Количественный анализ повторяемости

Количественный анализ повторяемости (RQA ) - это метод нелинейного анализ данных (см. теория хаоса ) для исследования динамических систем. Он определяет количество и продолжительность повторений динамической системы, представленной ее траекторией фазового пространства.

• 1 Предпосылки
• 2 Измерения RQA
• 3 Зависящие от времени RQA
• 4 Пример
• 5 Приложения
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Количественный анализ повторяемости (RQA) был разработан для того, чтобы количественно оценить по-разному появляющиеся графики повторяемости (RP) на основе имеющихся в них мелкомасштабных структур. Графики повторения - это инструменты, которые визуализируют повторяющееся поведение фазового пространства траектории $x\; \to \; (i)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; (i)\}$из динамических систем :

$R\; (i,\; j)\; =\; \Theta \; (\epsilon \; -\; \Vert \; x\; \to \; (i)\; -\; x\; \to \; (j)\; \Vert )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; (i,\; j)\; =\; \backslash \; Theta\; (\backslash \; varepsilon\; -\; \backslash \; |\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; (i)\; -\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; (j)\; \backslash \; |)\}$,

где $\Theta :\; R\; \to \; (0,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Theta:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; rightarrow\; (0,1)\}$и $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$на заранее определенное расстояние.

Графики повторяемости обычно содержат отдельные точки и линии, параллельные средней диагонали (линия идентичности, LOI) или вертикальные / горизонтальные. Линии, параллельные LOI, называются диагональными линиями, а вертикальные структуры - вертикальными линиями. Поскольку RP обычно симметрична, горизонтальные и вертикальные линии соответствуют друг другу, и, следовательно, рассматриваются только вертикальные линии. Линии соответствуют типичному поведению траектории фазового пространства: в то время как диагональные линии представляют такие сегменты траектории фазового пространства, которые проходят параллельно в течение некоторого времени, вертикальные линии представляют сегменты, которые остаются в том же фазовом пространстве регион на некоторое время.

Если доступен только временной ряд, фазовое пространство может быть восстановлено с помощью внедрения временной задержки (см. теорему Такенса ):

$x\; \to \; (я)\; знак\; равно\; (U\; (я),\; U\; (я\; +\; \tau ),\dots ,\; U\; (я\; +\; \tau \; (м\; -\; 1)),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; (я)\; =\; (и\; (я),\; u\; (i\; +\; \backslash \; tau),\; \backslash \; ldots,\; u\; (i\; +\; \backslash \; tau\; (m-1)),\}$

где $u\; (i)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (i)\}$- временной ряд, $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$размер встраивания и $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$временная задержка.

RQA количественно определяет мелкомасштабные структуры графиков повторяемости, которые представляют количество и продолжительность повторений динамической системы. Меры, введенные для RQA, были разработаны эвристически между 1992 и 2002 годами (Zbilut Webber 1992; Webber Zbilut 1994; Marwan et al. 2002). На самом деле это меры сложности. Основное преимущество количественного анализа повторяемости состоит в том, что он может предоставить полезную информацию даже для коротких и нестационарных данных, где другие методы не работают.

RQA может применяться практически к любому типу данных. Он широко используется в физиологии, но также успешно применялся в задачах из инженерии, химии, наук о Земле и т. Д.

Простейшим измерением является частота повторения, которая представляет собой плотность точек повторения на графике повторения:

$RR\; =\; 1\; N\; 2\; \sum \; i,\; j\; =\; 1\; NR\; (i,\; j).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{RR\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; (i,\; j).\; \}$

Частота повторения соответствует вероятности повторения определенного состояния. Это почти равно определению корреляционной суммы , где LOI исключается из вычисления.

