Ортогональный базис

В математике, в частности линейной алгебре, ортогональный базис для внутреннего пространства продукта V является базисом для V, векторы которого взаимно ортогональны. Если векторы ортогонального базиса нормализованы, результирующим базисом будет ортонормированный базис.

• 1 Как координаты
• 2 В функциональном анализе
• 3 Расширения
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Для определения системы ортогональных координат V. может использоваться любой ортогональный базис. Ортогональные (не обязательно ортонормированные) базисы важны из-за того, что они появляются из криволинейных ортогональных координат в евклидовых пространствах, а также в римановых и псевдо- Римановы многообразия.

В функциональном анализе ортогональный базис - это любой базис, полученный из ортонормированного базиса (или базиса Гильберта) с помощью умножения на ненулевые скаляры.

Концепция ортогонального (но не ортонормированного) базиса применима к векторному пространству V (над любым полем ), снабженным симметричная билинейная форма ⟨·, ·⟩, где ортогональность двух векторов v и w означает ⟨v, w⟩ = 0. Для ортогональный базис {ek}:

$⟨ej,\; ek⟩\; =\; \{q\; (ek)\; j\; =\; k\; 0\; j\; \ne \; k,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{j\},\; \backslash \; mathbf\; \{e\; \}\; \_\; \{k\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ll\}\; q\; (\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{k\})\; j\; =\; k\; \backslash \backslash \; 0\; j\; \backslash \; neq\; k\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right.\; \backslash \; quad,\}$

где q - квадратичная форма, связанная с ⟨·, ·⟩: q (v ) = ⟨v, v⟩ (во внутреннем пространстве продукта q (v ) = | v |).

Следовательно, для ортогонального базиса {ek},

$⟨v,\; w⟩\; =\; \sum \; kq\; (ek)\; vkwk,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; mathbf\; \{v\},\; \backslash \; mathbf\; \{w\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{k\}\; q\; (\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{k\})\; v\; ^\; \{k\}\; w\; ^\; \{k\}\; \backslash ,\}$

где v и w - компоненты v и w в основе.

• Лэнг, Серж (2004), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (исправленное четвертое издание, переработанное третье изд.), New York: Springer-Verlag, pp. 572–585, ISBN 978-0-387-95385-4
• Milnor, J. ; Хусемоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы. Ergebnisse der Mathematik и ихрер Grenzgebiete. 73. Springer-Verlag. п. 6. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016.

• Вайсштейн, Эрик У. «Ортогональная основа». MathWorld.