Обмен отклонений

A Обмен отклонений - это сверхсчетчик производный финансовый инструмент, позволяет спекулировать или хеджировать риски, связанные с величиной движения, т. е. волатильностью, некоторых базовых продукт, например обменный курс, процентная ставка или фондовый индекс.

По одной части свопа будет выплачиваться сумма, основанная на реализованной дисперсии изменения цены базового продукта. Обычно эти изменения цен представляют собой ежедневные log доходности, основанные на наиболее часто используемой цене закрытия. По другой части свопа будет выплачена фиксированная сумма, которая представляет собой страйк страйк, указанный при заключении сделки. Таким образом, чистая выплата контрагентам будет равна разнице между этими двумя и будет рассчитана наличными по истечении срока сделки, хотя некоторые денежные выплаты, вероятно, будут производиться в процессе. одним или другим контрагентом для поддержания согласованной маржи.

• 1 Структура и характеристики
• 2 Ценообразование и оценка
• 3 Использование
• 4 Связанные инструменты
• 5 Ссылки

Особенности обмена дисперсией включают:

• удар по дисперсии
• реализованная дисперсия
• условное значение : как другие свопы, выплата определяется на основе условной суммы, которая никогда не обменивается. Однако в случае свопа дисперсии условная сумма указывается в терминах vega для преобразования выплаты в долларовом выражении.

Выплата при обмене дисперсией определяется следующим образом:

$N\; var\; (\sigma \; реализовано\; 2\; -\; \sigma \; удар\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \_\; \{\backslash \; text\; \{var\}\}\; (\backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; text\; \{реализовано\}\}\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; text\; \{strike\}\}\; ^\; \{2\})\}$

где:

• $N\; var\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \_\; \{\backslash \; text\; \{var\}\}\}$= условная дисперсия (также известная как единицы дисперсии),
• $\sigma \; реализовано\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; text\; \{реализовано\}\}\; ^\; \{2\}\}$= реализованная дисперсия в годовом исчислении, и
• $\sigma \; strike\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; text\; \{strike\}\}\; ^\; \{2\; \}\}$= отклонение.

Годовая реализованная дисперсия рассчитывается на основе заранее заданного набора точек выборки за период. Это не всегда совпадает с классическим статистическим определением дисперсии, поскольку условия контракта не могут вычитать среднее значение. Например, предположим, что имеется n + 1 выборка $S\; 0,\; S\; 1,...,\; S\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \_\; \{\backslash \; text\; \{0\}\},\; S\; \_\; \{\backslash \; text\; \{1\}\},...,\; S\; \_\; \{\backslash \; text\; \{n\}\}.\}$Определите для i = от 1 до n, $р\; я\; знак\; равно\; пер\; \; (S\; я\; /\; S\; я-1),\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{i\}\}\; =\; \backslash \; ln\; (S\; \_\; \{\backslash \; text\; \{i\}\}\; /\; S\; \_\; \{\backslash \; text\; \{i-1\; \}\}),\}$возвращается натуральный логарифм. Тогда

• $\sigma \; реализовано\; 2\; =\; A\; N\; \sum \; я\; =\; 1\; N\; R\; i\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; text\; \{реализовано\}\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{A\}\; \{n\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; \backslash \; text\; \{i\; =\; 1\}\}\; ^\; \{\backslash \; text\; \{n\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; text\; \{i\}\}\; ^\; \{2\}\}$

где $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$- это Коэффициент годовой обработки обычно выбирается приблизительно равным количеству точек отбора проб в году (обычно 252). Можно видеть, что вычитание среднего дохода уменьшит реализованную дисперсию. Если это сделано, обычно в качестве делителя используется $n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n-1\}$, а не $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, соответствующий несмещенной оценке дисперсии выборки.

Согласно рыночной практике количество контрактных единиц определяется следующим образом:

$N\; var\; =\; N\; vol\; 2\; \sigma \; strike\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \_\; \{\backslash \; text\; \{var\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{N\; \_\; \{\backslash \; text\; \{vol\}\}\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; text\; \{strike\}\}\}\}\}$

где $N\; vol\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \_\; \{\backslash \; text\; \{vol\}\}\}$- это соответствующий условный показатель веги для свопа волатильности. Это делает выплату свопа дисперсии сопоставимой с выплатой свопа волатильности, другого менее популярного инструмента, используемого для торговли на волатильности.

