Интегрирование по формулам редукции

редактировать

В интегральном исчислении интегрирование по формулам редукции - это метод, основанный на рекуррентных соотношениях. Он используется, когда выражение, содержащее целое число параметр, обычно в форме степеней элементарных функций, или произведения из трансцендентные функции и многочлены произвольной степени не могут быть интегрированы напрямую. Но с помощью других методов интегрирования можно настроить формулу сокращения для получения интеграла того же или подобного выражения с меньшим целочисленным параметром, постепенно упрощая интеграл до тех пор, пока его нельзя будет вычислить. Этот метод интеграции - один из самых ранних.

Содержание

1 Как найти формулу редукции
2 Как вычислить интеграл
- 2.1 Примеры
3 Таблицы формул интегральной редукции
- 3.1 Рациональные функции
- 3.2 Трансцендентные функции
4 Ссылки
5 Библиография

Как найти формулу редукции

Формула редукции может быть получена с использованием любого из распространенных методов интегрирования, например, интегрирование заменой, интегрирование по частям, интегрирование с помощью тригонометрической подстановки, интегрирование по частям и т. Д. Основная идея состоит в том, чтобы выразить интеграл, включающий целочисленный параметр (например, мощность) функции, представленной I n, в терминах интеграла, который включает более низкое значение параметра (меньшую степень) этой функции, например I n-1 или I п-2. Это делает формулу редукции типом рекуррентного отношения. Другими словами, формула редукции выражает интеграл

I n = ∫ f (x, n) dx, {\ displaystyle I_ {n} = \ int f (x, n) \, {\ text {d}} x,}

I_n = \ int f (x, n) \, \ text {d} x,

через

I k = ∫ f (x, k) dx, {\ displaystyle I_ {k} = \ int f (x, k) \, {\ text {d}} x,}

I_k = \ int f (x, k) \, \ text {d} x,

где

k < n. {\displaystyle k

k <n.

Как вычислить интеграл

Чтобы вычислить интеграл, мы устанавливаем n равным его значению и используем формулу сокращения, чтобы выразить его через (n - 1) или ( п - 2) интегральная. Интеграл с меньшим индексом может использоваться для вычисления более высоких индексов; процесс продолжается до тех пор, пока мы не достигнем точки, в которой интегрируемая функция может быть вычислена, обычно когда ее индекс равен 0 или 1. Затем мы выполняем обратную подстановку предыдущих результатов, пока не вычислим I n.

Примеры

Ниже приведены примеры процедуры.

Интеграл косинус

Обычно интегралы типа

∫ cos n ⁡ xdx, {\ displaystyle \ int \ cos ^ {n} x \, {\ text {d}} x, \, \!}

\ int \ cos ^ nx \, \ text {d} x, \, \!

можно оценить по формуле приведения.

∫ соз n ⁡ (x) dx {\ displaystyle \ int \ cos ^ {n} (x) \, {\ text {d}} x \!}

\int \cos^n (x) \, \text{d}x\!

, для n = 1, 2... 30

Начните с установки:

I n = ∫ cos n ⁡ xdx. {\ displaystyle I_ {n} = \ int \ cos ^ {n} x \, {\ text {d}} x. \, \!}

I_n = \int \cos^n x\,\text{d}x. \,\!

Теперь перепишите как:

I n = ∫ cos n - 1 ⁡ x соз ⁡ xdx, {\ displaystyle I_ {n} = \ int \ cos ^ {n-1} x \ cos x \, {\ text {d}} x, \, \!}

I_n = \int \cos^ {n-1} x \cos x \,\text{d}x, \,\!

Интегрирование этой заменой:

cos ⁡ xdx = d (sin ⁡ x), {\ displaystyle \ cos x \, {\ text {d}} x = {\ text {d}} (\ sin x), \, \!}

\ cos x \, \ text {d} x = \ text {d} (\ sin x), \, \!

I n = cos n - 1 ⁡ xd (sin ⁡ x). {\ displaystyle I_ {n} = \ int \ cos ^ {n-1} x \, {\ text {d}} (\ sin x). \!}

I_n = \int \cos^{n-1} x \,\text{d}(\sin x). \!

