Войти
В математике, ближнее кольцо (также Ближнее кольцо или nearring ) - это алгебраическая структура, похожая на кольцо, но удовлетворяющая меньшему количеству аксиом . Почти кольца возникают естественным образом из функций в группах.
A устанавливают N вместе с двумя двоичными операциями + (называемыми сложением ) и ⋅ (называемыми умножение ) называется (правым) почти кольцом, если:
Аналогично, можно определить левое почти-кольцо, заменив правый закон распределения A3 соответствующим законом распределения слева. В литературе встречаются как правые, так и левые близкие кольца; например, в книге Пильца используются близкие правые кольца, а в книге Глина - левые близкие кольца.
Непосредственным следствием этого одностороннего закона распределения является то, что верно, что 0⋅x = 0, но не обязательно верно, что x⋅0 = 0 для любого x в N. Еще одно непосредственное следствие состоит в том, что (−x) ⋅y = - (x⋅y) для любых x, y в N, но необязательно, чтобы x⋅ (−y) = - (x⋅y). Почти кольцо - это кольцо (не обязательно с единицей) тогда и только тогда, когда сложение коммутативно, а умножение также дистрибутивно над сложением слева. Если почти-кольцо имеет мультипликативную единицу, то дистрибутивности с обеих сторон достаточно, и коммутативность сложения следует автоматически.
Пусть G будет группой, записанной аддитивно, но не обязательно абелевой, и пусть M (G) будет множеством {f | f: G → G} всех функций из G в G. На M (G) может быть определена операция сложения: заданы f, g в M (G), тогда отображение f + g из G группе G задается формулой (f + g) (x) = f (x) + g (x) для всех x в G.Тогда (M (G), +) также является группой, которая является абелевой тогда и только тогда, когда G абелева. Принимая композицию отображений как произведение ⋅, M (G) становится почти кольцом.
Элемент 0 почти кольца M (G) является нулевым отображением, то есть отображением, которое переводит каждый элемент G в единичный элемент G. Аддитивное обратное - f функции f в M (G) совпадает с естественным поточечным определением, то есть (−f) (x) = - (f (x)) для всех x в G.
Если G имеет не менее 2 элементов, M (G) не является кольцом, даже если G абелева. (Рассмотрим постоянное отображение g из G в фиксированный элемент g ≠ 0 из G; тогда g⋅0 = g ≠ 0.) Однако существует подмножество E (G) из M (G), состоящее из всех групп эндоморфизмов группы G, то есть всех отображений f: G → G, таких что f (x + y) = f (x) + f (y) для всех x, y в G. (G, +) абелева, обе почти-кольцевые операции на M (G) замкнуты на E (G), а (E (G), +, ⋅) - кольцо. Если (G, +) неабелева, E (G), вообще говоря, не замкнута относительно почти кольцевых операций; но замыкание E (G) под действием почти-кольцевых операций является почти-кольцевым.
Многие подмножества M (G) образуют интересные и полезные почти-кольца. Например:
Другие примеры возникают, если группа имеет дополнительную структуру, например:
Каждое ближнее кольцо изоморфно субокольцу M (G) для некоторого G.
Многие приложения включают подкласс близких колец, известный как ближние поля ; об этом см. статью о ближних полях.
Существуют различные применения собственных почти-колец, то есть тех, которые не являются ни кольцами, ни ближними полями.
Самым известным является сбалансированная конструкция неполных блоков с использованием плоских близких колец. Это способ получения разностных семейств с использованием орбит группы автоморфизмов без неподвижных точек группы. Клей и другие распространили эти идеи на более общие геометрические конструкции.
