Закон общего ожидания

редактировать

Утверждение в теории вероятностей, известное как закон общего ожидания, закон повторяющихся ожиданий (LIE ), правило башни, закон Адама и теорема сглаживания, среди других имен, заявляет, что если $X {\ displaystyle X}$ $X$ является случайной величиной, ожидаемое значение которой $E ⁡ (X) {\ displaystyle \ operatorname { E} (X)}$ $\ operatorname {E} (X)$ определено, а $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ - любая случайная величина в том же вероятностном пространстве, тогда

Е ⁡ (Икс) знак равно Е ⁡ (Е ⁡ (Икс ∣ Y)), {\ Displaystyle \ OperatorName {E} (X) = \ OperatorName {E} (\ OperatorName {E} (X \ середина Y)), }

{\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ operatorname {E} (\ operatorname {E} (X \ mid Y)),}

т.е. ожидаемое значение из условного ожидаемого значения из $X {\ displaystyle X}$ $X$ при $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ совпадает с ожидаемым значением $X {\ displaystyle X}$ $X$ .

В одном частном случае говорится, что if ${ A i} i {\ displaystyle {\ left \ {A_ {i} \ right \}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ left \ {A_ {i} \ right \}} _ {i}}$ является конечным или счетным разделом пространства отсчетов , тогда

E ⁡ (X) = ∑ i E ⁡ (X ∣ A i) P ⁡ (A i). {\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ sum _ {i} {\ operatorname {E} (X \ mid A_ {i}) \ operatorname {P} (A_ {i})}.}

{\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ sum _ {i} {\ operatorname {E} (X \ mid A_ {i}) \ operatorname {P} (A_ {i})}.}

Содержание

1 Пример
2 Доказательство в конечном и счетном случаях
3 Доказательство в общем случае
4 Доказательство формулы разбиения
5 См. Также
6 Ссылки

Пример

Предположим, что две фабрики поставляют на рынок лампочки. Заводские лампы $X {\ displaystyle X}$ $X$ работают в среднем 5000 часов, тогда как заводские лампы $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ работают в течение в среднем 4000 часов. Известно, что фабрика $X {\ displaystyle X}$ $X$ поставляет 60% от общего количества доступных ламп. Какое ожидаемое время проработает приобретенная лампа?

Применяя закон общего ожидания, мы имеем:

E ⁡ (L) = E ⁡ (L ∣ X) P ⁡ (X) + E ⁡ (L ∣ Y) P ⁡ (Y) = 5000 (0,6) + 4000 (0,4) = 4600 {\ displaystyle \ operatorname {E} (L) = \ operatorname {E} (L \ mid X) \ operatorname {P} (X) + \ operatorname {E} ( L \ mid Y) \ operatorname {P} (Y) = 5000 (0,6) +4000 (0,4) = 4600}

{\ displaystyle \ operatorname {E} (L) = \ operatorname {E} (L \ mid X) \ operatorname {P} (X) + \ operatorname { E} (L \ mid Y) \ OperatorName {P} (Y) = 5000 (0,6) +4000 (0,4) = 4600}

, где

$E ⁡ (L) {\ displaystyle \ operatorname {E} (L)}$ $\ operatorname {E} (L)$ - ожидаемый срок службы лампы;
$P ⁡ (X) = 6 10 {\ displaystyle \ operatorname {P} (X) = {6 \ over 10}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {P} (X) = {6 \ более 10}}$ - это вероятность того, что приобретенная лампа была произведена на заводе $X {\ displaystyle X}$ $X$ ;
$P ⁡ (Y) = 4 10 {\ displaystyle \ operatorname {P} (Y) = {4 \ over 10}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {P} (Y) = {4 \ более 10}}$ - вероятность того, что приобретенная лампочка была произведена на заводе $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ ;
$E ⁡ (L ∣ X) = 5000 {\ displaystyle \ operatorname {E} (L \ mid X) = 5000}$ $\ operatorname {E} (L \ mid X) = 5000$ - ожидаемый срок службы лампы, произведенной $X {\ displaystyle X}$ $X$ ;
$E ⁡ (L ∣ Y) = 4000 {\ displaystyle \ operatorname {E} (L \ mid Y) = 4000}$ $\ operatorname {E } (L \ mid Y) = 4000$ - ожидаемый срок службы лампы, произведенной $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ .

Таким образом, каждая приобретенная лампочка имеет ожидаемый срок службы 4600 часов.

