Модуляционная нестабильность

В области нелинейной оптики и гидродинамики, модуляционной неустойчивости или боковой нестабильности представляет собой явление, при котором отклонения от периодического сигнала усиливаются нелинейности, что приводит к генерации спектральных -sidebands и возможного распада сигнала в последовательность импульсов.

Широко распространено мнение, что феномен был впервые обнаружен - и по образцу - для периодического поверхностных гравитационных волн ( волны Стокса ) на глубокой воде по Т. Брук Вениамина и Jim E. Фейра, в 1967 г. Таким образом, он также известен как Benjamin- Фейровая нестабильность. Однако пространственная модуляционная нестабильность мощных лазеров в органических растворителях наблюдалась российскими учеными Н. Ф. Пилиптецким и А. Р. Рустамовым в 1965 г., а математический вывод модуляционной неустойчивости был опубликован В. И. Беспаловым и В. И. Талановым в 1966 г. Модуляционная неустойчивость - возможный механизм. для генерации волн-убийц.

• 1 Начальная нестабильность и усиление
  • 1.1 Математический вывод спектра усиления
• 2 Модуляционная нестабильность в мягких системах
• 3 ссылки
• 4 Дальнейшее чтение

Нестабильность модуляции возникает только при определенных обстоятельствах. Наиболее важным условием является аномальная дисперсия групповой скорости, при которой импульсы с более короткими длинами волн распространяются с более высокой групповой скоростью, чем импульсы с более длинными волнами. (Это условие предполагает фокусирующую керровскую нелинейность, в результате чего показатель преломления увеличивается с оптической интенсивностью.)

Неустойчивость сильно зависит от частоты возмущения. На определенных частотах возмущение будет иметь небольшой эффект, в то время как на других частотах возмущение будет расти экспоненциально. Общий спектр усиления можно получить аналитически, как показано ниже. Случайные возмущения, как правило, содержат широкий диапазон частотных компонентов, и поэтому вызывают генерацию спектральных боковых полос, которые отражают лежащий в основе спектр усиления.

Тенденция возмущающего сигнала к росту превращает модуляционную нестабильность в форму усиления. Настроив входной сигнал на максимум спектра усиления, можно создать оптический усилитель.

Математический вывод спектра усиления

Спектр усиления можно получить, начав с модели модуляционной неустойчивости, основанной на нелинейном уравнении Шредингера

${\ displaystyle {\ frac {\ partial A} {\ partial z}} + я \ beta _ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} A} {\ partial t ^ {2}}} = я \ гамма | A | ^ {2} A,}$

который описывает эволюцию комплексной медленно меняющейся огибающей со временем и расстоянием распространения. В мнимой единице удовлетворяет модель включает групповую скорость дисперсию, описанную параметр, и Керру нелинейность с величиной A периодическим сигналом постоянной мощности предполагаются. Это дается решением ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i ^ {2} = - 1.}$ ${\ displaystyle \ beta _ {2}}$ ${\ displaystyle \ gamma.}$ ${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle A = {\ sqrt {P}} e ^ {i \ gamma Pz},}$

где колебательный фазовый фактор учитывает разницу между линейным показателем преломления и модифицированным показателем преломления, вызванным эффектом Керра. Начало неустойчивости можно исследовать, возмущая это решение как ${\ displaystyle e ^ {я \ gamma Pz}}$

${\ displaystyle A = \ left ({\ sqrt {P}} + \ varepsilon (t, z) \ right) e ^ {i \ gamma Pz},}$

где - член возмущения (который для математического удобства умножен на тот же фазовый коэффициент, что и). Подставляя это обратно в нелинейное уравнение Шредингера, получаем уравнение возмущения вида ${\ Displaystyle \ varepsilon (т, г)}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ varepsilon} {\ partial z}} + я \ бета _ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} \ varepsilon} {\ partial t ^ {2}}} = i \ gamma P \ left (\ varepsilon + \ varepsilon ^ {*} \ right),}$

