Сопряжение

Эта статья посвящена концепции математики. Для использования в других целях, см пара (значения).

В математике, А спаривание представляет собой R - билинейное отображение из декартово произведения два R - модулей, где основное кольцо R является коммутативным.

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 Пары в криптографии
• 4 Несколько разные способы использования понятия спаривания
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Пусть R - коммутативное кольцо с единицей, и пусть M, N и L - R -модули.

Спаривание любая R -bilinear карту. То есть удовлетворяет ${\ displaystyle e: M \ times N \ to L}$

${\ Displaystyle е (г \ CDOT м, п) = е (м, г \ CDOT п) = г \ CDOT е (м, п)}$,

${\ Displaystyle е (m_ {1} + m_ {2}, n) = e (m_ {1}, n) + e (m_ {2}, n)}$ и ${\ Displaystyle е (т, п_ {1} + п_ {2}) = е (т, п_ {1}) + е (т, п_ {2})}$

для любого и любого и любого. Эквивалентно спаривание - это R -линейное отображение ${\ displaystyle r \ in R}$${\ displaystyle m, m_ {1}, m_ {2} \ in M}$${\ displaystyle n, n_ {1}, n_ {2} \ in N}$

${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N \ to L}$

где обозначает тензорное произведение из M и N. ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$

Сопряжение также можно рассматривать как R- линейную карту, которая соответствует первому определению по настройке. ${\ displaystyle \ Phi: M \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (N, L)}$${\ Displaystyle \ Фи (т) (п): = е (т, п)}$

Спаривание называется совершенным, если указанное выше отображение является изоморфизмом R -модулей. ${\ displaystyle \ Phi}$

Спаривание называется невырожденным справа, если для приведенного выше отображения это для всех подразумевает ; аналогично, называется невырожденным слева, если для всех следует. ${\ Displaystyle е (м, п) = 0}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n = 0}$${\ displaystyle e}$${\ Displaystyle е (м, п) = 0}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m = 0}$

Спаривание называется альтернированным, если и для всех m. В частности, это подразумевает, а билинейность показывает. Таким образом, для чередующегося спаривания. ${\ Displaystyle N = M}$${\ Displaystyle е (м, м) = 0}$${\ Displaystyle е (т + п, т + п) = 0}$${\ Displaystyle е (т + п, т + п) = е (т, т) + е (т, п) + е (п, т) + е (п, п) = е (т, п) + е (п, м)}$${\ Displaystyle е (м, п) = - е (п, м)}$

Любое скалярное произведение на вещественном векторном пространстве V является спариванием (установите M = N = V, R = R в приведенных выше определениях).

Детерминантное отображение (2 × 2 матрицы над k ) → k можно рассматривать как спаривание. ${\ Displaystyle к ^ {2} \ раз к ^ {2} \ к к}$

Карта Хопфа, записанная в виде, является примером спаривания. Например, Hardie et al. представить явное построение карты с использованием моделей poset. ${\ Displaystyle S ^ {3} \ к S ^ {2}}$${\ displaystyle h: S ^ {2} \ times S ^ {2} \ to S ^ {2}}$

Основная статья: Криптография на основе пар

В криптографии часто используется следующее специализированное определение:

Позвольте быть аддитивные группы и мультипликативная группа, все простого порядка. Пусть будут генераторы из и соответственно. ${\ displaystyle \ textstyle G_ {1}, G_ {2}}$${\ displaystyle \ textstyle G_ {T}}$ ${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ displaystyle \ textstyle P \ in G_ {1}, Q \ in G_ {2}}$ ${\ displaystyle \ textstyle G_ {1}}$${\ displaystyle \ textstyle G_ {2}}$

Спаривание - это карта: ${\ displaystyle e: G_ {1} \ times G_ {2} \ rightarrow G_ {T}}$

для которого имеет место следующее:

1. Билинейность : ${\ displaystyle \ textstyle \ forall a, b \ in \ mathbb {Z}: \ e \ left (AP, bQ \ right) = e \ left (P, Q \ right) ^ {ab}}$
2. Невырожденность : ${\ Displaystyle \ textstyle е \ влево (P, Q \ вправо) \ neq 1}$
3. Для практических целей должен быть вычислим эффективным способом. ${\ displaystyle \ textstyle e}$

Обратите внимание, что в криптографической литературе также принято, что все группы записываются в мультипликативной нотации.

В тех случаях, когда спаривание называется симметричным. Как это циклическое, карта будет коммутативной ; то есть по любому есть. Это потому, что для генератора существуют целые числа, такие как и. Следовательно. ${\ Displaystyle \ textstyle G_ {1} = G_ {2} = G}$${\ displaystyle \ textstyle G}$ ${\ displaystyle e}$ ${\ displaystyle P, Q \ in G}$${\ Displaystyle е (P, Q) = е (Q, P)}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle P = g ^ {p}}$${\ Displaystyle Q = г ^ {q}}$${\ Displaystyle е (P, Q) = e (g ^ {p}, g ^ {q}) = e (g, g) ^ {pq} = e (g ^ {q}, g ^ {p}) = e (Q, P)}$

Спаривание Вейля является важным понятием в эллиптической кривой криптографии ; например, его можно использовать для атаки на определенные эллиптические кривые (см. атака MOV ). Он и другие пары использовались для разработки схем шифрования на основе идентичности.

Скалярные произведения на комплексных векторных пространствах иногда называют парами, хотя они не являются билинейными. Например, в теории представлений имеется скалярное произведение на характеры комплексных представлений конечной группы, которое часто называют спариванием символов.

• Двойная система
• Йонеда продукт

1. ^ Харди КА1; Vermeulen JJC; Витбуи П. Дж., Нетривиальное спаривание конечных пространств T0, Топология и ее приложения, Том 125, номер 3, 20 ноября 2002 г., стр. 533–542.
2. ^ Дэн Боне, Мэтью К. Франклин, Шифрование на основе идентификационных данных от Weil Pairing, SIAM J. of Computing, Vol. 32, № 3, с. 586–615, 2003.

• Криптографическая библиотека на основе пар