Доказательство в конечном и счетном случаях

Пусть случайные величины $X {\ displaystyle X}$ $X$ и $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ , определенные в одном и том же вероятностном пространстве, предполагают конечное или счетно бесконечное множество конечных значений. Предположим, что $E ⁡ [X] {\ displaystyle \ operatorname {E} [X]}$ $\ operatorname {E} [X]$ определено, то есть $min (E ⁡ [X +], E ⁡ [X -]) < ∞ {\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty }$ ${\ displaystyle \ min (\ operatorname {E} [X _ {+}], \ operatorname {E} [X _ {-}]) <\ infty}$ . Если ${A i} {\ displaystyle \ {A_ {i} \}}$ ${\ displaystyle \ {A_ {i} \}}$ является разделом вероятностного пространства $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ , тогда

E ⁡ (X) = ∑ i E ⁡ (X ∣ A i) P ⁡ (A i). {\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ sum _ {i} {\ operatorname {E} (X \ mid A_ {i}) \ operatorname {P} (A_ {i})}.}

{\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ sum _ {i} {\ operatorname {E} (X \ mid A_ {i}) \ operatorname {P} (A_ {i})}.}

Доказательство.

E ⁡ (E ⁡ (X ∣ Y)) = E ⁡ [∑ xx ⋅ P ⁡ (X = x ∣ Y)] = ∑ y [∑ xx ⋅ P ⁡ (X = x ∣ Y = y)] P ⁡ (Y = y) = ∑ y ∑ xx ⋅ P ⁡ (X = x, Y = y). {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {E} \ left (\ operatorname {E} (X \ mid Y) \ right) = \ operatorname {E} {\ Bigg [} \ sum _ {x} x \ cdot \ operatorname {P} (X = x \ mid Y) {\ Bigg]} \\ [6pt] = \ sum _ {y} {\ Bigg [} \ sum _ {x} x \ cdot \ operatorname { P} (X = x \ mid Y = y) {\ Bigg]} \ cdot \ operatorname {P} (Y = y) \\ [6pt] = \ sum _ {y} \ sum _ {x} x \ cdot \ operatorname {P} (X = x, Y = y). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {E } \ left (\ operatorname {E} (X \ mid Y) \ right) = \ operatorname {E} {\ Bigg [} \ sum _ {x} x \ cdot \ o peratorname {P} (X = x \ mid Y) {\ Bigg]} \\ [6pt] = \ sum _ {y} {\ Bigg [} \ sum _ {x} x \ cdot \ operatorname {P} ( X = x \ mid Y = y) {\ Bigg]} \ cdot \ operatorname {P} (Y = y) \\ [6pt] = \ sum _ {y} \ sum _ {x} x \ cdot \ operatorname {P} (X = x, Y = y). \ End {align}}}

Если ряд конечный, то мы можем переключать суммирования, и предыдущее выражение станет

x ∑ yx ⋅ P ⁡ (X = x, Y = y) = ∑ xx ∑ y P ⁡ (X = x, Y = y) = ∑ xx ⋅ P ⁡ (X = x) = E ⁡ (X). {\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {x} \ sum _ {y} x \ cdot \ operatorname {P} (X = x, Y = y) = \ sum _ {x} x \ sum _ {y} \ operatorname {P} (X = x, Y = y) \\ [6pt] = \ sum _ {x} x \ cdot \ operatorname {P} (X = x) \\ [6pt] = \ operatorname {E} (X). \ end {align}}}

{\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ sum _ {x} \ sum _ {y} x \ cdot \ operatorname {P} (X = x, Y = y) = \ sum _ {x} x \ sum _ {y} \ operatorname {P} (X = x, Y = y) \\ [6pt] = \ sum _ {x} x \ cdot \ operatorname {P} (X = x) \\ [ 6pt] = \ operatorname {E} (X). \ End {align}}}

Если, с другой стороны, ряд бесконечен, то его сходимость не может быть условной из-за предположения, что $min (E ⁡ [X +], E ⁡ [X -]) < ∞. {\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty.}$ ${\ displaystyle \ min (\ operatorname {E} [X _ {+}], \ operatorname {E} [X _ {-}]) <\ infty.}$ Ряд сходится абсолютно, если оба $E ⁡ [X +] {\ displaystyle \ operatorname {E} [X _ {+}] }$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} [X _ {+}]}$ и $E ⁡ [X -] {\ displaystyle \ operatorname {E} [X _ {-}]}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} [X _ {-}]}$ конечны и расходятся до бесконечности, когда либо $E ⁡ [X +] {\ displaystyle \ operatorname {E} [X _ {+}]}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} [X _ {+}]}$ или $E ⁡ [X -] {\ displaystyle \ operatorname {E} [X _ {- }]}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} [X _ {-}]}$ бесконечно. В обоих сценариях можно поменять вышеуказанные суммы, не влияя на сумму.