Теперь интегрируем по частям:

∫ cos n ⁡ xdx = cos n - 1 ⁡ x sin ⁡ x - ∫ sin ⁡ xd (cos n - 1 ⁡ x) = cos n - 1 ⁡ x sin ⁡ x + (n - 1) ∫ sin ⁡ x cos n - 2 ⁡ x sin ⁡ xdx = cos n - 1 ⁡ x sin ⁡ x + (n - 1) ∫ cos n - 2 ⁡ x sin 2 ⁡ xdx = cos n - 1 ⁡ x sin ⁡ x + (n - 1) ∫ cos n - 2 ⁡ x (1 - cos 2 ⁡ x) dx = cos n - 1 ⁡ x sin ⁡ x + (n - 1) ∫ cos n - 2 ⁡ xdx - (n - 1) ∫ cos n ⁡ xdx = cos N - 1 ⁡ Икс грех ⁡ Икс + (N - 1) I N - 2 - (N - 1) I N, {\ Displaystyle {\ begin {align} \ int \ cos ^ {n} x \, {\ text {d}} x = \ cos ^ {n-1} x \ sin x- \ int \ sin x \, {\ text {d}} (\ cos ^ {n-1} x) \\ = \ cos ^ {n-1} x \ sin x + (n-1) \ int \ sin x \ cos ^ {n-2} x \ sin x \, {\ text {d}} x \\ = \ cos ^ { n-1} x \ sin x + (n-1) \ int \ cos ^ {n-2} x \ sin ^ {2} x \, {\ text {d}} x \\ = \ cos ^ {n -1} x \ sin x + (n-1) \ int \ cos ^ {n-2} x (1- \ cos ^ {2} x) \, {\ text {d}} x \\ = \ cos ^ {n-1} x \ sin x + (n-1) \ int \ cos ^ {n-2} x \, {\ text {d}} x- (n-1) \ int \ cos ^ {n} x \, {\ text {d}} x \\ = \ cos ^ {n-1} x \ sin x + (n-1) I_ {n-2} - (n-1) I_ {n}, \ конец{ выровнено}} \,}

\begin{align} \int \cos^nx \,\text{d}x = \cos^{ n-1} x \sin x - \int \sin x \,\text{d}(\cos^{n-1} x) \\ = \cos^{n-1} x \sin x + ( n-1) \int \sin x \cos^{n-2} x\sin x \,\text{d}x\\ = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \sin^2 x \,\text{d}x\\ = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \ cos^{n-2} x (1-\cos^2 x)\,\text{d}x\\ = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \,\text{d}x - (n-1)\int \cos^n x \,\text{d}x\\ = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n, \end{align} \,

решение для I n:

I n + (n - 1) I n = cos n - 1 ⁡ x sin ⁡ x + (n - 1) I n - 2, {\ displaystyle I_ {n} \ + (n-1) I_ {n} \ = \ cos ^ {n-1} x \ sin x \ + \ (n-1) I_ {n-2}, \,}

I_n \ + (n-1) I_n \ = \ cos ^ {n-1 } x \ sin x \ + \ (n-1) I_ {n-2}, \,

n Я N знак равно соз N - 1 ⁡ (Икс) грех ⁡ Икс + (N - 1) I N - 2, {\ Displaystyle NI_ {п} \ = \ соз ^ {п-1} (х) \ грех х \ + (n-1) I_ {n-2}, \,}

n I_n\ = \cos^{n-1} (x) \sin x\ + (n-1) I_{n-2}, \,

I n = 1 n cos n - 1 ⁡ x sin ⁡ x + n - 1 n I n - 2, {\ displaystyle I_ {n} \ = {\ frac {1} {n}} \ cos ^ {n-1} x \ sin x \ + {\ frac {n-1} {n}} I_ {n-2}, \,}

I_n \ = \ frac {1} {n} \ co s ^ {n-1} x \ sin x \ + \ frac {n-1} {n} I_ {n-2}, \,

поэтому формула редукции:

∫ cos n ⁡ xdx = 1 n cos n - 1 ⁡ x sin ⁡ x + n - 1 n ∫ cos n - 2 ⁡ xdx. {\ displaystyle \ int \ cos ^ {n} x \, {\ text {d}} x \ = {\ frac {1} {n}} \ cos ^ {n-1} x \ sin x + {\ frac { n-1} {n}} \ int \ cos ^ {n-2} x \, {\ text {d}} x. \!}

\ int \ cos ^ nx \, \ text {d} x \ = \ fr ac {1} {n} \ cos ^ {n-1} x \ sin x + \ frac {n-1} {n} \ int \ cos ^ {n-2} x \, \ text {d} x. \!

