Измерение корреляции

В теории хаоса корреляционное измерение (обозначается ν) является мерой размерности пространства, занятого набором случайных точек, часто называемых типом фрактальной размерности.

Например, если у нас есть набор случайных точек на линии вещественных чисел между 0 и 1, размерность корреляции будет ν = 1, в то время как, если они распределены, скажем, в треугольнике, встроенном в трехмерное пространство (или m-мерное пространство), размерность корреляции будет ν = 2. Это то, что мы интуитивно ожидаем от мера измерения. Настоящая полезность корреляционной размерности заключается в определении (возможно, дробных) размерностей фрактальных объектов. Существуют и другие методы измерения размера (например, измерение Хаусдорфа, измерение подсчета ящиков и измерение информации ), но измерение корреляции имеет преимущество быть простым и быстрым вычислением, менее шумным, когда доступно только небольшое количество точек, и часто согласуется с другими расчетами размеров.

Для любого набора из N точек в m-мерном пространстве

$x\; \to \; (i)\; =\; [x\; 1\; (i),\; x\; 2\; (i),\dots ,\; xm\; (i)],\; i\; =\; 1,\; 2,\dots \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{x\}\}\; (i)\; =\; [x\_\; \{1\}\; (i),\; x\_\; \{2\}\; (i),\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{m\}\; (i)],\; \backslash \; qquad\; i\; =\; 1,2,\; \backslash \; ldots\; N\}$

, тогда интеграл корреляции C (ε) вычисляется по формуле:

$C\; (\epsilon )\; =\; lim\; N\; \to \; \infty \; g\; N\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; (\backslash \; varepsilon)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{N\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{g\}\; \{N\; ^\; \{2\}\}\}\}$

где g - общее количество пар точек, между которыми есть расстояние что меньше расстояния ε (графическое представление таких близких пар - это график повторения ). Поскольку количество точек стремится к бесконечности, а расстояние между ними стремится к нулю, корреляционный интеграл для малых значений ε будет иметь вид:

$C\; (\epsilon )\; \sim \; \epsilon \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; C\; (\backslash \; varepsilon)\; \backslash \; sim\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{\backslash \; nu\}\}$

Если количество точек достаточно велико и равномерно распределено, логарифмический график корреляционного интеграла в зависимости от ε даст оценку ν. Эту идею можно качественно понять, осознав, что для объектов более высоких измерений будет больше способов для точек быть близкими друг к другу, и поэтому количество пар, близких друг к другу, будет расти быстрее для более высоких измерений.

Грассбергер и Прокачча представили эту технику в 1983 году; в статье приводятся результаты таких оценок для ряда фрактальных объектов, а также сравниваются значения с другими мерами фрактальной размерности. Этот метод можно использовать для различения (детерминированного) хаотического и действительно случайного поведения, хотя он может оказаться неэффективным для обнаружения детерминированного поведения, если детерминированный механизм генерации очень сложен.

В качестве примера, в "Sun в статье «Время» этот метод использовался, чтобы показать, что количество солнечных пятен на солнце с учетом известных циклов, таких как суточный и 11-летний циклы, очень велико. скорее всего, не случайный шум, а скорее хаотический шум с фрактальным аттрактором малой размерности.

См. Также

• Теорема Такенса
• Интеграл корреляции
• Количественный анализ повторяемости
• Приблизительная энтропия

Примечания

1. ^ Питер Грассбергер и Итамар Прокачча (1983). «Измерение странности странных аттракторов». Physica D: нелинейные явления. 9 (12): 189‒208. Bibcode : 1983PhyD.... 9..189G. doi : 10.1016 / 0167-2789 (83) 90298-1.
2. ^Питер Грассбергер и Итамар Прокачча (1983). «Характеристика странных аттракторов». Письма с физическим обзором. 50 (5): 346–349. Bibcode : 1983PhRvL..50..346G. doi : 10.1103 / PhysRevLett.50.346.
3. ^Питер Грассбергер (1983). «Обобщенные размеры странных аттракторов». Physics Letters A. 97 (6): 227–230. Bibcode : 1983PhLA... 97..227G. doi : 10.1016 / 0375-9601 (83) 90753-3.
4. ^Декостер, Грегори П.; Митчелл, Дуглас В. (1991). «Эффективность метода измерения корреляции в обнаружении детерминизма в малых выборках». Журнал статистических вычислений и моделирования. 39 (4): 221–229. doi : 10.1080 / 00949659108811357.
5. ^Сонетт, К., Джампапа, М., и Мэтьюз, М. (ред.) (1992). Солнце во времени. University of Arizona Press. ISBN 0-8165-1297-3. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка ) CS1 maint: дополнительный текст: список авторов ( ссылка )