Войти
В математике, прогулка с самоизбеганием (SAW ) - это последовательность движений по решетке (решетке путь ), который не посещает одну и ту же точку более одного раза. Это частный случай теоретико-графического понятия пути. многоугольник с самоизбеганием (SAP ) - это замкнутая прогулка по решетке с самоизбеганием. С математической точки зрения о самопроизвольной прогулке известно очень мало, хотя физики выдвинули множество гипотез, которые считаются верными и полностью подтверждаются численным моделированием.
В вычислительной физике обход с самопроизвольным обходом - это цепочечный путь в R или R с определенным количеством узлов, обычно фиксированной длины шага и имеет свойство не пересекать себя или другую прогулку. Система SAW удовлетворяет так называемому условию исключенного объема. Считается, что в более высоких измерениях SAW ведет себя очень похоже на обычное случайное блуждание.
SAW, а SAP играют центральную роль в моделировании топологического и теории узлов поведение нитевидных и петлевых молекул, таких как белки. Действительно, ПАВ, возможно, впервые были введены химиком Полом Флори для моделирования реального поведения цепочечных объектов, таких как растворители и полимеры, физический объем которого запрещает многократное заполнение одной и той же точки пространства.
ПАВ - это фракталы. Например, при d = 2 фрактальная размерность равна 4/3, для d = 3 она близка к 5/3, а для d ≥ 4 фрактальная размерность равна 2. Размерность называется верхним критический размер, выше которого исключенный объем незначителен. ПАВ, которая не удовлетворяет условию исключенного объема, недавно была исследована для моделирования явной геометрии поверхности, возникающей в результате расширения ПАВ.
Свойства ПАВ не могут быть рассчитаны аналитически, поэтому численное значение используются симуляции. Это общий метод для моделирования цепи Маркова Монте-Карло для однородной меры на n-шаговых прогулках с самоизбеганием. Алгоритм поворота работает, совершая обход и случайным образом выбирая точку на этом обходе, а затем применяя симметричные преобразования (вращения и отражения) на обходе после n-го шага, чтобы создать новый обход.
Вычисление количества самопроизвольных прогулок в любой заданной решетке - это обычная вычислительная проблема. В настоящее время нет известной формулы, хотя существуют строгие методы приближения.
Для самопроизвольных прогулок от одного конца диагонали к другому, с движениями только в положительном направлении, существует ровно
путей для прямоугольной решетки m × n.
Одним из явлений, связанных с самопроизвольными прогулками и моделями статистической физики в целом, является понятие универсальности, то есть независимости макроскопических наблюдаемых от микроскопических деталей, таких как выбор решетки. Одна важная величина, которая появляется в гипотезах универсальных законов, - это константа связи, определяемая следующим образом. Пусть c n обозначает количество n-шаговых блужданий с самоуправлением. Поскольку каждый (n + m) -шаговый обход с самоперебеганием может быть разложен на n-шаговый обход с самопроизвольным обходом и m-шаговый обход без самопереключения, отсюда следует, что c n + m ≤ c ncm. Следовательно, последовательность {log c n } является субаддитивом, и мы можем применить лемму Фекете, чтобы показать, что существует следующий предел:
μ называется константой связки, поскольку c n зависит от конкретной решетки, выбранной для прогулки, так же как и μ. Точное значение μ известно только для гексагональной решетки, где оно равно:
Для других решеток μ было вычислено только численно и, как полагают, даже не является алгебраическим числом. Предполагается, что
при n → ∞, где μ зависит от решетки, но коррекция степенного закона 
Самопроизвольные прогулки также изучались в контексте теории сетей. В этом контексте принято рассматривать SAW как динамический процесс, так что на каждом временном шаге ходунок случайным образом переключается между соседними узлами сети. Обход заканчивается, когда обходчик достигает тупикового состояния, так что он больше не может переходить к новым непосещенным узлам. Недавно было обнаружено, что в сетях Эрдеша – Реньи распределение длин путей таких динамически выращиваемых ПАВ может быть вычислено аналитически и соответствует распределению Гомперца.
Рассмотрим единообразную меру на n-шаговых прогулках с самоизбеганием по полной плоскости. В настоящее время неизвестно, индуцирует ли предел равномерной меры при n → ∞ меру на бесконечных блужданиях по всей плоскости. Однако Гарри Кестен показал, что такая мера существует для самопроизвольных прогулок в полуплоскости. Одним из важных вопросов, связанных с самопроизвольными блужданиями, является существование и конформная инвариантность предела масштабирования, то есть предела, когда длина блуждания стремится к бесконечности, а сетка решетки стремится к нулю. Предполагается, что предел масштабирования самопроизвольного обхода описывается эволюцией Шрамма – Лёвнера с параметром κ = 8/3.