Чтобы дополнить пример, приведенное выше может использоваться для вычисления интеграла для (скажем) n = 5;

I 5 = ∫ cos 5 ⁡ x d x. {\ displaystyle I_ {5} = \ int \ cos ^ {5} x \, {\ text {d}} x. \, \!}

I_5 = \ int \ cos ^ 5 x \, \ text {d} x. \, \!

Расчет нижних индексов:

n = 5, I 5 = 1 5 соз 4 ⁡ Икс грех ⁡ Икс + 4 5 I 3, {\ displaystyle n = 5, \ quad I_ {5} = {\ tfrac {1} {5}} \ cos ^ {4} x \ sin x + { \ tfrac {4} {5}} I_ {3}, \,}

n=5, \quad I_5 = \tfrac{1}{5} \cos^4 x \sin x + \tfrac{4}{5} I_3, \,

n = 3, I 3 = 1 3 cos 2 ⁡ x sin ⁡ x + 2 3 I 1, {\ displaystyle n = 3, \ quad I_ {3} = {\ tfrac {1} {3}} \ cos ^ {2} x \ sin x + {\ tfrac {2} {3}} I_ {1}, \,}

n=3, \quad I_3 = \tfrac{1}{3} \cos^2 x \sin x + \tfrac{2}{3} I_1, \,

обратная замена :

∵ I 1 знак равно ∫ соз ⁡ xdx = грех ⁡ x + C 1, {\ displaystyle \ потому что I_ {1} \ = \ int \ cos x \, {\ text {d}} x = \ sin x + C_ {1}, \,}

\because I_1\ = \int \cos x \,\text{d}x = \sin x + C_1,\,

∴ I 3 = 1 3 cos 2 ⁡ x sin ⁡ x + 2 3 sin ⁡ x + C 2, C 2 = 2 3 C 1, {\ displaystyle \, следовательно, I_ { 3} \ = {\ tfrac {1} {3}} \ cos ^ {2} x \ sin x + {\ tfrac {2} {3}} \ sin x + C_ {2}, \ quad C_ {2} \ = {\ tfrac {2} {3}} C_ {1}, \,}

\ поэтому I_3 \ = \ tfrac {1} {3} \ cos ^ 2 x \ sin x + \ tfrac {2} {3} \ sin x + C_2, \ quad C_2 \ = \ tfrac {2} {3} C_1, \,

I 5 = 1 5 cos 4 ⁡ x sin ⁡ x + 4 5 [1 3 cos 2 ⁡ x sin ⁡ x + 2 3 грех ⁡ Икс] + С, {\ displaystyle I_ {5} \ = {\ frac {1} {5}} \ cos ^ {4} x \ sin x + {\ frac {4} {5}} \ left [{ \ frac {1} {3}} \ cos ^ {2} x \ sin x + {\ frac {2} {3}} \ sin x \ right] + C, \,}

I_5 \ = \ frac {1} {5} \ cos ^ 4 x \ sin x + \ frac {4} {5} \ left [\ frac {1} {3} \ cos ^ 2 x \ sin x + \ frac {2} {3 } \ sin x \ r ight] + C, \,

где C - постоянная.

Экспоненциальный интеграл

Другой типичный пример:

∫ x n e a x d x. {\ displaystyle \ int x ^ {n} e ^ {ax} \, {\ text {d}} x. \, \!}

\ int x ^ ne ^ {ах} \, \ текст {д} х. \, \!

Начните с установки:

I n = ∫ x n e a x d x. {\ displaystyle I_ {n} = \ int x ^ {n} e ^ {ax} \, {\ text {d}} x. \, \!}

I_n = \int x^n e^{ax} \,\text{d}x. \,\!

