Частично упорядоченная группа

«Упорядоченная группа» перенаправляется сюда. Для групп с полным или линейным порядком см. Линейно упорядоченная группа.

В абстрактной алгебре, А частично упорядоченная группа представляет собой группа, ( G +), снабженная частичным порядком «≤», то есть перевод-инвариантный ; другими словами, «≤» обладает тем свойством, что для всех a, b и g в G, если a ≤ b, то a + g ≤ b + g и g + a ≤ g + b.

Элемент x группы G называется положительным, если 0 ≤ x. Набор элементов 0 ≤ х часто обозначается с G ⁺, и называется положительный конус G.

По трансляционной инвариантности мы имеем a ≤ b тогда и только тогда, когда 0 ≤ - a + b. Таким образом, мы можем свести частичный порядок к монадическому свойству: a ≤ b тогда и только тогда, когда - a + b ∈ G ⁺.

Для общей группы G, существование положительного конуса определяет порядок на G. Группа G является частично упорядочиваемой тогда и только тогда, когда существует подмножество H (которое является G ⁺) группы G такое, что:

• 0 ∈ H
• если a ∈ H и b ∈ H, то a + b ∈ H
• если a ∈ H, то - x + a + x ∈ H для каждого x из G
• если a ∈ H и - a ∈ H, то a = 0

Частично упорядоченная группа G с положительным конусом G ⁺ называется неперфорированной, если из n g ∈ G ⁺ для некоторого натурального n следует g ∈ G ⁺. Отсутствие перфорации означает отсутствие «зазора» в положительном конусе G ⁺.

Если порядок на группе линейный, то она называется линейно упорядоченной группой. Если порядок в группе является решетчатым, т. Е. Любые два элемента имеют наименьшую верхнюю границу, то это решетка-упорядоченная группа (сокращенно l-группа, хотя обычно набирается скриптом l: ℓ-group).

Рисса группа представляет собой неперфорированную частично упорядоченную группа со свойством несколько слабее, чем быть решеткой упорядоченной группы. А именно, группа Рисса удовлетворяет свойству интерполяции Рисса: если x 1, x 2, y 1, y 2 являются элементами G и x i ≤ y j, то существует z ∈ G такой, что x i ≤ z ≤ y j.

Если G и H - две частично упорядоченные группы, отображение из G в H является морфизмом частично упорядоченных групп, если оно одновременно является гомоморфизмом групп и монотонной функцией. Частично упорядоченные группы вместе с этим понятием морфизма образуют категорию.

Частично упорядоченные группы используются в определении оценок на полях.

• 1 Примеры
• 2 См. Также
• 3 ссылки
• 4 Внешние ссылки

• Эти целые числа с их обычным порядком
• Упорядоченное векторное пространство является частично упорядоченной группой
• Линеал является решеткой-упорядоченная группа
• Типичным примером частично упорядоченной группы является Z ⁿ, где групповой операцией является покомпонентное сложение, и мы пишем ( a 1,..., a n) ≤ ( b 1,..., b n) тогда и только тогда, когда a i ≤ b i (в обычном порядке целых чисел) для всех i = 1,..., n.
• В более общем смысле, если G - частично упорядоченная группа, а X - некоторое множество, то набор всех функций от X до G снова является частично упорядоченной группой: все операции выполняются покомпонентно. Кроме того, каждая подгруппа из G является частично упорядоченной группой: он наследует заказ от G.
• Если A - приблизительно конечномерная C * -алгебра или, в более общем смысле, если A - стабильно конечная унитальная C * -алгебра, то K 0 ( A) - частично упорядоченная абелева группа. (Эллиотт, 1976)

• Циклически упорядоченная группа  - группа с циклическим порядком, соблюдаемым групповой операцией.
• Целостная замкнутая заказная группа
• Линейно упорядоченная группа  - группа с трансляционно инвариантным общим порядком; т.е. если a ≤ b, то ca ≤ cb
• Заказанное поле
• Заказанное кольцо
• Упорядоченное топологическое векторное пространство
• Упорядоченное векторное пространство
• Частично упорядоченное кольцо  - Кольцо с совместимым частичным порядком
• Частично упорядоченное пространство  - частично упорядоченное топологическое пространство

• М. Андерсон, Т. Фейл, Решеточно-упорядоченные группы: введение, Д. Рейдель, 1988.
• М. Р. Дарнел, Теория решеточно-упорядоченных групп, Конспект лекций по чистой и прикладной математике 187, Марсель Деккер, 1995.
• Л. Фукс, Частично упорядоченные алгебраические системы, Pergamon Press, 1963.
• AMW Glass, Упорядоченные группы перестановок, London Math. Soc. Lecture Notes Series 55, Cambridge U. Press, 1981.
• Копытов В.М., Кокорин А.И. (пер. Д. Лувиша), Полностью упорядоченные группы, Halsted Press (John Wiley amp; Sons), 1974.
• В.М. Копытов, Н.Я. Медведев, Правоупорядоченные группы, Сибирская школа алгебры и логики, Бюро консультантов, 1996.
• В.М. Копытов, Н.Я. Медведев, Теория решеточно-упорядоченных групп, математика и ее приложения, 307, Kluwer Academic Publishers, 1994.
• Р. Б. Мура и А. Ремтулла, Упорядочиваемые группы, Конспект лекций по чистой и прикладной математике 27, Марсель Деккер, 1977.
• Т. С. Блит, Решетки и упорядоченные алгебраические структуры, Springer, 2005, ISBN   1-85233-905-5, гл. 9.
• Г. А. Эллиотт, О классификации индуктивных пределов последовательностей полупростых конечномерных алгебр, J. Algebra, 38 (1976) 29-44.

• Частично упорядоченная группа в математической энциклопедии
• Решеточно-упорядоченная группа в математической энциклопедии