где предполагалось возмущение малым, так что комплексно сопряженное из обозначается как Нестабильность теперь могут быть обнаружены путем поиска решений уравнения возмущений, которые растут в геометрической прогрессии. Это можно сделать с помощью пробной функции общего вида ${\ Displaystyle | \ varepsilon | ^ {2} \ ll P.}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon ^ {*}.}$

${\ displaystyle \ varepsilon = c_ {1} e ^ {ik_ {m} zi \ omega _ {m} t} + c_ {2} e ^ {- ik_ {m} ^ {*} z + i \ omega _ { m} t},}$

где и - волновое число и (действительная) угловая частота возмущения, а и - постоянные. Нелинейное уравнение Шредингера строится путем удаления несущей волны моделируемого света, поэтому частота возмущенного света формально равна нулю. Следовательно, и представляют не абсолютные частоты и волновые числа, а разницу между ними и исходным лучом света. Можно показать, что пробная функция действительна, при условии и при условии ${\ displaystyle k_ {m}}$${\ displaystyle \ omega _ {m}}$ ${\ displaystyle c_ {1}}$${\ displaystyle c_ {2}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {m}}$${\ displaystyle k_ {m}}$${\ displaystyle c_ {2} = c_ {1} ^ {*}}$

${\ displaystyle k_ {m} = \ pm {\ sqrt {\ beta _ {2} ^ {2} \ omega _ {m} ^ {4} +2 \ gamma P \ beta _ {2} \ omega _ {m } ^ {2}}}.}$

Это дисперсионное соотношение существенно зависит от знака члена в квадратном корне: если положительное, волновое число будет действительным, что соответствует простым колебаниям вокруг невозмущенного раствора, в то время как если оно отрицательное, волновое число станет мнимым, что соответствует экспоненциальному росту. и, следовательно, нестабильность. Следовательно, нестабильность возникнет, когда

${\ displaystyle \ beta _ {2} ^ {2} \ omega _ {m} ^ {2} +2 \ gamma P \ beta _ {2} lt;0,}$   это для   ${\ displaystyle \ omega _ {m} ^ {2} lt;- 2 {\ frac {\ gamma P} {\ beta _ {2}}}.}$

Это условие описывает требование аномальной дисперсии (например, отрицательной). Спектр усиления можно описать, задав параметр усиления таким образом, чтобы мощность возмущающего сигнала возрастала с расстоянием, так как усиление, таким образом, определяется выражением ${\ displaystyle \ gamma \ beta _ {2}}$${\ Displaystyle г \ экв 2 | \ Im \ {k_ {m} \} |,}$${\ displaystyle P \, e ^ {gz}.}$

${\ displaystyle g = {\ begin {case} 2 {\ sqrt {- \ beta _ {2} ^ {2} \ omega _ {m} ^ {4} -2 \ gamma P \ beta _ {2} \ omega _ {m} ^ {2}}}, amp; {\ text {for}} \ displaystyle \ omega _ {m} ^ {2} lt;- 2 {\ frac {\ gamma P} {\ beta _ {2}} }, \\ [2ex] 0, amp; {\ text {for}} \ displaystyle \ omega _ {m} ^ {2} \ geq -2 {\ frac {\ gamma P} {\ beta _ {2}}}, \ end {case}}}$

где, как отмечалось выше, - разница между частотой возмущения и частотой первоначального света. Скорость роста максимальна для${\ displaystyle \ omega _ {m}}$${\ displaystyle \ omega ^ {2} = - \ gamma P / \ beta _ {2}.}$

Модуляционная неустойчивость оптических полей наблюдалась в фотохимических системах, а именно в фотополимеризуемой среде. Модуляционная нестабильность возникает из-за присущей системам оптической нелинейности из-за изменения показателя преломления, вызванного фотореакцией. Нестабильность модуляции пространственно и временно некогерентного света возможна из-за не мгновенного отклика фотореактивных систем, который, следовательно, реагирует на среднюю по времени интенсивность света, в которой фемтосекундные флуктуации компенсируются.

• Захаров В.Е. ; Островский, Л.А. (2009). «Модуляционная нестабильность: начало» (PDF). Physica D: нелинейные явления. 238 (5): 540–548. Bibcode : 2009PhyD..238..540Z. DOI : 10.1016 / j.physd.2008.12.002.