Войти
В философии математика, ультрафинитизм (также известный как ультраинтуиционизм, строгий формализм, строгий финитизм, актуализм, предикативизм и сильный финитизм ) - это форма финитизма. Существуют различные философии математики, которые называются ультрафинитизмом. Основным идентифицирующим свойством, общим для большинства этих философий, является их возражение против совокупности теоретико-числовых функций, таких как возведение в степень над натуральными числами.
Нравится другие финитисты, ультрафинитисты отрицают существование бесконечного множества Nнатуральных чисел.
Кроме того, некоторые ультрафинитисты озабочены принятием в математике объектов, которые никто не может построить на практике из-за физических ограничений при построении больших конечных математических объектов. Таким образом, некоторые ультрафинитисты будут отрицать или воздерживаться от признания существования больших чисел, например, floor первого числа Скьюза, которое является огромным числом, определенным с помощью экспоненциальной функция как exp (exp (exp (79))) или
Причина в том, что никто еще не вычислил, какое натуральное число является этажом этого действительное число, и это может быть даже невозможно сделать физически. Точно так же 
Эдвард Нельсон критиковал классическую концепцию натуральных чисел из-за округлости ее определения. В классической математике натуральные числа определяются как 0, а числа, полученные путем итеративного применения функции-преемника к 0. Но концепция натурального числа уже предполагается для итерации. Другими словами, чтобы получить число типа
Некоторые версии ультрафинитизма являются формами конструктивизма, но большинство конструктивисты считают эту философию невероятно экстремальной. Логическая основа ультрафинитизма неясна; в своем всеобъемлющем обзоре «Конструктивизм в математике» (1988) конструктивный логик А. С. Трельстра отклонил это предложение, заявив, что «в настоящее время не существует удовлетворительного развития». Это было не столько философское возражение, сколько признание того, что в строгой работе по математической логике просто не было ничего достаточно точного, чтобы включить его.
С 1959 года серьезную работу по ультрафинитизму ведет Александр Есенин-Вольпин, который в 1961 году набросал программу для доказательства последовательности Теория множеств Цермело – Френкеля в ультраконечной математике. Другие математики, которые работали в этой теме, включают Дорон Зейлбергер, Эдвард Нельсон, Рохит Дживанлал Парих и Жан Поль Ван Бендегем. Философия также иногда связана с убеждениями Людвига Витгенштейна, Робина Ганди, Петра Вопенка и Дж. Ельмслев.
разработал форму теоретико-множественного ультракинитизма, совместимую с классической математикой. Лавин показал, что основные принципы арифметики, такие как «не существует наибольшего натурального числа», могут быть поддержаны, поскольку Лавин допускает включение «бесконечно больших» чисел.
Другие соображения о возможности избежать громоздких больших чисел могут быть основаны на теории вычислительной сложности, как в работе Андраса Корнаи о явном конечности (которая не отрицает существование большого числа) и х понятие.
Также было значительное формальное развитие версий ультрафинитизма, основанных на теории сложности, таких как теории Сэмюэля Басса ограниченной арифметики, которые охватывают математику, связанную с различные классы сложности, такие как P и PSPACE. Работу Басса можно считать продолжением работы Эдварда Нельсона, поскольку теории ограниченной арифметики, такие как S12, интерпретируются в теории Рафаэля Робинсона Q и, следовательно, являются предикативное в смысле Нельсона. Сила этих теорий в развитии математики изучается в Ограниченная обратная математика, как можно найти в работах Стивена А. Кука и. Однако эти исследования не являются философией математики, а скорее изучением ограниченных форм рассуждений, подобных обратной математике.
