\ frac {1 } {{\ sqrt {4 \ pi}}}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {\ infty} f (xy) e ^ {{- y ^ {2} / 4}} \; dy = W [f] (x) \ end {align}}

, чтобы получить следующее формальное выражение для преобразования Вейерштрасса W,

$W = e D 2, {\ displaystyle W = e ^ {D ^ {2}} ~,}$ $W = e ^ {D ^ 2} ~,$

где оператор справа следует понимать как действующий на функцию f (x) как

e D 2 f (Икс) знак равно ∑ К знак равно 0 ∞ D 2 К е (Икс) К!. {\ displaystyle e ^ {D ^ {2}} f (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {D ^ {2k} f (x)} {k!}} ~.}

e ^ {D ^ 2} f (x) = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {D ^ {2k} f (x)} {k!} ~.

Приведенный выше формальный вывод скрывает детали сходимости, поэтому формула W = e не является универсальной; Есть несколько функций f, которые имеют четко определенное преобразование Вейерштрасса, но для которых ef (x) не может быть определено содержательно.

Тем не менее, это правило по-прежнему весьма полезно и может, например, использоваться для вывода преобразований Вейерштрасса полиномов, экспоненциальных и тригонометрических функций, упомянутых выше.

Формальное обратное преобразование Вейерштрасса, таким образом, дается как

W - 1 = e - D 2. {\ displaystyle W ^ {- 1} = e ^ {- D ^ {2}} ~.}

W ^ {- 1} = e ^ {- D ^ 2} ~.

Опять же, эта формула не универсальна, но может служить руководством. Можно показать, что он верен для определенных классов функций, если оператор правой части определен правильно.

В качестве альтернативы можно попытаться инвертировать преобразование Вейерштрасса немного другим способом: с учетом аналитической функции

F (x) знак равно ∑ N = 0 ∞ тревога, {\ Displaystyle F (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} ~,}

F (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n x ^ n ~,

примените W, чтобы получить

f (x) = W - 1 [F (x)] = ∑ n = 0 ∞ an W - 1 [xn] = ∑ n = 0 ∞ an H n (x / 2) { \ Displaystyle f (x) = W ^ {- 1} [F (x)] = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} W ^ {- 1} [x ^ {n}] = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} H_ {n} (x / 2)}

f (x) = W ^ {{- 1}} [F (x)] = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} a_ {n} W ^ {{ -1}} [x ^ {n}] = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} a_ {n} H_ {n} (x / 2)

еще раз, используя фундаментальное свойство (физиков) полиномов Эрмита Hn.

Опять же, эта формула для f (x) в лучшем случае формальна, поскольку не проверялось, сходится ли окончательный ряд. Но если, например, f ∈ L (R ), то знания всех производных F при x = 0 достаточно, чтобы получить коэффициенты a n ; и, таким образом, восстановить f как серию многочленов Эрмита.

. Третий метод инвертирования преобразования Вейерштрасса использует его связь с упомянутым выше преобразованием Лапласа и хорошо известной формулой обращения для преобразования Лапласа. Ниже приведен результат для дистрибутивов.

Обобщения

Мы можем использовать свертку с гауссовым ядром $1 4 π te - x 2 4 t {\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi t }}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {4t}}}}$ ${\ frac {1} {{\ sqrt {4 \ pi t}}}} e ^ {{- {\ frac {x ^ {2}} {4t}}}}$ (с некоторым t>0) вместо $1 4 π e - x 2 4 { \ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {4}}}}$ ${\ frac {1} {{\ sqrt {4 \ pi}}}} e ^ {{- {\ frac {x ^ { 2}} {4}}}}$ , таким образом определяя оператор W t, обобщенное преобразование Вейерштрасса.