Доказательство в общем случае

Пусть $(Ω, F, P) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ operatorname {P})}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F} }, \ operatorname {P})}$ - вероятностное пространство, на котором две под σ- алгебры $G 1 ⊆ G 2 ⊆ F {\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {1} \ substeq { \ mathcal {G}} _ {2} \ substeq {\ mathcal {F}}}$ $\ mathcal {G} _1 \ substeq \ mathcal { G} _2 \ substeq \ mathcal {F}$ определены. Для случайной величины $X {\ displaystyle X}$ $X$ в таком пространстве закон сглаживания гласит, что если $E ⁡ [X] {\ displaystyle \ operatorname {E} [X]}$ $\ operatorname {E} [X]$ определен, т. Е. $min (E ⁡ [X +], E ⁡ [X -]) < ∞ {\displaystyle \min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty }$ ${\ displaystyle \ min (\ operatorname {E} [X _ {+}], \ operatorname {E} [X _ {-}]) <\ infty}$ , затем

E ⁡ [E ⁡ [X ∣ G 2] ∣ G 1] = E ⁡ [X ∣ G 1] (как). {\ displaystyle \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [X \ mid {\ mathcal {G}} _ {2}] \ mid {\ mathcal {G}} _ {1}] = \ operatorname {E} [X \ mid {\ mathcal {G}} _ {1}] \ quad {\ text {(as)}}.}

{\ displaystyle \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [X \ mid {\ mathcal {G}} _ {2}] \ mid {\ mathcal {G}} _ {1}] = \ operatorname {E } [X \ mid {\ mathcal {G}} _ {1}] \ quad {\ text {(as)}}.}

Доказательство . Поскольку условное математическое ожидание - это производная Радона – Никодима, проверка следующих двух свойств устанавливает закон сглаживания:

$E ⁡ [E ⁡ [X ∣ G 2] ∣ G 1] is G 1 {\ displaystyle \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [X \ mid {\ mathcal {G}} _ {2}] \ mid {\ mathcal {G}} _ {1}] {\ t_dv {is}} { \ mathcal {G}} _ {1}}$ $\ operatorname {E} [\ operatorname {E} [X \ mid \ mathcal {G} _2] \ mid \ mathcal {G} _1] \ t_dv {is} \ mathcal {G} _1$ -измеримый
$∫ G 1 E ⁡ [E ⁡ [X ∣ G 2] ∣ G 1] d P = ∫ G 1 X d P, {\ displaystyle \ int _ {G_ {1}} \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [X \ mid {\ mathcal {G}} _ {2}] \ mid {\ mathcal {G}} _ {1}] d \ operatorname {P} = \ int _ {G_ {1}} Xd \ operatorname {P},}$ ${\ displaystyle \ int _ {G_ {1}} \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [X \ mid {\ mathcal {G}} _ {2}] \ mid {\ mathcal {G}} _ {1}] d \ operatorname {P} = \ int _ {G_ {1}} Xd \ operatorname {P},}$ для всех $G 1 ∈ G 1. {\ displaystyle G_ {1} \ in {\ mathcal {G}} _ {1}.}$ ${\ displaystyle G_ {1} \ in {\ mathcal {G}} _ {1}.}$

Первое из этих свойств выполняется по определению условного ожидания. Чтобы доказать второй,

min (∫ G 1 X + d P, ∫ G 1 X - d P) ≤ min (∫ Ω X + d P, ∫ Ω X - d P) = min (E ⁡ [ X +], E ⁡ [X -]) < ∞, {\displaystyle {\begin{aligned}\min \left(\int _{G_{1}}X_{+}\,d\operatorname {P},\int _{G_{1}}X_{-}\,d\operatorname {P} \right)\leq \min \left(\int _{\Omega }X_{+}\,d\operatorname {P},\int _{\Omega }X_{-}\,d\operatorname {P} \right)\\[4pt]=\min(\operatorname {E} [X_{+}],\operatorname {E} [X_{-}])<\infty,\end{aligned}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ min \ left (\ int _ {G_ {1}} X_ {+} \, d \ operatorname {P}, \ int _ {G_ {1}} X _ {-} \, d \ operatorname {P} \ right) \ leq \ min \ left (\ int _ {\ Omega } X _ {+} \, d \ operatorname {P}, \ int _ {\ Omega} X _ {-} \, d \ operatorname {P} \ right) \\ [4pt] = \ min (\ operatorname {E } [X _ {+}], \ operatorname {E} [X _ {-}]) <\ infty, \ end {align}}}

