Собственный номер

редактировать

В теории чисел, собственное число, колумбийское число или число Девлали в данном числе с основанием $b {\ displaystyle b}$ $b$ - это натуральное число, которое нельзя записать как сумму любого другого натурального числа. $n {\ displaystyle n}$ $n$ и отдельные цифры $n {\ displaystyle n}$ $n$ . 20 - собственное число (по основанию 10), потому что такая комбинация не может быть найдена (все $n < 15 {\displaystyle n<15}$ ${\ displaystyle n <15}$ дают результат меньше 20; все остальные $n {\ displaystyle n}$ $n$ дают результат больше 20). 21 нет, потому что его можно записать как 15 + 1 + 5, используя n = 15. Эти числа впервые были описаны в 1949 году индийским математиком D. Р. Капрекар.

Содержание

1 Определение и свойства
2 Рекуррентная формула
3 Тесты на самость
- 3.1 Редукционные тесты
- 3.2 Эффективный тест
4 Собственные номера в определенных базисах $b {\ displaystyle b}$ $b$
5 Самостоятельные простые числа
6 Расширение до отрицательных целых чисел
7 Выдержка из таблицы базисов, где 2007 является самим собой
8 Ссылки

Определение и свойства

Пусть $n {\ displaystyle n}$ $n$ будет натуральным числом. Мы определяем функцию $b {\ displaystyle b}$ $b$ -self для базы $b>1 {\ displaystyle b>1}$ $b>1$ $F b: N → N {\ displaystyle F_ {b} : \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$ ${ \ Displaystyle F_ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$ должно быть следующим:

F b (n) = n + ∑ i = 0 k - 1 di. {\ displaystyle F_ { b} (n) = n + \ sum _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i}.}

{ \ displaystyle F_ {b} (n) = n + \ sum _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i}.}

где $k = ⌊ log b ⁡ n ⌋ + 1 {\ displaystyle k = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1}$ ${\ displaystyle k = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1}$ - это количество цифр в числе в базе $b {\ displaystyle b}$ $b$ и <266.>ди = n mod bi + 1 - n mod bibi {\ displaystyle d_ {i} = {\ frac {n {\ bmod {b ^ {i + 1}}}} - n {\ bmod {b}} ^ {i }} {b ^ {i}}}} ${\ displaystyle d_ {i } = {\ frac {n {\ bmod {b ^ {i + 1}}} - n {\ bmod {b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}}$

- значение каждой цифры числа. Натуральное число $n {\ displaystyle n}$ $n$ - это $b {\ displaystyle b}$ $b$ -собственный номер, если прообраз из $n {\ displaystyle n}$ $n$ для $F b {\ displaystyle F_ { b}}$ $F_ {b}$ - это пустой набор.

В общем, для четных оснований все нечетные числа ниже основного числа являются собственными числами, поскольку любое число ниже такого нечетного число также должно быть однозначным числом, которое при добавлении к его цифре даст четное число. Для нечетных оснований все нечетные числа являются собственными числами.

Набор собственных чисел в заданной базе $b {\ displaystyle b}$ $b$ бесконечен и имеет положительное число асимптотическая плотность : когда $b {\ displaystyle b}$ $b$ нечетное, эта плотность равна 1/2.

Рекуррентная формула

Следующая отношение повторения генерирует некоторые базовые 10 собственные числа:

C k = 8 ⋅ 10 k - 1 + C k - 1 + 8 {\ displaystyle C_ {k} = 8 \ cdot 10 ^ {k-1} + C_ {k-1} +8}

C_k = 8 \ cdot 10 ^ {k - 1} + C_ {k - 1} + 8

(с C 1 = 9)

И для двоичных чисел:

C k = 2 j + C k - 1 + 1 {\ displaystyle C_ {k} = 2 ^ {j} + C_ {k-1} +1 \,}

C_k = 2 ^ j + C_ {k - 1 } + 1 \,

(где j обозначает количество цифр), мы можем обобщить рекуррентное соотношение для генерации собственных чисел в любой базе b:

C k = (b - 2) bk - 1 + C k - 1 + (b - 2) {\ displaystyle C_ {k} = (b-2) b ^ {k-1} + C_ {k-1} + (b-2) \,}

C_k = (b - 2) b ^ {k - 1} + C_ {k - 1} + (b - 2) \,

, в котором C 1 = b - 1 для четных оснований и C 1 = b - 2 для нечетных оснований.