Своп отклонений может быть хеджирован и, следовательно, оценен с использованием портфеля европейских опционов колл и пут с весами, обратно пропорциональными квадрат страйка.

Любая улыбка волатильности, которая оценивает обычные опционы, может поэтому использоваться для оценки свопа дисперсии. Например, используя модель Хестона, можно получить решение в закрытой форме для справедливой ставки обмена дисперсии. Следует проявлять осторожность с поведением модели улыбки в кулисах, так как это может иметь непропорционально большое влияние на цену.

Мы можем получить выигрыш от свопа дисперсии, используя лемму Ито. Сначала мы предполагаем, что базовая акция описывается следующим образом:

$d\; S\; t\; S\; t\; =\; \mu \; dt\; +\; \sigma \; d\; Z\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dS\_\; \{t\}\}\; \{S\_\; \{t\}\}\}\; \backslash \; =\; \backslash \; mu\; dt\; +\; \backslash \; sigma\; dZ\_\; \{t\}\}$

Применяя формулу Ито, мы получаем:

$d\; (log\; \; S\; t)\; =\; (\mu \; -\; \sigma \; 2\; 2)\; dt\; +\; \sigma \; d\; Z\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (\backslash \; log\; S\_\; \{t\})\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; mu\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; \backslash \; right)\; dt\; +\; \backslash \; sigma\; dZ\_\; \{t\}\}$

$d\; S\; t\; S\; t\; -\; d\; (\; журнал\; \; S\; t)\; знак\; равно\; \sigma \; 2\; 2\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dS\_\; \{t\}\}\; \{S\_\; \{t\}\}\}\; \backslash \; -d\; (\backslash \; log\; S\_\; \{t\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\; \}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; dt\}$

Взяв интегралы, общая дисперсия составляет:

$Дисперсия\; =\; 1\; T\; \int \; 0\; T\; \sigma \; 2\; dt\; =\; 2\; T\; (\int \; 0\; T\; d\; S\; t\; S\; t\; -\; ln\; \; (STS\; 0))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{Variance\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{T\}\}\; \backslash \; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; dt\; \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 2\}\; \{T\}\}\; \backslash \; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; \{\backslash \; frac\; \{dS\_\; \{t\}\}\; \{S\_\; \{t\}\}\}\; \backslash \; \backslash \; -\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\; S\_\; \{T\}\}\; \{S\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}$

Мы видим, что общая дисперсия состоит из перебалансированного хеджирования $1\; S\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{S\_\; \{t\}\}\}\; \backslash \}$и сократите контракт журнала.. Используя аргумент статической репликации, т. Е. Любой дважды непрерывно дифференцируемый контракт может быть реплицирован с использованием облигации, фьючерса и бесконечного числа пут-коллов, мы можем показать, что позиция контракта в коротком журнале равна короткая позиция фьючерсного контракта и совокупности пут-колл:

$-\; ln\; \; (STS\; \ast )\; =\; -\; ST\; -\; S\; \ast \; S\; \ast \; +\; \int \; K\; \le \; S\; \ast \; (K\; -\; ST)\; +\; d\; KK\; 2\; +\; \int \; K\; \ge \; S\; *\; (ST\; -\; К)\; +\; d\; КК\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; -\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; гидроразрыва\; \{S\_\; \{T\}\}\; \{S\; ^\; \{*\}\}\}\; \backslash \; \backslash \; right)\; =\; -\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{S\_\; \{T\; \}\; -S\; ^\; \{*\}\}\; \{S\; ^\; \{*\}\}\}\; \backslash \; +\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{K\; \backslash \; leq\; S\; ^\; \{*\}\}\; (K-S\_\; \{T\})\; ^\; \{+\}\; \{\backslash \; frac\; \{dK\; \}\; \{K\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; +\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{K\; \backslash \; geq\; S\; ^\; \{*\}\}\; (S\_\; \{T\}\; -K)\; ^\; \{+\}\; \{\backslash \; frac\; \{dK\}\; \{K\; ^\; \{2\}\; \}\}\; \backslash \}$