, поэтому интеграл $∫ G 1 X d P {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {G_ {1}} X \, d \ operatorname {P}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {G_ {1}} X \, d \ operatorname {P }}$ определено (не равно $∞ - ∞ {\ displaystyle \ infty - \ infty}$ $\ infty - \ infty$ ).

Второе свойство, таким образом, выполняется, поскольку $G 1 ∈ G 1 ⊆ G 2 {\ displaystyle G_ {1} \ in {\ mathcal {G}} _ {1} \ substeq {\ mathcal {G }} _ {2}}$ $G_1 \ in \ mathcal {G} _1 \ substeq \ mathcal {G} _2$ подразумевает

∫ G 1 E ⁡ [E ⁡ [X ∣ G 2] ∣ G 1] d P = ∫ G 1 E ⁡ [X ∣ G 2] d P = ∫ G 1 X d P. {\ displaystyle \ int _ {G_ {1}} \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [X \ mid {\ mathcal {G}} _ {2}] \ mid {\ mathcal {G}} _ { 1}] d \ operatorname {P} = \ int _ {G_ {1}} \ operatorname {E} [X \ mid {\ mathcal {G}} _ {2}] d \ operatorname {P} = \ int _ {G_ {1}} Xd \ operatorname {P}.}

{ \ displaystyle \ int _ {G_ {1}} \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [X \ mid {\ mathcal {G}} _ {2}] \ mid {\ mathcal {G}} _ {1 }] d \ operatorname {P} = \ int _ {G_ {1}} \ operatorname {E} [X \ mid {\ mathcal {G}} _ {2}] d \ operatorname {P} = \ int _ { G_ {1}} Xd \ operatorname {P}.}

Следствие. В особом случае, когда $G 1 = {∅, Ω} {\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ { 1} = \ {\ emptyset, \ Omega \}}$ $\ mathcal {G} _1 = \ {\ empty, \ Omega \}$ и $G 2 = σ (Y) {\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {2} = \ sigma (Y) }$ $\ mathcal { G} _2 = \ sigma (Y)$ , закон сглаживания сводится к

E ⁡ [E ⁡ [X ∣ Y]] = E ⁡ [X]. {\ displaystyle \ operatorname {E} [\ operatorname {E} [X \ mid Y]] = \ operatorname {E} [X].}

\ operatorname {E} [\ operatorname {E} [X \ mid Y]] = \ operatorname {E} [X].

Доказательство формулы разбиения

∑ i E ⁡ (X ∣ A i) P ⁡ (A i) = ∑ i ∫ Ω X (ω) P ⁡ (d ω ∣ A i) ⋅ P ⁡ (A i) = ∑ i ∫ Ω X (ω) P ⁡ (d ω ∩ A i) Знак равно ∑ я ∫ Ω Икс (ω) IA я (ω) п ⁡ (d ω) знак равно ∑ я E ⁡ (XIA я), {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ sum \ limits _ {i} \ operatorname {E} (X \ mid A_ {i}) \ operatorname {P} (A_ {i}) = \ sum \ limits _ {i} \ int \ limits _ {\ Omega} X (\ omega) \ operatorname { P} (d \ omega \ mid A_ {i}) \ cdot \ operatorname {P} (A_ {i}) \\ = \ sum \ limits _ {i} \ int \ limits _ {\ Omega} X (\ omega) \ operatorname {P} (d \ omega \ cap A_ {i}) \\ = \ sum \ limits _ {i} \ int \ limits _ {\ Omega} X (\ omega) I_ {A_ {i} } (\ omega) \ operatorname {P} (d \ omega) \\ = \ sum \ limits _ {i} \ operatorname {E} (XI_ {A_ {i}}), \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum \ limits _ {i} \ operatorname {E} (X \ mid A_ {i}) \ operatorname {P} (A_ {i}) = \ sum \ limits _ {i} \ int \ limits _ {\ Omega} X (\ omega) \ operatorname {P} (d \ omega \ mid A_ {i }) \ cdot \ operatorname {P} (A_ {i}) \\ = \ sum \ limits _ {i} \ int \ limits _ {\ Omega} X (\ omega) \ operatorname {P} (d \ omega \ cap A_ {i}) \\ = \ sum \ limits _ {i} \ int \ limits _ {\ Omega} X (\ omega) I_ {A_ {i}} (\ omega) \ operatorname {P} ( d \ omega) \\ = \ sum \ limits _ {i} \ operatorname {E} (XI_ {A_ {i}}), \ end {align}}}