Следующая мера - это процент точек повторения, которые образуют диагональные линии на графике повторения минимальной длины $\ell \; min\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; \_\; \{\backslash \; min\}\}$:

$DET\; =\; \sum \; \ell \; =\; \ell \; мин\; N\; \ell \; п\; (\ell )\; \sum \; \ell \; знак\; равно\; 1\; N\; \ell \; п\; (\ell ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{DET\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; ell\; =\; \backslash \; ell\; \_\; \{\backslash \; min\}\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; ell\; \backslash ,\; P\; (\backslash \; ell)\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; ell\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; ell\; P\; (\backslash \; ell)\}\},\}$

где $P\; (\ell )\; \{\; \backslash \; displaystyle\; P\; (\backslash \; ell)\}$- это частотное распределение длин $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$диагональных линий (т. е. он подсчитывает, сколько экземпляров имеют длину $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$). Эта мера называется детерминизмом и связана с предсказуемостью динамической системы, потому что белый шум имеет график повторения с почти только одиночные точки и очень мало диагональных линий, тогда как a имеет график повторения с очень небольшим количеством одиночных точек, но с большим количеством длинных диагональных линий.

Количество точек повторения, которые образуют вертикальные линии, можно количественно оценить таким же образом:

$LAM\; =\; \sum \; v\; =\; v\; min\; N\; v\; P\; (v)\; \sum \; v\; =\; 1\; N\; v\; P\; (v),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{LAM\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{v\; =\; v\; \_\; \{\backslash \; min\}\}\; ^\; \{N\}\; vP\; (v)\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{v\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; vP\; (v)\}\},\}$

где $P\; (v)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (v)\}$- частотное распределение длин $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$вертикальных линий, длина которых не менее $v\; min\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \_\; \{\backslash \; min\}\}$. Эта мера называется ламинарностью и связана с количеством ламинарных фаз в системе (перемежаемость ).

Также можно измерить длины диагональных и вертикальных линий. усредненная длина диагональной линии

$L\; =\; \sum \; \ell \; =\; \ell \; min\; N\; \ell \; P\; (\ell )\; \sum \; \ell \; =\; \ell \; min\; NP\; (\ell )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{L\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; ell\; =\; \backslash \; ell\; \_\; \{\backslash \; min\}\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; ell\; \backslash ,\; P\; (\backslash \; ell)\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; ell\; =\; \backslash \; ell\; \_\; \{\backslash \; min\}\}\; ^\; \{N\}\; P\; (\backslash \; ell)\}\}\}$

связано со временем предсказуемости динамической системы и временем захвата, измеряя среднюю длину вертикальных линий,

$TT\; =\; \sum \; v\; =\; v\; min\; N\; v\; П\; (v)\; \sum \; v\; знак\; равно\; v\; мин\; NP\; (v)\; \{\backslash \; displaystyle\; TT\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{v\; =\; v\; \_\; \{\backslash \; min\}\}\; ^\; \{N\}\; vP\; (v)\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{v\; =\; v\; \_\; \{\backslash \; min\}\}\; ^\; \{N\}\; P\; (v)\}\}\}$

связано со временем ламинарности динамической системы, т.е. как долго система остается в определенном состоянии.

Поскольку длина диагональных линий зависит от того, как долго сегменты траектории фазового пространства проходят параллельно, то есть от поведения траекторий расходимости, иногда заявлялось, что , обратная максимальной длины диагональных линий (без LOI), будет оценкой для положительного максимального показателя Ляпунова динамической системы. Следовательно, максимальная длина диагональной линии $L\; max\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{\backslash \; max\}\}$или расхождение

$DIV\; =\; 1\; L\; max\; \{\backslash \; displaystyle\; DIV\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{L\; \_\; \{\backslash \; max\}\}\}\}$

также являются показателями RQA. Однако связь между этими мерами с положительным максимальным показателем Ляпунова не так проста, как указано, но даже более сложно (для вычисления показателя Ляпунова из RP необходимо учитывать все частотное распределение диагональных линий). Дивергенция может иметь тенденцию к положительному максимальному показателю Ляпунова, но не более. Более того, RP процессов белого шума могут иметь действительно длинную диагональную линию, хотя и очень редко, просто по конечной вероятности. Следовательно, дивергенция не может отражать максимальный показатель Ляпунова.