Интегрирование с заменой:

xndx = d ( xn + 1) n + 1, {\ displaystyle x ^ {n} \, {\ text {d}} x = {\ frac {{\ text {d}} (x ^ {n + 1})} {n +1}}, \, \!}

x^n \,\text{d}x = \frac{\text{d} ( x^{n+1})}{n+1}, \,\!

I n = 1 n + 1 ∫ eaxd (xn + 1), {\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {1} {n + 1}} \ int e ^ {ax} \, {\ text {d}} (x ^ {n + 1}), \!}

I_n = \frac{1}{n+1} \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n+1}), \!

Теперь интегрируем по частям:

∫ eaxd (xn + 1) = xn + 1 eax - ∫ xn + 1 d (eax) = xn + 1 eax - a ∫ xn + 1 eaxdx, {\ displaystyle {\ begin {align} \ int e ^ {ax} \, {\ text {d}} (x ^ {n + 1}) = x ^ {n + 1} e ^ {ax} - \ int x ^ {n + 1} \, {\ text {d}} (e ^ {ax}) \\ = x ^ {n + 1} e ^ {ax} -a \ int x ^ {n + 1} e ^ {ax} \, {\ text {d}} x, \ end {align}} \!}

\begin{align} \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n+1}) = x^{n+1}e^{ax} - \int x^{n+1} \,\text{d}(e^{ax}) \\ = x^{n+1}e^{ax} - a \int x^{n+1} e^{ax}\,\text{d}x, \end{align} \!

(N + 1) I n = xn + 1 eax - a I n + 1, {\ displaystyle (n + 1) I_ {n} = x ^ {n + 1} e ^ {ax} -aI_ {n + 1}, \!}

(n+1) I_n = x^{n+1}e^{ax} - a I_{n+1}, \!

сдвиг индексов назад на 1 (так, что n + 1 → n, n → n - 1):

n I n - 1 = xneax - a I n, {\ displaystyle nI_ {n -1} = x ^ {n} e ^ {ax} -aI_ {n}, \!}

n I_ {n-1} = x ^ ne ^ {ax} - a I_n, \!

решение для I n:

I n = 1 a (xneax - n I n - 1), {\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {1} {a}} \ left (x ^ {n} e ^ {ax} -n I_ {n-1} \ right), \, \!}

I_n = \ frac {1} {a} \ left (x ^ ne ^ {ax} - n I_ {n-1} \ right), \, \!

, поэтому формула редукции имеет следующий вид:

∫ x n e a x d x = 1 a (x n e a x - n ∫ x n - 1 e a x d x). {\ displaystyle \ int x ^ {n} e ^ {ax} \, {\ text {d}} x = {\ frac {1} {a}} \ left (x ^ {n} e ^ {ax} - n \ int x ^ {n-1} e ^ {ax} \, {\ text {d}} x \ right). \!}

\int x^n e^{ax} \,\text{d}x = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x \right). \!

Альтернативный способ вывода начинается с замены $eax {\ displaystyle e ^ {ax}}$ $e^ {{ax}}$ .

Интеграция путем подстановки:

$eaxdx = d (eax) a, {\ displaystyle e ^ {ax} \, {\ text {d}} x = {\ гидроразрыва {{\ text {d}} (e ^ {ax})} {a}}, \, \!}$ $e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {{\text{d}}(e^{ax})}{a}},\,\!$

$I n = 1 a ∫ xnd (eax), {\ displaystyle I_ {n} = { \ frac {1} {a}} \ int x ^ {n} \, {\ text {d}} (e ^ {ax}), \!}$ $I_{n}={\frac {1}{a}}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax}),\!$

Теперь интегрируем по частям:

$∫ xnd ( eax) = xneax - ∫ eaxd (xn) = xneax - n ∫ eaxxn - 1 dx, {\ displaystyle {\ begin {align} \ int x ^ {n} \, {\ text {d}} (e ^ {ax }) = x ^ {n} e ^ {ax} - \ int e ^ {ax} \, {\ text {d}} (x ^ {n}) \\ = x ^ {n} e ^ { ax} -n \ int e ^ {ax} x ^ {n-1} \, {\ text {d}} x, \ end {align}} \!}$ ${\begin{aligned}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax})=x^{n}e^{ax}-\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n})\\=x^{n}e^{ax}-n\int e^{ax}x^{n-1}\,{\text{d}}x,\end{aligned}}\!$