Существование этих рекуррентных соотношений показывает, что для любой базы существует бесконечно много собственных чисел.

Тесты самости

Редукционные тесты

Люк Пебоди показал (октябрь 2006 г.), что может быть установлена связь между свойством self большого числа n и частью более низкого порядка. этого числа с поправкой на цифровые суммы:

В общем, n само тогда и только тогда, когда m = R (n) + SOD (R (n)) - SOD (n) само
Где:
R (n) - наименьшие правые цифры числа n, больше 9. D (n)
d (n) - количество цифр в n
SOD (x) - сумма цифр x, функция S 10 (x) сверху.
Если $n = a ⋅ 10 b + c, c < 10 b {\displaystyle n=a\cdot 10^{b}+c,\ c<10^{b}}$ ${\ displaystyle n = a \ cdot 10 ^ {b} + c, \ c <10 ^ {b} }$ , то n является самим собой тогда и только если оба {m 1 и m 2 } отрицательны или self
Где:
m1= c - SOD (a)
m2= SOD (a-1) + 9 · b- (c + 1)
Для простого случая a = 1 c = 0 в предыдущей модели (т.е. $n = 10 b {\ displaystyle n = 10 ^ {b}}$ ${\ displaystyle n = 10 ^ {b}}$ ), то n является самим собой тогда и только тогда, когда (9 · b-1) является самим собой

Эффективный тест

Капрекар продемонстрировал, что:

n является self, если

SOD (| n - DR ∗ (n) - 9 ⋅ i |) ≠ [DR ∗ (n) + 9 ⋅ i] ∀ я ∈ 0… d (n) {\ displaystyle \ mathrm {SOD} (| n- \ mathrm {DR} ^ {*} (n) -9 \ cdot i |) \ neq [\ mathrm {DR} ^ {* } (n) +9 \ cdot i] \ quad \ forall i \ in 0 \ ldots d (n)}

{\ displaystyle \ mathrm {SOD} (| n- \ mathrm {DR} ^ {*} (n) -9 \ cdot i |) \ neq [\ mathrm {DR} ^ {*} (n) +9 \ cdot i] \ quad \ forall i \ in 0 \ ldots d (п)}

Где:

DR ∗ (n) = {DR (n) 2, если DR (n) является четным DR (n) + 9 2, если DR (n) нечетно {\ displaystyle \ mathrm {DR} ^ {*} (n) = {\ begin {cases} {\ frac {\ mathrm {DR} ( n)} {2}}, {\ text {if}} \ mathrm {DR} (n) {\ text {четно}} \\ {\ frac {\ mathrm {DR} (n) +9} { 2}}, {\ text {if}} \ mathrm {DR} (n) {\ text {нечетное}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ mathrm { DR} ^ {*} (n) = {\ begin {cases} {\ frac {\ mathrm {DR} (n)} {2}}, {\ tex t {if}} \ mathrm {DR} (n) {\ text {четно}} \\ {\ frac {\ mathrm {DR} (n) +9} {2}}, {\ text {if} } \ mathrm {DR} (n) {\ text {нечетное}} \ end {cases}}}

DR (n) = {9, если SOD (n) mod 9 = 0 SOD (n) mod 9, в противном случае = 1 + [(n - 1) mod 9] {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {DR} (n) {} = {\ begin { case} 9, {\ text {if}} \ mathrm {SOD} (n) \ mod 9 = 0 \\\ mathrm {SOD} (n) \ mod 9, {\ text {else}} \ end { case}} \\ {} = 1 + [(n-1) \ mod 9] \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {DR} (n) {} = {\ begin {cases} 9, {\ text {if}} \ mathrm {SOD} (n) \ mod 9 = 0 \\\ mathrm {SOD} (n) \ mod 9, {\ text {иначе }} \ end {case}} \\ {} = 1 + [(n-1) \ mod 9] \ end {align}}}

SOD (n) {\ displaystyle \ mathrm {SOD} (n)}

{\ displaystyle \ mathrm {SOD} (n)}

- это сумма всех цифр в n.

d (n) {\ displaystyle d (n)}

d (n)

- количество цифр в n.