вероятность $p\; (\ell )\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (\backslash \; ell)\}$того, что диагональная линия имеет точно длину $\ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\}$можно оценить по распределению частот $P\; (\ell )\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\backslash \; ell)\}$с $p\; (\ell )\; =\; P\; (\ell )\; \sum \; \ell \; знак\; равно\; l\; мин\; NP\; (\ell )\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (\backslash \; ell)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{P\; (\backslash \; ell)\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; ell\; =\; l\; \_\; \{\backslash \; min\}\}\; ^\; \{N\}\; P\; (\backslash \; ell)\}\}\}$. энтропия Шеннона этой вероятности,

$ENTR\; =\; -\; \sum \; \ell \; =\; \ell \; min\; N\; p\; (\ell )\; ln\; \; p\; (\ell ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{ENTR\}\}\; =\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; ell\; =\; \backslash \; ell\; \_\; \{\backslash \; min\}\}\; ^\; \{N\}\; p\; (\backslash \; ell)\; \backslash \; ln\; p\; (\backslash \; ell),\}$

отражает сложность детерминированной структуры в системе. Однако эта энтропия сильно зависит от номера бункера и, таким образом, может отличаться для разных реализаций одного и того же процесса, а также для разных приготовлений данных.

Последний показатель RQA количественно определяет прореживание графика повторяемости. Тренд - это коэффициент регрессии линейной зависимости между плотностью точек повторения на линии, параллельной LOI, и ее расстоянием до LOI. Точнее, рассмотрим частоту повторения по диагональной линии, параллельной LOI, на расстоянии k (частота повторения по диагонали):

$RR\; k\; =\; 1\; N\; -\; k\; \sum \; j\; -\; i\; =\; k\; N\; -\; k\; R\; (i,\; j),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{RR\}\}\; \_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{Nk\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{ji\; =\; k\}\; ^\; \{Nk\}\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; (i,\; j),\}$

тогда тренд определяется как

$TREND\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; ~\; (i\; -\; N\; ~\; /\; 2)\; (RR\; i\; -\; ⟨RR\; i⟩)\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; ~\; (i\; -\; N\; ~\; /\; 2)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{TREND\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; tilde\; \{N\}\}\; (i\; -\; \{\backslash \; tilde\; \{N\}\}\; /\; 2)\; (RR\_\; \{\; i\}\; -\; \backslash \; langle\; RR\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle)\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; tilde\; \{N\}\}\; (i\; -\; \{\backslash \; tilde\; \{N\}\}\; /\; 2)\; ^\; \{2\}\}\},\; \}$

с $⟨\cdot ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; cdot\; \backslash \; rangle\}$в качестве среднего значения и . Это последнее соотношение должно гарантировать избежание краевых эффектов слишком низкой плотности точек повторения на краях графика повторения. Тренд измерения предоставляет информацию о стационарности системы.

Подобно определенной по диагонали частоте повторения, другие меры, основанные на диагональных линиях (DET, L, ENTR), могут быть определены по диагонали. Эти определения полезны для изучения взаимосвязей или синхронизации между различными системами (с использованием графиков повторения или графиков перекрестного повторения ).

Вместо того, чтобы вычислять показатели RQA для всего графика повторяемости, их можно вычислять в небольших окнах, перемещаясь по графику повторения вдоль LOI. Это обеспечивает зависящие от времени измерения RQA, которые позволяют обнаруживать, например, переходы хаос-хаос (Marwan et al. 2002). Примечание: выбор размера окна может сильно повлиять на тенденцию измерения.

Бифуркационная диаграмма для логистической карты. Измерения RQA логистической карты для различных настроек параметра управления a. Меры RR и DET имеют максимумы при переходах хаос-порядок / порядок-хаос. Мера DIV имеет ту же тенденцию, что и максимальный показатель Ляпунова (но это не то же самое!). Показатель LAM имеет максимумы при переходах от хаоса к хаосу (ламинарные фазы, прерывистость ).

