Войти
В обработке сигналов, нелинейный (или нелинейный ) фильтр - это фильтр, выходные данные которого не являются линейной функцией входных данных. То есть, если фильтр выводит сигналы R и S для двух входных сигналов r и s отдельно, но не всегда выводит αR + βS, когда вход представляет собой линейную комбинацию αr + βs.
Фильтры как непрерывной, так и дискретной области могут быть нелинейными. Простым примером первого может быть электрическое устройство, у которого выходное напряжение R (t) в любой момент является квадратом входного напряжения r (t); или вход, ограниченный фиксированным диапазоном [a, b], а именно R (t) = max (a, min (b, r (t))). Важным примером последнего является фильтр текущей медианы, так что каждая выходная выборка R i является медианной из трех последних входных выборок r i, r i-1, r i-2. Подобно линейным фильтрам, нелинейные фильтры могут быть инвариантными к сдвигу или нет.
Нелинейные фильтры имеют множество применений, особенно при удалении определенных типов шума, которые не являются аддитивными. Например, для удаления широко используется медианный фильтр, который влияет только на небольшой процент выборок, возможно, на очень большие количества. Действительно, все радиоприемники используют нелинейные фильтры для преобразования сигналов кило- в гигагерц в частотный диапазон аудио ; и вся обработка цифровых сигналов зависит от нелинейных фильтров (аналого-цифровых преобразователей ) для преобразования аналоговых сигналов в двоичных чисел.
Однако нелинейные фильтры значительно сложнее использовать и проектировать, чем линейные, потому что нельзя использовать самые мощные математические инструменты анализа сигналов (такие как импульсная характеристика и частотная характеристика ). на них. Таким образом, например, линейные фильтры часто используются для удаления шума и искажений, которые были созданы нелинейными процессами, просто потому, что правильный нелинейный фильтр было бы слишком сложно спроектировать и построить.
Из вышеизложенного мы можем знать, что нелинейные фильтры имеют совершенно иное поведение по сравнению с линейными фильтрами. Наиболее важной характеристикой является то, что для нелинейных фильтров выходной сигнал или отклик фильтра не подчиняются принципам, изложенным ранее, в частности, масштабированию и инвариантности сдвига. Кроме того, нелинейный фильтр может давать результаты, которые меняются не интуитивно.
Несколько принципов определяют линейную систему. Основное определение линейности состоит в том, что выход должен быть линейной функцией входов, то есть
для любых скалярных значений 
Сигналы часто искажаются во время передачи или обработки; Частой целью при проектировании фильтров является восстановление исходного сигнала, процесс, обычно называемый «удалением шума». Простейшим типом искажения является аддитивный шум, когда полезный сигнал S добавляется к нежелательному сигналу N, который не имеет известной связи с S. Если шум N имеет простое статистическое описание, такое как Гауссов шум, тогда фильтр Калмана уменьшит N и восстановит S до степени, допускаемой теоремой Шеннона. В частности, если S и N не перекрываются в частотной области, они могут быть полностью разделены линейными полосовыми фильтрами.
. С другой стороны, для почти любой другой формы шума некоторые своего рода нелинейный фильтр понадобится для максимального восстановления сигнала. Для мультипликативного шума (который умножается на сигнал, а не добавляется к нему), например, может быть достаточно преобразовать входной сигнал в логарифмическую шкалу, применить линейный фильтр, а затем преобразовать результат в линейный масштаб. В этом примере первый и третий шаги не линейны.
Нелинейные фильтры также могут быть полезны, когда определенные «нелинейные» характеристики сигнала более важны, чем общее содержание информации. В цифровой обработке изображений, например, может потребоваться сохранить резкость краев силуэта объектов на фотографиях или связность линий на отсканированных чертежах. Фильтр линейного удаления шума обычно размывает эти детали; нелинейный фильтр может дать более удовлетворительные результаты (даже если размытое изображение может быть более «правильным» в теоретико-информационном смысле).
Многие нелинейные фильтры шумоподавления работают во временной области. Обычно они исследуют входной цифровой сигнал в конечном окне, окружающем каждую выборку, и используют некоторую статистическую модель вывода (неявно или явно), чтобы оценить наиболее вероятное значение для исходного сигнала в этой точке. Конструкция таких фильтров известна как задача фильтрации для случайного процесса в теории оценки и теории управления.
Примеры нелинейных фильтров включают :
Нелинейные фильтры также занимают решающее место в функциях обработки изображений. В типичном конвейере для обработки изображений в реальном времени обычно используется много нелинейных фильтров, включенных для формирования, формы, обнаружения и управления информацией изображения. Кроме того, каждый из этих типов фильтров может быть параметризован для работы одним способом при определенных обстоятельствах и другим способом при различных обстоятельствах, используя создание правил адаптивного фильтра. Цели варьируются от удаления шума до абстракции функций. Фильтрация данных изображения - стандартный процесс, используемый почти во всех системах обработки изображений. Нелинейные фильтры - наиболее часто используемые формы построения фильтров. Например, если изображение содержит небольшое количество шума, но с относительно высокой величиной, то медианный фильтр может быть более подходящим.
Задача оптимальной нелинейной фильтрации была решена в конце 1950-х - начале 1960-х годов Русланом Л. Стратоновичем и Гарольдом Дж. Кушнером..
Решение Кушнера – Стратоновича представляет собой стохастическое уравнение в частных производных. В 1969 г. Моше Закай ввел упрощенную динамику для ненормализованного условного закона фильтра, известного как уравнение Закая. Доминик Мишель доказал, что решение в целом является бесконечномерным и как таковое требует конечномерных приближений. Они могут быть основаны на эвристиках, таких как расширенный фильтр Калмана или описанный или введенный Дамиано Бриго, и некоторые подсемейства которых, как показано, совпадают с фильтрами.
- это класс нелинейных динамических фильтров, которые можно использовать для перемещения энергии определенным образом. Энергия может быть перемещена в более высокие или более низкие полосы частот, распределена по заданному диапазону или сфокусирована. Возможны многие конструкции фильтров для передачи энергии, и они обеспечивают дополнительные степени свободы при проектировании фильтров, которые просто невозможны при использовании линейных схем.
