Закон полной вероятности

В теория вероятностей, закон (или формула ) полной вероятности является фундаментальным правилом, связывающим предельные вероятности с условные вероятности. Он выражает общую вероятность результата, который может быть реализован посредством нескольких различных событий - отсюда и название.

Содержание

• 1 Заявление
• 2 Неформальная формулировка
• 3 Пример
• 4 Другие названия
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки

Заявление

Закон полной вероятности - это теорема, которая гласит, что если $\{B\; n:\; n\; =\; 1,\; 2,\; 3,\dots \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{B\_\; \{n\}:\; n\; =\; 1,2,3,\; \backslash \; ldots\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$- конечный или счетно бесконечный раздел выборочного пространства (другими словами, набор попарно непересекающихся событий, union которых представляет собой все пространство выборки) и каждое событие $B\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{\; n\}\}$является измеримым, тогда для любого события $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$того же вероятностного пространства :

$P\; (\; A)\; =\; \sum \; N\; P\; (A\; \cap \; B\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (A)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; P\; (A\; \backslash \; cap\; B\_\; \{n\})\}$

или, альтернативно,

$P\; (A)\; Знак\; равно\; \sum \; N\; п\; (A\; \mid \; B\; n)\; P\; (B\; n),\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (A)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; P\; (A\; \backslash \; mid\; B\_\; \{n\})\; P\; (B\_\; \{n\}),\}$

где для любого $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, для которого $P\; (B\; n)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (B\_\; \{n\})\; =\; 0\}$эти тер мс просто не включаются в суммирование, потому что $P\; (A\; \mid \; B\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (A\; \backslash \; mid\; B\_\; \{n\})\}$конечно.

Суммирование можно интерпретировать как средневзвешенное и, следовательно, предельную вероятность, $P\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (A)\}$, иногда называют «средней вероятностью»; «Общая вероятность» иногда используется в менее формальных текстах.

Закон полной вероятности также может быть установлен для условных вероятностей.

$п\; (A\; \mid \; C)\; знак\; равно\; \sum \; N\; P\; (A\; \mid \; C\; \cap \; B\; n)\; P\; (B\; n\; \mid \; C)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (A\; \backslash \; mid\; C)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; P\; (A\; \backslash \; mid\; C\; \backslash \; cap\; B\_\; \{n\})\; P\; (B\_\; \{n\}\; \backslash \; mid\; C)\}$

Принимая $B\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n\}\}$, как указано выше, и предполагая $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$является событием , независимым от любого из $B\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n\}\}$:

$P\; (A\; \mid \; C)\; =\; \sum \; N\; P\; (A\; \mid \; C\; \cap \; B\; n)\; P\; (B\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (A\; \backslash \; mid\; C)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; P\; (A\; \backslash \; mid\; C\; \backslash \; cap\; B\_\; \{n\})\; P\; (B\_\; \{\; n\})\}$

Неформальная формулировка

Вышеупомянутое математическое утверждение можно интерпретировать следующим образом: дано событие $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, с известными условными вероятностями при любом из событий $B\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n\}\}$, каждое с известной вероятностью, какова полная вероятность того, что $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$будет? Ответ на этот вопрос дает $P\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (A)\}$.

Пример

Предположим, что два завода поставляют на рынок лампочки. Лампы Factory X работают более 5000 часов в 99% случаев, тогда как лампы Factory Y работают более 5000 часов в 95% случаев. Известно, что фабрика X поставляет 60% от общего количества ламп, а Y - 40% от общего количества ламп. Каков шанс, что купленная лампочка проработает более 5000 часов?

