График повторения

В описательной статистике и теории хаоса график повторения (RP) представляет собой график, показывающий для каждого момента времени i моменты времени, в которые траектория фазового пространства посещает примерно ту же область в фазовом пространстве, что и в момент времени j. Другими словами, это график

$x\; \to \; (i)\; \approx \; x\; \to \; (j),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; (i)\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; (j),\; \}$

показывает $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$по горизонтальной оси и $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$по вертикальной оси, где $x\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\}$- траектория в фазовом пространстве.

• 1 Предпосылки
• 2 Подробное описание
• 3 Расширения
• 4 Пример
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Естественные процессы могут иметь отчетливое повторяющееся поведение, например периодичности (как сезонные или циклы Миланковича ), но также и нерегулярные цикличности (как Эль-Ниньо Южное колебание). Более того, повторяемость состояний в том смысле, что состояния снова произвольно близки через некоторое время дивергенции, является фундаментальным свойством детерминированных динамических систем и типичен для нелинейных или хаотических систем (см. теорему о возвращении Пуанкаре ). Повторяемость состояний в природе была известна давно и также обсуждалась в ранних работах (например, Анри Пуанкаре 1890).

Eckmann et al. (1987) представили графики повторения, которые позволяют визуализировать периодический характер траектории через фазовое пространство . Часто фазовое пространство не имеет достаточно низкого измерения (два или три), чтобы его можно было изобразить, поскольку фазовые пространства более высоких измерений можно визуализировать только путем проецирования в двух- или трехмерные подпространства. Однако создание рекуррентного графика позволяет нам исследовать определенные аспекты траектории m-мерного фазового пространства через двумерное представление.

A повторение - время, когда траектория возвращается в место, которое она посещала ранее. График повторения изображает набор пар моментов времени, в которые траектория находится в одном и том же месте, т.е. набор $(i,\; j)\; \{\backslash \; displaystyle\; (i,\; j)\}$с $Икс\; \to \; (я)\; =\; Икс\; \to \; (J)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; (я)\; =\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; (j)\}$. Это может многое показать: например, если траектория строго периодична с периодом $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$, то все такие пары времен будут разделены кратным $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$и отображается в виде диагональных линий. Для построения графика непрерывное время и непрерывное фазовое пространство дискретизируются, например, $x\; \to \; (i)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; (i)\}$как местоположение траектории в момент времени $i\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; tau\}$и считая повторение каждый раз, когда траектория приближается (скажем, в пределах ε) к точке, в которой она была ранее. Конкретно, повторение / неповторение может быть записано двоичной функцией

$R\; (i,\; j)\; =\; \{1,\; если\; \Vert \; x\; \to \; (i)\; -\; x\; \to \; (j)\; \Vert \; \le \; \epsilon \; 0\; в\; противном\; случае,\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (i,\; j)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; 1\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; |\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; (i)\; -\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; (j)\; \backslash \; |\; \backslash \; leq\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; text\; \{else\}\},\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

и график повторения помещает (черную) точку в координаты $(i,\; j)\; \{\backslash \; displaystyle\; (i,\; j)\; \}$если $R\; (i,\; j)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (i,\; j)\; =\; 1\}$.

Вызванный характерным поведением траектории фазового пространства, график повторения содержит типичные малые -масштабные структуры, такие как отдельные точки, диагональные линии и вертикальные / горизонтальные линии (или их смесь, которая объединяется в расширенные кластеры). Крупномасштабную структуру, также называемую текстурой, можно визуально охарактеризовать как однородную, периодическую, дрейфовую или прерывистую. Внешний вид RP дает представление о динамике системы.

Типичные примеры графиков повторяемости (верхний ряд: временной ряд (график во времени); нижний ряд: соответствующие графики повторения). Слева направо: некоррелированные стохастические данные (белый шум ), гармонические колебания с двумя частотами, хаотические данные с линейным трендом (логистическая карта ) и данные из авторегрессивный процесс.

Мелкомасштабные структуры в RP используются в количественном анализе повторяемости (Zbilut Webber 1992; Marwan et al. 2002). Эта количественная оценка позволяет количественно описать RP и изучить переходы или нелинейные параметры системы. В отличие от эвристического подхода рекуррентного количественного анализа, который зависит от выбора параметров внедрения, таких как корреляционное измерение или взаимная информация, которые не зависят от встраивания, также могут быть получены из графиков повторяемости. Базой для этих динамических инвариантов являются частота повторения и распределение длин диагональных линий.

Графики близкой доходности аналогичны графикам повторения. Разница в том, что для оси $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$используется относительное время между повторениями (вместо абсолютного времени).

Основное преимущество графиков повторения заключается в том, что они предоставляют полезную информацию даже для коротких и нестационарных данных, когда другие методы не работают.

Многовариантные расширения графиков повторяемости были разработаны как графики перекрестного повторения и графики совместного повторения .

