В алгебре вложенный радикал - это радикальное выражение (один содержит знак квадратного корня, знак кубического корня и т. д.), который содержит (вкладывает) другое радикальное выражение. Примеры включают
, который возникает при обсуждении правильного пятиугольника и более сложные, такие как
Содержание
- 1 Denesting
- 2 Два вложенных квадратных корня
- 3 Некоторые тождества Рамануджана
- 4 Алгоритм Ландау
- 5 В тригонометрии
- 6 В решении кубического уравнения
- 7 Бесконечно вложенные радикалы
- 7.1 Квадратные корни
- 7.1.1 Бесконечные радикалы Рамануджана
- 7.1.2 Выражение Виэта для π
- 7.2 Кубические корни
- 7.3 Теорема сходимости Хершфельда
- 7.3.1 Доказательство «если»
- 7.3.2 Доказательство of "only if"
- 8 См. также
- 9 Ссылки
Denesting
Некоторые вложенные радикалы могут быть переписаны в форме, которая не является вложенной. Например,
Переписывание вложенного радикала таким образом называется денестированием . Это не всегда возможно, и даже когда это возможно, часто бывает сложно.
Два вложенных квадратных корня
В случае двух вложенных квадратных корней следующая теорема полностью решает проблему денестирования.
Если a и c рациональны числа и c не является квадратом рационального числа, существуют два рациональных числа x и y, такие что
тогда и только тогда, когда - квадрат рационального числа d.
Если вложенный радикал действительный, x и y - это два числа
- и где - рациональное число.
В частности, если a и c - целые числа, то 2x и 2y - целые числа.
Этот результат включает денестирование в форме
в качестве z всегда можно записать и хотя бы один из членов должен быть положительным (потому что левая часть уравнения положительна).
Более общая формула денестирования может иметь вид
Однако теория Галуа подразумевает, что либо левая часть принадлежит или он должен быть получен путем изменения знака либо или оба. В первом случае это означает, что можно взять x = c и Во втором случае и другой коэффициент должны быть равны нулю. Если можно переименовать xy как x, чтобы получить Если действовать аналогично, если , можно предположить, что Это показывает, что кажущееся более общее денестирование всегда можно свести к приведенному выше.
Доказательство: возведением в квадрат уравнение
эквивалентно
и, в случае минуса в правой части,
- | x | ≥ | y |,
(квадратные корни неотрицательны по определению записи). Поскольку неравенство всегда можно удовлетворить, возможно, поменяв местами x и y, решение первого уравнения относительно x и y эквивалентно решению
Это равенство означает, что принадлежит квадратичному полю В этом поле каждый элемент может быть записан однозначно с и рациональное число. Это означает, что нерационально (в противном случае правая часть уравнения была бы рациональной; но левая - сторона стороны иррациональна). Поскольку x и y должны быть рациональными, квадрат должен быть рациональным. Это означает, что в выражении как Таким образом,
для некоторого рационального числа Уникальность разложения по 1 и означает, таким образом, что рассматриваемое уравнение эквивалентно с
Это следует по формулам Виета, что x и y должны быть корнями квадратного уравнения
его (≠ 0, иначе c будет квадратом a), поэтому x и y должны быть
- и
Таким образом, x и y рациональны тогда и только тогда, когда - рациональное число.
Для явного выбора различных знаков нужно рассматривать только положительные действительные квадратные корни, и таким образом, предполагая c>0. Уравнение показывает, что | a |>√c. Таким образом, если вложенный радикал действительный и если возможно денестирование, то a>0. Тогда решение записывает
Некоторые личности Рамануджана
Шриниваса Рамануджана продемонстрировали ряд любопытных личностей, связанных с вложенными радикалами. Среди них следующие:
Другие радикалы странного вида вдохновленные Рамануджаном, включают:
Алгоритм Ландау
В 1989 году Сьюзан Ландау представила первый алгоритм для определения того, какие вложенные радикалы могут быть отвергнутым. В одних случаях предыдущие алгоритмы работали, в других - нет.