Применяя закон полной вероятности, мы имеем:

$P\; (A)\; =\; P\; (A\; \mid \; BX)\; \cdot \; P\; (BX)\; +\; P\; (A\; \mid \; BY)\; \cdot \; P\; (BY)\; =\; 99\; 100\; \cdot \; 6\; 10\; +\; 95\; 100\; \cdot \; 4\; 10\; =\; 594\; +\; 380\; 1000\; =\; 974\; 1000\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; P\; (A)\; =\; P\; (A\; \backslash \; mid\; B\_\; \{X\})\; \backslash \; cdot\; P\; (B\_\; \{X\})\; +\; P\; (A\; \backslash \; mid\; B\_\; \{Y\})\; \backslash \; cdot\; P\; (B\_\; \{Y\})\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; \{99\; \backslash \; over\; 100\}\; \backslash \; cdot\; \{6\; \backslash \; over\; 10\}\; +\; \{95\; \backslash \; over\; 100\}\; \backslash \; cdot\; \{4\; \backslash \; более\; 10\}\; =\; \{\{594\; +\; 380\}\; \backslash \; более\; 1000\}\; =\; \{974\; \backslash \; более\; 1000\}\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\}\}$

где

• $P\; (BX)\; =\; 6\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (B\_\; \{X\})\; =\; \{6\; \backslash \; over\; 10\}\}$- вероятность того, что купленная лампа была произведена на заводе X;
• $P\; (BY)\; =\; 4\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (B\_\; \{\; Y\})\; =\; \{4\; \backslash \; over\; 10\}\}$- вероятность того, что приобретенная лампа была произведена на заводе Y;
• $P\; (A\; \mid \; BX)\; =\; 99\; 100\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (A\; \backslash \; mid\; B\_\; \{X\})\; =\; \{99\; \backslash \; over\; 100\}\}$- вероятность того, что лампа, произведенная X, проработает более 5000 часов;
• $P\; (A\; \mid \; BY)\; =\; 95\; 100\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (A\; \backslash \; mid\; B\_\; \{Y\})\; =\; \{95\; \backslash \; over\; 100\}\}$- вероятность того, что лампа производства Y будет Я работаю более 5000 часов.

Таким образом, каждая приобретенная лампочка имеет 97,4% шанс проработать более 5000 часов.

Другие названия

Термин закон полной вероятности иногда используется для обозначения закона альтернатив, который является частным случаем закона полной вероятности применительно к дискретным случайным величинам. Один автор использует терминологию «правила средних условных вероятностей», в то время как другой называет его «непрерывным законом альтернатив» в непрерывном случае. Этот результат представлен Гримметом и Уэлшем как теорема о разделении, название, которое они также дали связанному закону общего ожидания.

См. Также

• Закон полной дисперсии
• Закон общей совокупности
• Предельное распределение

Примечания

1. ^ Цвиллинджер, Д., Кокоска, С. (2000) Стандартные таблицы вероятностей и статистики CRC и формулы, CRC Press. ISBN 1-58488-059-7 стр. 31.
2. ^Пол Э. Пфайффер (1978). Концепции теории вероятностей. Courier Dover Publications. С. 47–48. ISBN 978-0-486-63677-1.
3. ^Дебора Рамси (2006). Вероятность для чайников. Для чайников. п. 58. ISBN 978-0-471-75141-0.
4. ^Джим Питман (1993). Вероятность. Springer. п. 41. ISBN 0-387-97974-3.
5. ^Кеннет Баклавски (2008). Введение в вероятность с R. CRC Press. п. 179. ISBN 978-1-4200-6521-3.
6. ^Вероятность: Введение, Джеффри Гриммет и Доминик Уэлш, Oxford Science Публикации, 1986, теорема 1Б.

Ссылки

• Введение в вероятность и статистику Роберта Дж. Бивера, Барбары М. Бивер, Томсон Брукс / Коул, 2005, стр. 159.
• Теория статистики, Марк Дж. Шервиш, Springer, 1995.
• Обзор вероятностей Шаума, второе издание, Джон Дж. Шиллер, Сеймур Липшуц, McGraw – Hill Professional, 2010, стр. 89.
• Первый курс стохастических моделей, автор: ХК Таймс, Джон Вили и сыновья, 2003 г., стр. 431–432.
• Промежуточный курс теории вероятностей, Алан Гут, Springer, 1995 г., стр. 5–6.