, которая дает формулу сокращения при обратной подстановке:

$I n = 1 a (xneax - n I n - 1), {\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {1} {a}} \ left (x ^ {n} e ^ {ax} - nI_ {n-1} \ right), \, \!}$ $I_n = \ frac {1} {a} \ left (x ^ ne ^ {ax} - n I_ {n-1} \ right), \, \!$

что эквивалентно:

∫ x n e a x d x знак равно 1 a (x n e a x - n ∫ x n - 1 e a x d x). {\ displaystyle \ int x ^ {n} e ^ {ax} \, {\ text {d}} x = {\ frac {1} {a}} \ left (x ^ {n} e ^ {ax} - n \ int x ^ {n-1} e ^ {ax} \, {\ text {d}} x \ right). \!}

\int x^n e^{ax} \,\text{d}x = \frac{1}{a} \left ( x^ne^{ax} - n \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x \right). \!

Таблицы формул интегральной редукции

Рациональные функции

Следующие интегралы содержат:

Факторы линейного радикала $ax + b {\ displaystyle {\ sqrt {ax + b}} \, \ !}$ $\sqrt{ax+b}\,\!$
Линейные множители $px + q {\ displaystyle {px + q} \, \!}$ ${px + q} \, \!$ и линейный радикал $ax + b {\ displaystyle {\ sqrt {ax + b}} \, \!}$ $\sqrt{ax+b}\,\!$
Квадратичные множители $x 2 + a 2 {\ displaystyle x ^ {2} + a ^ {2} \, \!}$ $x^2+a^2\,\!$
Квадратичные множители $x 2 - a 2 {\ displaystyle x ^ {2} -a ^ {2} \, \!}$ $x^2-a^2\,\!$ , для $x>a {\ displaystyle x>a \, \! }$ $x>a \, \!$
Квадратичные множители $a 2 - x 2 {\ displaystyle a ^ {2} -x ^ {2} \, \!}$ $a^2-x^2\,\!$ для $x < a {\displaystyle x$ $x<a\,\!$
(неприводимый ) квадратичные множители $ax 2 + bx + c {\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c \, \!}$ $ax ^ 2 + bx + c \, \!$
Радикалы неприводимых квадратичных множителей $ax 2 + bx + c {\ displaystyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} \, \!}$ $\sqrt{ax^2+bx+c}\,\!$