В тригонометрии
В тригонометрии, синусы и косинусы многих углов могут быть выражены в терминах вложенных радикалов. Например,
и
Последнее равенство следует непосредственно из результатов § Два вложенных квадратных корня.
В решении кубического уравнения
Вложенные радикалы появляются в алгебраическом решении кубического уравнения. Любое кубическое уравнение можно записать в упрощенной форме без квадратичного члена, как
, общее решение которого для один из корней равен
В случае, когда кубический корень имеет только один действительный корень, действительный корень задается этим выражением, где подкоренные выражения кубических корней являются действительными, а кубические корни являются действительными корнями куба. В случае трех действительных корней выражение квадратного корня является мнимым числом; здесь любой действительный корень выражается путем определения первого кубического корня как любого конкретного комплексного кубического корня комплексного подкоренного выражения и определения второго кубического корня как комплексно сопряженного первого. Вложенные радикалы в этом решении, как правило, нельзя упростить, если кубическое уравнение не имеет хотя бы одного рационального решения. В самом деле, если кубика имеет три иррациональных, но реальных решения, мы имеем casus unducibilis, в котором все три вещественных решения записываются в терминах кубических корней комплексных чисел. С другой стороны, рассмотрим уравнение
, которое имеет рациональные решения 1, 2 и −3. Приведенная выше общая формула решения дает решения
Для любого заданного выбора корня куба и сопряженного с ним корня он содержит вложенные радикалы, включающие комплексные числа, но он может быть сокращен (даже хотя и не очевидно) к одному из решений 1, 2 или –3.
Бесконечно вложенные радикалы
Квадратные корни
При определенных условиях бесконечно вложенные квадратные корни, например
представляют рациональные числа. Это рациональное число можно найти, зная, что x также стоит под знаком радикала, что дает уравнение
Если мы решим это уравнение, мы обнаружим, что x = 2 (второе решение x = −1 неприменимо, в соответствии с соглашением, что положительное имеется ввиду квадратный корень). Этот подход также можно использовать, чтобы показать, что, как правило, если n>0, то
и является положительным корнем уравнения x - x - n = 0. Для n = 1 этот корень является золотым сечением φ, приблизительно равным 1,618. Та же процедура работает и для получения, если n>1,
который является положительным корнем уравнения x + x - n = 0.
Бесконечные радикалы Рамануджана
Рамануджан поставил перед Journal of Indian следующую проблему. Математическое общество:
Это можно решить, обратив внимание на более общую формулировку:
Установка этого значения на F (x) и возведение в квадрат обеих сторон дает нам
который может быть упрощен до
Затем можно показать, что
Итак, установив a = 0, n = 1 и x = 2, мы имеем
Рамануджан заявил следующее бесконечное радикальное отрицание в своем потерянный блокнот :
Повторяющийся узор знаков:
Выражение Виэта для π
Формула Виэта для π, отношения длины окружности к ее диаметру, составляет
Кубические корни
В некоторых случаях бесконечно вложенные корни куба, например
также может представлять рациональные числа. Опять же, осознавая, что все выражение появляется внутри себя, мы остаемся с уравнением
Если мы решим это уравнение, мы обнаружим, что x = 2. В общем, мы находим, что
- положительный вещественный корень уравнения x - x - n = 0 для всех n>0. Для n = 1 этот корень представляет собой пластическое число ρ, приблизительно равное 1,3247.
Та же процедура также работает для получения
как действительный корень уравнения x + x - n = 0 для всех n>1.
Теорема сходимости Хершфельда
Бесконечно вложенный радикал (где все являются неотрицательными ) сходится тогда и только тогда, когда есть некоторые такие, что для всех .
Доказательство «если»
Мы видим, что
- .
Кроме того, последовательность монотонно возрастает. Следовательно, он сходится по теореме о монотонной сходимости.
Доказательство «только если»
Если последовательность сходится, тогда он ограничен.
Однако , следовательно, также ограничено.
См. Также
Ссылки
Дополнительная литература