Количественный анализ повторяемости был использован для выявления характеристик бизнес-циклов . и экономическое развитие. С этой целью Орландо и др. Разработали так называемый индекс количественной корреляции повторяемости для проверки корреляций RQA на выборочном сигнале, а затем исследовали его применение к временным рядам бизнеса. Было доказано, что указанный индекс обнаруживает скрытые изменения во временных рядах. Кроме того, Орландо и др. на обширном наборе данных показали, что количественный анализ повторяемости может помочь в прогнозировании переходов от ламинарных (т.е. регулярных) к турбулентным (т.е. хаотическим) фазам, таким как ВВП США в 1949, 1953 и т. Д. И последнее, но не менее важное: количественный анализ повторяемости может обнаруживать различия между макроэкономическими переменными и выделять скрытые особенности экономической динамики.

• Re график повторяемости, мощный инструмент визуализации повторений в динамических (и других) системах.
• энтропия плотности периода повторяемости, теоретико-информационный метод обобщения свойств повторяемости как детерминированных, так и стохастических динамических систем.
• Приблизительная энтропия

• Марван, Н. (2008). «Исторический обзор графиков повторяемости». Европейский физический журнал ST. 164 (1): 3–12. arXiv : 1709.09971. Bibcode : 2008EPJST.164.... 3M. doi : 10.1140 / epjst / e2008-00829-1.
• Марван, Н., Романо, М.С., Тиль, М., Куртс, Дж. (2007). «Графики повторяемости для анализа сложных систем». Отчеты по физике. 438 (5–6): 237–329. Bibcode : 2007PhR... 438..237M. doi : 10.1016 / j.physrep.2006.11.001. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
• Марван, Н., Вессель, Н., Мейерфельдт, У., Ширдеван, А., Куртс, Дж. (2002). «Измерения сложности на основе графика повторяемости и их применение к данным вариабельности сердечного ритма». Physical Review E. 66 ( 2): 026702. arXiv : Physics / 0201064. Bibcode : 2002PhRvE..66b6702M. doi : 10.1103 / PhysRevE.66.026702. PMID 12241313. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
• Marwan, N., Куртс, Дж. (2002). «Нелинейный анализ двумерных данных с графиками перекрестной повторяемости». Physics Letters A. 302 (5–6): 299–307. arXiv : Physics / 0201061. Bibcode : 2002PhLA..302..299M. doi : 10.1016 / S0375-9601 (02) 01170-2. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
• Webber Jr., CL, Zbilut, JP (1994). «Динамическая оценка физиологических систем и d состояния, использующие стратегии сюжета повторения ". Журнал прикладной физиологии. 76 (2): 965–973. doi : 10.1152 / jappl.1994.76.2.965. PMID 8175612. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
• Zbilut, JP, Webber Jr., CL (1992). "Вложения и задержки, полученные на основе количественной оценки графиков повторяемости ". Physics Letters A. 171 (3–4): 199–203. Bibcode : 1992PhLA..171..199Z. doi : 10.1016 / 0375-9601 (92) 90426-M. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
• Pratyasa Bhui ; Ниланджан Сенрой (2016). «Применение количественного анализа повторяемости к динамическим исследованиям энергосистем». IEEE Transactions on Power Systems. 31 (1): 581–591. Bibcode : 2016ITPSy..31..581B. doi : 10.1109 / TPWRS.2015.2407894.Документ № TPWRS-01211-2014
• Жиро, Ж.-М. (2015). «Повторяемость и симметрия временных рядов: применение к обнаружению перехода» (PDF). Хаос-Solition-Fractals. 77 : 11–28. Bibcode : 2015CSF.... 77... 11G. doi : 10.1016 / j.chaos.2015.04.010.

• http://www.recurrence-plot.tk/
• http://www.scitopics.com/Recurrence_Quantification_Analysis.html