Собственные числа в определенных основаниях

б {\ displaystyle b}

b

Для базы 2 собственных номеров см. OEIS : A010061. (записано по основанию 10)

Первые несколько собственных номеров по основанию 10:

1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 108, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 400, 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 490,... (последовательность A003052 в OEIS )

В base 12 собственные номера: ( используя перевернутые два и три для десяти и одиннадцати соответственно)

1, 3, 5, 7, 9, Ɛ, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, ᘔ 8, Ɛ9, 102, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 1 9, 1Ɛᘔ, 20Ɛ, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 2 ᘔᘔ, 2ƐƐ, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 39, 3 ᘔƐ, 400, 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 48 ᘔ, 49, 4Ɛ0, 501, 512, 514, 525, 536, 547, 558, 569, 57 ᘔ, 58Ɛ, 5 ᘔ 0, 5Ɛ1,...

Самостоятельное простановление

A самопричинение me - это собственное число, которое является простым.

Первые несколько простых чисел в базе 10:

3, 5, 7, 31, 53, 97, 211, 233, 277, 367, 389, 457, 479, 547, 569, 613, 659, 727, 839, 883, 929, 1021, 1087, 1109, 1223, 1289, 1447, 1559, 1627, 1693, 1783, 1873,... (последовательность A006378 в OEIS )

Первые несколько простых чисел с основанием 12: (с использованием перевернутых двух и трех для десяти и одиннадцати, соответственно)

3, 5, 7, Ɛ, 31, 75, 255, 277, 2ƐƐ, 3 ᘔƐ, 435, 457, 58Ɛ, 5Ɛ1,...

В октябре 2006 года Люк Пебоди продемонстрировал, что наибольшее известное простое число Мерсенна с основанием 10, которое находится в том же раз номер себя 2-1. Таким образом, это наибольшее известное самопростое простое число с основанием 10 на 2006 год.

Расширение до отрицательных целых чисел

Собственные числа можно расширить до отрицательных целых чисел с помощью цифры со знаком представление для представления каждого целого числа.

Выдержка из таблицы базовых данных, где 2007 является собственным

Следующая таблица была рассчитана в 2007 году.

База	Сертификат	Сумма цифр
40	$1959 = [1, 8, 39] 40 {\ displaystyle 1959 = [1,8,39] _ {40}}$ $1959 = [1, 8, 39] _ {40}$	48
41	—	—
42	$1967 = [1, 4, 35] 42 {\ displaystyle 1967 = [1,4,35] _ {42}}$ $1967 = [1, 4, 35] _ {42}$	40
43	—	—
44	$1971 = [1, 0, 35] 44 {\ displaystyle 1971 = [1,0,35] _ {44}}$ $1971 = [1, 0, 35] _ {44}$	36
44	$1928 = [43, 36] 44 {\ displaystyle 1928 = [43,36] _ {44}}$ $1928 = [43, 36] _ {44}$	79
45	—	—
46	$1926 = [41, 40] 46 {\ displaystyle 1926 = [41, 40] _ {46}}$ $1926 = [41, 40] _ {46}$	81
47	—	—
48	—	—
49	—	—
50	$1959 = [39, 9] 50 {\ displaystyle 1959 = [39,9] _ {50}}$ $1959 = [39, 9] _ {50}$	48
51	—	—
52	$1947 = [37, 23] 52 {\ displaystyle 1947 = [37,23] _ {52}}$ $1947 = [37, 23] _ {52}$	60
53	—	—
54	$1931 = [35, 41] 54 {\ displaystyle 1931 = [35,41] _ {54}}$ $1931 = [35, 41] _ {54}$	76
55	—	—
56	$1966 = [35, 6] 56 {\ displaystyle 1966 = [35,6] _ {56}}$ $1966 = [ 35, 6] _ {56}$	41
57	—	—
58	$1944 = [33, 30] 58 {\ displaystyle 1944 = [33, 30] _ {58}}$ $1944 = [33, 30] _ {58}$	63
59	—	—
60	$1918 = [31, 58] 60 {\ displaystyle 1918 = [31,58] _ {60}}$ $1918 = [31, 58] _ {60}$	89

Ссылки

Капрекар, Д.Р. Математика нового онемения Эрс Деваиали (1963): 19 - 20.
Р. Б. Патель (1991). «Некоторые тесты для k-Self чисел». Математика. Студент. 56 : 206–210.
Б. Рекаман (1974). «Проблема E2408». Амер. Математика. Ежемесячно. 81 (4): 407. doi : 10.2307 / 2319017.
Шандор, Йожеф; Crstici, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II. Дордрехт: Kluwer Academic. С. 32–36. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.
Вайсштейн, Эрик У. «Собственный номер». MathWorld.

Последняя правка сделана 2021-06-07 09:27:44

Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).

Обратная связь: support@alphapedia.ru

Соглашение

О проекте