Integral	Формула редукции
$I n = ∫ xnax + bdx {\ displaystyle I_ {n} = \ int {\ frac {x ^ {n}} {\ sqrt { ax + b}}} \, {\ text {d}} x \, \!}$ $I_n = \ int \ frac {x ^ n} {\ sqrt {ax + b}} \, \ text {d} x \, \!$	$I n = 2 xnax + ba (2 n + 1) - 2 nba (2 n + 1) I n - 1 {\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {2x ^ {n} {\ sqrt {ax + b}}} {a (2n + 1)}} - {\ frac {2nb} {a (2n + 1) }} I_ {n-1} \, \!}$ $I_n = \frac{2x^n\sqrt{ax+b}}{a(2n+1)} - \frac{2nb}{a(2n+1)} I_{n-1}\,\!$
$I n = ∫ dxxnax + b {\ displaystyle I_ {n} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {x ^ { n} {\ sqrt {ax + b}}}} \, \!}$ $I_n = \ int \ frac {\ text {d} x} {x ^ n \ sqrt {ax + b}} \, \!$	$I n = - ax + b (n - 1) bxn - 1 - a (2 n - 3) 2 b (n - 1) I n - 1 {\ displaystyle I_ {n} = - {\ frac {\ sqrt {ax + b}} {(n-1) bx ^ {n-1}}} - {\ frac {a (2n- 3)} {2b (n-1)}} I_ {n-1} \, \!}$ $I_n = - \ frac {\ sqrt {ax + b}} {(n-1) bx ^ {n-1}} - \ frac {a (2n-3)} {2b (n-1)} I_ {n-1} \, \!$
$I n = ∫ xnax + bdx {\ displaystyle I_ {n} = \ int x ^ {n} {\ sqrt {ax + b}} \, {\ text {d}} x \, \!}$ $I_n = \int x^n\sqrt{ax+b}\,\text{d}x\,\!$	$I n = 2 xn (ax + b) 3 a (2 n + 3) - 2 nba (2 n + 3) I n - 1 {\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {2x ^ {n} {\ sqrt {(ax + b) ^ {3}}}} {a (2n + 3)}} - { \ frac {2nb} {a (2n + 3)}} I_ {n-1} \, \!}$ $I_n = \frac{2x^n\sqrt{(ax+b)^3}}{a(2n+3)}-\frac{2nb}{a(2n+3)}I_{n-1}\,\!$
$Я м, п Знак равно ∫ dx (ax + b) m (px + q) n {\ displaystyle I_ {m, n} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {(ax + b) ^ {m} (px + q) ^ {n}}} \, \!}$ $I_{m,n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(ax+b)^{m}(px+q)^{n}}}\,\!$	$I m, n = {- 1 (n - 1) (bp - aq) [1 (ax + b) m - 1 (px + q) n - 1 + a (m + n - 2) I m, n - 1] 1 (m - 1) (bp - aq) [1 (ax + b) m - 1 (px + q) n - 1 + п (м + n - 2) я м - 1, n] {\ displaystyle I_ {m, n} = {\ begin {case} - {\ frac {1} {(n-1) (bp-aq) }} \ left [{\ frac {1} {(ax + b) ^ {m-1} (px + q) ^ {n-1}}} + a (m + n-2) I_ {m, n -1} \ right] \\ {\ frac {1} {(m-1) (bp-aq)}} \ left [{\ frac {1} {(ax + b) ^ {m-1} (px + q) ^ {n-1}}} + p (m + n-2) I_ {m-1, n} \ right] \ end {case}} \, \!}$ ${\ displaystyle I_ {m, n} = {\ begin {cases} - {\ frac {1 } {(n-1) (bp-aq)}} \ left [{\ frac {1} {(ax + b) ^ {m-1} (px + q) ^ {n-1}}} + a (m + n-2) I_ {m, n-1} \ right] \\ {\ frac {1} {(m-1) (bp-aq)}} \ left [{\ frac {1} {( ax + b) ^ {m-1} (px + q) ^ {n-1}}} + p (m + n-2) I_ {m-1, n} \ right] \ end {case}} \, \!}$
$I m, n = ∫ (ax + b) m (px + q) ndx {\ displaystyle I_ {m, n} = \ int {\ frac {(ax + b) ^ {m}} {(px + q) ^ {n}} } \, {\ text {d}} x \, \!}$ ${\ displaystyle I_ {m, n} = \ int {\ frac {(ax + b) ^ {m}} {(px + q) ^ {n}} } \, {\ text {d}} x \, \!}$	$I m, n = {- 1 (n - 1) (bp - aq) [(ax + b) m + 1 (px + q) n - 1 + a (n - m - 2) I m, n - 1] - 1 (n - m - 1) p [(ax + b) m (px + q) n - 1 + m (bp - aq) я m - 1, n] - 1 (n - 1) p [(ax + b) m (px + q) n - 1 - я m - 1, n - 1] {\ displaystyle I_ {m, n} = {\ begin {case} - {\ frac {1} {(n-1) (bp-aq)}} \ left [{\ frac {(ax + b) ^ {m + 1}} {(px + q) ^ {n-1}}} + a (nm-2) I_ {m, n-1} \ right] \\ - {\ frac {1} {(nm-1) p}} \ left [{\ frac { (ax + b) ^ {m}} {(px + q) ^ {n-1}}} + m (bp-aq) I_ {m-1, n} \ right] \\ - {\ frac {1 } {(n-1) p}} \ left [{\ frac {(ax + b) ^ {m}} {(px + q) ^ {n-1}}} - amI_ {m-1, n- 1} \ right] \ end {case}} \, \!}$ ${\ displaystyle I_ {m, n} = {\ begin {cases} - {\ frac {1} {(n-1) (bp-aq)}} \ left [{\ frac {(ax + b) ^ {m + 1}} {(px + q) ^ {n-1 }}} + a (nm-2) I_ {m, n-1} \ right] \\ - {\ frac {1} {(nm-1) p}} \ left [{\ frac {(ax + b) ^ {m}} {(px + q) ^ {n-1}}} + m (bp-aq) I_ {m-1, n} \ right] \\ - {\ frac {1} {(n -1) p}} \ left [{\ frac {(ax + b) ^ {m}} {(px + q) ^ {n-1}}} - amI_ {m-1, n-1} \ right ] \ end {case}} \, \!}$

