Иррациональное вращение

редактировать

Штурмовская последовательность, генерируемая иррациональным вращением с тета = 0,2882748715208621 и x = 0,078943143

В математической теории динамических систем, иррациональное вращение - это отображение

T θ: [0, 1] → [0, 1], T θ (x) ≜ x + θ mod 1 {\ displaystyle T _ {\ theta}: [0,1] \ rightarrow [0,1], \ quad T _ {\ theta} (x) \ треугольникq x + \ theta \ mod 1}

T_ \ theta: [0,1] \ rightarrow [0,1], \ quad T_ \ theta (x) \ треугольникq x + \ theta \ mod 1

, где θ - иррациональное номер. При идентификации круга круга с R/Zили с интервалом [0, 1] с граничными точками, склеенными вместе, эта карта становится вращением круга на долю θ полного оборота (то есть угол 2πθ радиан). Поскольку θ иррационально, вращение имеет бесконечный порядок в круговой группе, и отображение T θ не имеет периодических орбит.

. можно использовать мультипликативную запись для иррационального вращения, введя отображение

T θ: S 1 → S 1, T θ (x) = xe 2 π i θ {\ displaystyle T _ {\ theta}: S ^ {1} \ в S ^ {1}, \ quad \ quad \ quad T _ {\ theta} (x) = xe ^ {2 \ pi i \ theta}}

T_ \ theta: S ^ 1 \ to S ^ 1, \ quad \ quad \ quad T_ \ theta (x) = xe ^ {2 \ pi i \ theta}

Связью между аддитивной и мультипликативной нотациями является групповой изоморфизм

φ: ([0, 1], +) → (S 1, ⋅) φ (x) = xe 2 π я θ {\ displaystyle \ varphi: ([0,1], +) \ to (S ^ { 1}, \ cdot) \ quad \ varphi (x) = xe ^ {2 \ pi i \ theta}}

{\ displaystyle \ varphi: ([0,1], +) \ to (S ^ {1}, \ cdot) \ quad \ varphi (x) = xe ^ {2 \ pi i \ theta}}

Можно показать, что φявляется изометрией.

Там - это сильное различие в поворотах окружности, которое зависит от того, рационально или иррационально θ. Рациональные вращения - менее интересные примеры динамических систем, потому что если $θ = ab {\ displaystyle \ theta = {\ frac {a} {b}}}$ $\ theta = \ frac {a} {b}$ и $gcd (a, b) Знак равно 1 {\ displaystyle \ gcd (a, b) = 1}$ $\ gcd (a, b) = 1$ , тогда $T θ b (x) = x {\ displaystyle T _ {\ theta} ^ {b} (x) = x}$ $T_ \ theta ^ b (x) = x$ , когда $x ∈ [0, 1] {\ displaystyle x \ in [0,1]}$ $x \ isin [0,1]$ . Также можно показать, что $T θ я (x) ≠ x {\ displaystyle T _ {\ theta} ^ {i} (x) \ neq x}$ $T_ \ theta ^ i (x) \ ne x$ , когда $1 ≤ i < b {\displaystyle 1\leq i$ $1 \ le i <b$ .

Содержание

1 Значение
2 Свойства
3 Обобщения
4 Приложения
5 См. Также
6 Ссылки
7 Дополнительная литература

Значение

Иррациональные вращения являются фундаментальным примером в теории динамических систем. Согласно теореме Данжуа, каждый сохраняющий ориентацию C-диффеоморфизм окружности с иррациональным числом вращения θявляется топологически сопряженным с Tθ. Иррациональное вращение - это сохраняющее измерение эргодическое преобразование, но это не смешивание. Отображение Пуанкаре для динамической системы, связанной с слоением Кронекера на торе с углом θ, является иррациональным поворотом на θ. C * -алгебры, связанные с иррациональными вращениями, известные как иррациональные алгебры вращений, широко изучались.

Свойства

Если θиррационально, то орбита любого элемента [0,1] при вращении Tθбудет плотной в [0, 1]. Следовательно, иррациональные повороты топологически транзитивны.
Если θиррационально, то Tθоднозначно эргодично.
Иррациональные (и рациональные) повороты не топологически перемешивающие.
Иррациональные вращения эргодичны по отношению к мере Лебега.
Иррациональные вращения однозначно эргодичны, причем мера Лебега служит единственной инвариантной вероятностной мерой.
Предположим [a,b] ⊂ [0,1]. Поскольку Tθэргодичен,. $lim N → ∞ 1 N ∑ n = 0 N - 1 χ [a, b) (T θ n (t)) = b - a {\ displaystyle {\ text {lim}} _ {N \ to \ infty} {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} \ chi _ {[a, b)} (T _ {\ theta} ^ {n} (t)) = ba}$ $\ text {lim } _ {N \ to \ infty} \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} \ chi _ {[a, b)} (T_ \ theta ^ n (t)) = ba$ .

Обобщения

Вращения окружности являются примерами групповых перемещений.
Для общего гомоморфизма, сохраняющего ориентацию fof Sмы называем гомеоморфизм $F: R → R {\ displaystyle F: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ $F: \ mathbb { R} \ to \ mathbb {R}$ подъемом fесли $π ∘ F = е ∘ π {\ displaystyle \ pi \ circ F = f \ circ \ pi}$ $\ pi \ circ F = f \ circ \ pi$ где $π (t) = t mod 1 {\ displaystyle \ pi (t) = t {\ bmod {1}}}$ $\ pi (t) = t \ bmod 1$ .
Вращение круга можно представить как подразделение круга на две части, которые затем обмениваются друг с другом. Подразделение на более чем две части, которые затем переставляются друг с другом, называется преобразованием интервального обмена.
Жесткие вращения компактных групп эффективно действуют как круговые вращения; инвариантной мерой является мера Хаара.

Приложения

Косые произведения над вращениями окружности: В 1969 Уильям А. Вич построил следующие примеры, а не однозначно эргодические динамические системы: " Возьмите две копии единичной окружности и отметьте отрезок Jдлиной 2 παпротив часовой стрелки на каждой с конечной точкой в 0. Теперь возьмите θиррационально. и рассмотрим следующую динамическую систему. Начните с точки p, скажем, в первом круге. Поверните против часовой стрелки на 2 πθ, пока орбита в первый раз не приземлится на J; затем переключитесь на соответствующую точку во втором круге, поверните на 2 πθ, пока точка не приземлится в первый раз в J; переключитесь обратно на первый круг и так далее. показал, что если θиррационально, то существует иррациональный α, для которого эта система минимальна, а мера Лебега не является однозначно эргодической ».

См. также

Ссылки

Дополнительная литература

C. Э. Сильва, Приглашение к эргодической теории, Студенческая математическая библиотека, том 42, Американское математическое общество, 2008 г. ISBN 978-0-8218-4420-5