Для малых значений t, W t [f] очень близко к f, но гладко. Чем больше t, тем больше этот оператор усредняет и изменяет f. Физически W t соответствует уравнению тепла (или диффузии) для t единиц времени, и это аддитивно,

W s ∘ W t = W s + t, {\ displaystyle W_ {s } \ circ W_ {t} = W_ {s + t},}

W_ {s} \ circ W_ { t} = W _ {{s + t}},

, соответствующий «распространению в течение t единиц времени, затем s единиц времени, эквивалентно распространению для s + t единиц времени». Можно расширить это до t = 0, установив W 0 как оператор идентичности (то есть свертку с дельта-функцией Дирака ), а затем они образуют однопараметрический полугруппа операторов.

Ядро $1 4 π te - x 2 4 t {\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi t}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {4t}}}}$ ${\ frac {1} {{\ sqrt {4 \ pi t}}}} e ^ {{- {\ frac {x ^ {2}} {4t}}}}$ , используемый для обобщенного преобразования Вейерштрасса, иногда называется ядром Гаусса – Вейерштрасса и является функцией Грина для уравнения диффузии $(∂ T - D 2) (et D 2 f (x)) = 0 {\ displaystyle (\ partial _ {t} -D ^ {2}) (e ^ {tD ^ {2}} f (x)) = 0}$ ${\ displaystyle (\ partial _ {t} -D ^ {2}) (e ^ {tD ^ {2}} f (x)) = 0 }$ на R.

Wtможет быть вычислено из W: для данной функции f (x) определите новую функцию f t (x) = f (x √t); тогда W t [f] (x) = W [f t ] (x / √t), следствие правила подстановки .

Преобразование Вейерштрасса может также должны быть определены для определенных классов распределений или «обобщенных функций». Например, преобразование Вейерштрасса дельты Дирака - это гауссово $1 4 π e - x 2/4 {\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} e ^ {- x ^ {2} / 4}}$ ${\ frac {1} {{\ sqrt {4 \ pi}}}} e ^ {{- x ^ {2} / 4}}$ .

В этом контексте могут быть доказаны строгие формулы обращения, например,

f (x) = lim r → ∞ 1 i 4 π ∫ x 0 - irx 0 + ir F (z) e (x - z) 2 4 dz {\ displaystyle f (x) = \ lim _ {r \ to \ infty} {\ frac {1} {i {\ sqrt {4 \ pi}) }}} \ int _ {x_ {0} -ir} ^ {x_ {0} + ir} F (z) e ^ {\ frac {(xz) ^ {2}} {4}} \; dz}

f (x) = \ lim _ {{r \ to \ infty}} {\ frac {1} {i {\ sqrt {4 \ pi}}}} \ int _ {{x_ {0} -ir}} ^ {{x_ {0} + ir}} F (z) e ^ {{{\ frac {(xz) ^ {2}} {4}}}} \; dz

где x 0 - любое фиксированное действительное число, для которого существует F (x 0), интеграл продолжается по вертикальной линии в комплексной плоскости с действительной частью x 0, и предел следует понимать в смысле распределений.

Кроме того, преобразование Вейерштрасса может быть определено для функций (или распределений) с действительными (или комплексными) значениями, определенных на R . Мы используем ту же формулу свертки, что и выше, но интерпретируем интеграл как охватывающий все R, а выражение (x - y) как квадрат евклидовой длины вектора x - у; коэффициент перед интегралом должен быть отрегулирован так, чтобы общий интеграл гауссиана был равен 1.

В общем, преобразование Вейерштрасса можно определить на любом римановом многообразии : Там может быть сформулировано уравнение теплопроводности (с использованием оператора Лапласа – Бельтрами многообразия), а преобразование Вейерштрасса W [f] затем задается путем решения уравнения теплопроводности в течение одной единицы времени, начиная с начального "распределение температуры" f.

Связанные преобразования

Если рассматривать свертку с ядром 1 / (π (1 + x)) вместо гауссовского, можно получить преобразование Пуассона, которое сглаживает и усредняет заданную функцию аналогично преобразованию Вейерштрасса.

См. Также

Ссылки