где $IA i {\ displaystyle I_ {A_ {i}}}$ ${\ displaystyle I_ {A_ {i}}}$ - это индикаторная функция из набора $A i {\ displaystyle A_ {i} }$ $A_ {i}$ .

Если раздел ${A i} i = 0 n {\ displaystyle {\ {A_ {i} \}} _ {i = 0} ^ { n}}$ ${\ displaystyle {\ {A_ {i} \}} _ {i = 0} ^ {n}}$ конечно, тогда по линейности предыдущее выражение становится

E ⁡ (∑ i = 0 n XIA i) = E ⁡ (X), {\ displaystyle \ operatorname {E} \ left (\ sum \ limits _ {i = 0} ^ {n} XI_ {A_ {i}} \ right) = \ operatorname {E} (X),}

{\ displaystyle \ operatorname {E} \ left (\ sum \ limits _ {я = 0} ^ {n} XI_ {A_ {i}} \ right) = \ operatorname {E} (X),}

и готово.

Если, однако, раздел ${A i} i = 0 ∞ {\ displaystyle {\ {A_ {i} \}} _ {i = 0} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle {\ {A_ {i} \}} _ {i = 0} ^ {\ infty}}$ бесконечно, то мы используем теорему о доминируемой сходимости , чтобы показать, что

E ⁡ (∑ i = 0 n XIA i) → E ⁡ (X). {\ displaystyle \ operatorname {E} \ left (\ sum \ limits _ {i = 0} ^ {n} XI_ {A_ {i}} \ right) \ to \ operatorname {E} (X).}

{\ displaystyle \ OperatorName {E} \ left (\ sum \ limits _ {i = 0} ^ {n} XI_ {A_ {i}} \ right) \ to \ operatorname {E} (X).}

Действительно, для каждого $n ≥ 0 {\ displaystyle n \ geq 0}$ $n \ geq 0$ ,

| ∑ i = 0 n X I A i | ≤ | X | I ⋃ i = 0 n ⁡ A i ≤ | X |. {\ displaystyle \ left | \ sum _ {i = 0} ^ {n} XI_ {A_ {i}} \ right | \ leq | X | I _ {\ mathop {\ bigcup} \ limits _ {i = 0} ^ {n} A_ {i}} \ leq | X |.}

{\ displaystyle \ left | \ sum _ {i = 0} ^ {n} XI_ {A_ {i}} \ right | \ leq | X | I _ {\ mathop {\ bigcup} \ limits _ {i = 0} ^ {n} A_ {i }} \ leq | X |.}

Поскольку каждый элемент набора $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ попадает в конкретный раздел $A i {\ displaystyle A_ {i}}$ $A_ {i}$ , несложно проверить, что последовательность ${∑ i = 0 n XIA i} n = 0 ∞ {\ displaystyle {\ left \ {\ sum _ {i = 0} ^ {n} XI_ {A_ {i}} \ right \}} _ {n = 0} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyl e {\ left \ {\ sum _ {i = 0} ^ {n} XI_ {A_ {i}} \ right \}} _ {n = 0} ^ {\ infty}}$ сходится точечно к $X {\ displaystyle X }$ $X$ . По исходному предположению $E ⁡ | X | < ∞ {\displaystyle \operatorname {E} |X|<\infty }$ ${\ displaystyle \ OperatorName {E} | X | <\ infty}$ . Применение теоремы о доминирующей сходимости дает желаемое.

См. Также

фундаментальная теорема покера для одного практического применения.
Закон полной вероятности
Закон полной дисперсии
Закон полной ковариации
Закон общей совокупности
Распределение продукта # ожидание (применение Закона для доказательства того, что ожидание продукта является продуктом ожиданий)

Литература

Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-00710-2.(Теорема 34.4)
Кристофер Симс, «Заметки о случайных переменных, ожиданиях, плотности вероятности и мартингалах», особенно уравнения (16) - (18)