Графики перекрестного повторения учитывают траектории двух фаз в фазовом пространстве. разные системы в одном фазовом пространстве (Marwan Kurths 2002):

$CR\; (i,\; j)\; =\; \Theta \; (\epsilon \; -\; \Vert \; x\; \to \; (i)\; -\; y\; \to \; (j)\; \Vert ),\; x\; \to \; (i),\; y\; \to \; (i)\; \in \; R\; m,\; i\; =\; 1,\dots ,\; N\; x,\; j\; =\; 1,\dots ,\; N\; y.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{CR\}\; (я,\; j)\; =\; \backslash \; Theta\; (\backslash \; varepsilon\; -\; \backslash \; |\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; (i)\; -\; \{\backslash \; vec\; \{y\}\}\; (j)\; \backslash \; |),\; \backslash \; quad\; \{\; \backslash \; vec\; \{x\}\}\; (i),\; \backslash ,\; \{\backslash \; vec\; \{y\}\}\; (i)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{m\},\; \backslash \; quad\; i\; =\; 1,\; \backslash \; dots,\; N\_\; \{x\},\; \backslash \; j\; =\; 1,\; \backslash \; dots,\; N\_\; \{y\}.\}$

Размерность обеих систем должна быть одинаковой, но количество рассматриваемых состояний (т.е. длина данных) может быть разным. Графики перекрестной повторяемости сравнивают возникновение подобных состояний двух систем. Их можно использовать для анализа сходства динамической эволюции между двумя разными системами, для поиска схожих шаблонов соответствия в двух системах или для изучения временного отношения двух подобных систем, чья шкала времени различается (Marwan Kurths 2005).

Совместные графики повторяемости - это произведение Адамара графиков повторяемости рассматриваемых подсистем (Romano et al. 2004), например для двух систем $x\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\}$и $y\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{y\}\}\}$соединение график повторения:

$JR\; (i,\; j)\; =\; \Theta \; (\epsilon \; x\; -\; \Vert \; x\; \to \; (i)\; -\; x\; \to \; (j)\; \Vert )\; \cdot \; \Theta \; (\epsilon \; y\; -\; \Vert \; y\; \to \; (i)\; -\; y\; \to \; (j))\; \Vert ),\; X\; \to \; (i)\; \in \; R\; m,\; y\; \to \; (i)\; \in \; R\; n,\; i,\; j\; =\; 1,\dots ,\; N\; x,\; y.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{JR\}\; (я,\; J)\; =\; \backslash \; Theta\; (\backslash \; varepsilon\; \_\; \{x\}\; -\; \backslash \; |\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; (я)\; -\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; (j)\; \backslash \; |)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; Theta\; (\backslash \; varepsilon\; \_\; \{y\}\; -\; \backslash \; |\; \{\backslash \; vec\; \{y\}\}\; (i)\; -\; \{\backslash \; vec\; \{y\}\}\; (j)\; \backslash \; |),\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; (i)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{m\},\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; vec\; \{y\}\}\; (i)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\},\; \backslash \; quad\; i,\; j\; =\; 1,\; \backslash \; dots,\; N\_\; \{\; x,\; y\}.\}$

В отличие от графиков перекрестного повторения, совместные графики повторения сравнивают одновременное возникновение повторений в двух (или более) системах. Причем размерность рассматриваемых фазовых пространств может быть разной, но количество рассматриваемых состояний должно быть одинаковым для всех подсистем. Совместные графики повторяемости могут использоваться для обнаружения фазовой синхронизации.

График повторяемости индекса Южного колебания.

• График Пуанкаре
• Повторяемость энтропия плотности периода, теоретико-информационный метод обобщения свойств повторяемости как детерминированных, так и стохастических динамических систем.
• Количественный анализ повторяемости, эвристический подход для количественной оценки графиков повторяемости.
• Матрица самоподобия
• Точечная диаграмма (биоинформатика)

• J. П. Экманн, С. О. Камфорст, Д. Ruelle (1987). «Графики повторяемости динамических систем». Письма Еврофизики. 5 (9): 973–977. Bibcode : 1987EL...... 4..973E. doi : 10.1209 / 0295-5075 / 4/9/004. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
• Н. Марван; MC Романо; М. Тиль; Дж. Куртс (2007). «Графики повторяемости для анализа сложных систем». Physics Reports. 438 (5–6): 237. Bibcode : 2007PhR... 438..237M. doi : 10.1016 / j.physrep.2006.11.001.
• Н. Марван (2008). "A исторический обзор графиков повторяемости ». European Physical Journal ST. 164 (1): 3–12. arXiv : 1709.09971. Bibcode : 2008EPJST.164.... 3M. doi : 10.1140 / epjst / e2008-00829-1.

• http: / /www.recurrence-plot.tk/
• http://www.scitopics.com/Recurrence_plot.html