Взяв ожидания и установив значение свопа дисперсии равным нулю, мы можем изменить формулу для определения страйка справедливого обмена дисперсией:

$K\; var\; =\; 2\; T\; (r\; T\; -\; (S\; 0\; S\; \ast \; er\; T\; -\; 1)\; -\; ln\; \; (S\; \ast \; S\; 0)\; +\; er\; T\; \int \; 0\; S\; \ast \; 1\; K\; 2\; P\; (K)\; d\; K\; +\; er\; T\; \int \; S\; \ast \; \infty \; 1\; K\; 2\; C\; (K)\; d\; K)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; K\_\; \{var\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{T\}\}\; \backslash \; \backslash \; left\; (rT-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{S\_\; \{0\}\}\; \{S\; ^\; \{*\}\})\; \}\; \backslash \; e\; ^\; \{rT\}\; -1\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{S\; ^\; \{*\}\}\; \{S\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; \backslash \; right)\; +\; e\; ^\; \{rT\}\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{0\}\; ^\; \{S\; ^\; \{*\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{K\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; P\; (K)\; dK\; +\; e\; ^\; \{rT\}\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{S\; ^\; \{*\}\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{K\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; C\; (K)\; dK\; \backslash \; right)\}$

Где:. $S\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{0\}\}$- начальная цена базовой ценной бумаги,. $S\; \ast >0\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{*\}>0\}$- произвольное отсечение,. $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; \}$- это отметка каждой опции в наборе используемых опций.

Часто отсечка $S\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{*\}\}$выбирается в качестве текущей форвардной цены $S\; \ast \; =\; F\; 0\; =\; S\; 0\; er\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{*\}\; =\; F\_\; \{0\}\; =\; S\_\; \{0\}\; e\; ^\; \{rT\}\}$, и в этом случае предупреждение о справедливой замене дисперсии можно записать в более простой форме:

$К\; вар\; знак\; равно\; 2\; эр\; ТТ\; (0\; 0\; F\; 0\; 1\; К\; 2\; П\; (К)\; d\; К\; +\; \int \; F\; 0\; \infty \; 1\; К\; 2\; С\; (К)\; d\; К)\; \{\backslash \; Displaystyle\; K\_\; \{вар\}\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{2e\; ^\; \{\; rT\}\}\; \{T\}\}\; \backslash \; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{0\}\; ^\; \{F\_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{K\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; P\; (K)\; dK\; +\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{F\_\; \{0\}\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{K\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; C\; (K)\; dK\; \backslash \; right)\}$

Многие трейдеры находят дисперсию свопы интересны или полезны своей чистотой. Альтернативный способ спекулировать на волатильности - использовать опцион , но если кто-то интересуется только риском волатильности, эта стратегия потребует постоянного дельта-хеджирования, чтобы направить риск базовой ценной бумаги примерно удален. Более того, тиражируемый портфель обмена отклонениями потребует целой полосы опционов, что будет очень затратно для исполнения. Наконец, часто можно обнаружить необходимость регулярно обновлять всю эту полосу опционов, чтобы она оставалась сосредоточенной на текущей цене базовой ценной бумаги.

Преимущество свопов дисперсии заключается в том, что они обеспечивают чистую подверженность волатильности базовой цены, в отличие от опционов колл и пут, которые могут нести направленный риск (дельта). Прибыль и убыток от свопа дисперсии напрямую зависят от разницы между реализованной и подразумеваемой волатильностью.

Другой аспект, который может быть интересен некоторым спекулянтам, заключается в том, что котируемый страйк определяется подразумеваемой волатильностью smile на рынке опционов, тогда как окончательная выплата будет основана на фактической реализованной дисперсии. Исторически подразумеваемая дисперсия была выше реализованной дисперсии, явление, известное как премия за риск дисперсии, создавая возможность для арбитража волатильности, в данном случае известного как торговля скользящей короткой дисперсией. По той же причине эти свопы можно использовать для хеджирования.

Тесно связанные стратегии включают стрэддл, своп волатильности, своп корреляции, своп условной дисперсии, своп дисперсии коридора и корреляционная торговля.