Integral	Формула сокращения
$I n = ∫ (px + q) nax + bdx {\ displaystyle I_ {n} = \ int {\ frac {(px + q) ^ {n}} {\ sqrt {ax + b}}} \, {\ text {d}} x \, \!}$ $I_n = \ int \ frac {(px + q) ^ n} { \ sqrt {ax + b}} \, \ text {d} x \, \!$	$∫ (px + q) nax + bdx = 2 (px + q) n + 1 ax + bp (2 n + 3) + bp - aqp (2 n + 3) I n {\ displaystyle \ int (px + q) ^ {n} { \ sqrt {ax + b}} \, {\ text {d}} x = {\ frac {2 (px + q) ^ {n + 1} {\ sqrt {ax + b}}} {p (2n + 3)}} + {\ frac {bp-aq} {p (2n + 3)}} I_ {n} \, \!}$ $\int (px+q)^n\sqrt{ax+b} \,\text{d}x = \frac{2(px+q)^{n+1}\sqrt{ax+b}}{p(2n+3)}+\frac{bp-aq}{p(2n+3)}I_n\,\!$ $I n = 2 (px + q) nax + ba (2 n + 1) + 2 N (aq - bp) a (2 n + 1) I n - 1 {\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {2 (px + q) ^ {n} {\ sqrt {ax + b }}} {a (2n + 1)}} + {\ frac {2n (aq-bp)} {a (2n + 1)}} I_ {n-1} \, \!}$ $I_n=\frac{2(px+q)^n\sqrt{ax+b}}{a(2n+1)}+\frac{2n(aq-bp)}{a(2n+1)}I_{n-1}\,\!$
$I n = ∫ dx (px + q) nax + b {\ displaystyle I_ {n} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {(px + q) ^ {n} {\ sqr t {ax + b}}}} \, \!}$ $I_n=\int \frac{\text{d}x}{(px+q)^n\sqrt{ax+b}}\,\!$	$∫ ax + b (px + q) ndx = - ax + bp (n - 1) (px + q) n - 1 + a 2 p ( п - 1) I n {\ displaystyle \ int {\ frac {\ sqrt {ax + b}} {(px + q) ^ {n}}} \, {\ text {d}} x = - {\ frac {\ sqrt {ax + b}} {p (n-1) (px + q) ^ {n-1}}} + {\ frac {a} {2p (n-1)}} I_ {n} \, \!}$ $\int {\frac {\sqrt {ax+b}}{(px+q)^{n}}}\,{\text{d}}x=-{\frac {\sqrt {ax+b}}{p(n-1)(px+q)^{n-1}}}+{\frac {a}{2p(n-1)}}I_{n}\,\!$ $I n = - ax + b (n - 1) (aq - bp) (px + q) n - 1 + a (2 n - 3) 2 (n - 1) (aq - bp) I n - 1 {\ displaystyle I_ {n} = - {\ frac {\ sqrt {ax + b}} {(n-1) (aq-bp) (px + q) ^ {n-1}}} + {\ frac {a (2n-3)} {2 (n-1) (aq-bp)}} I_ {n-1} \, \!}$ $I_n = - \ frac {\ sqrt {ax + b}} {(n-1) (aq-bp) (px + q) ^ {n- 1}} + \ frac {a (2n-3)} {2 (n-1) (aq-bp)} I_ {n-1} \, \!$

Integral

Формула сокращения

I n = ∫ (px + q) nax + bdx {\ displaystyle I_ {n} = \ int {\ frac {(px + q) ^ {n}} {\ sqrt {ax + b}}} \, {\ text {d}} x \, \!}

I_n = \ int \ frac {(px + q) ^ n} { \ sqrt {ax + b}} \, \ text {d} x \, \!

∫ (px + q) nax + bdx = 2 (px + q) n + 1 ax + bp (2 n + 3) + bp - aqp (2 n + 3) I n {\ displaystyle \ int (px + q) ^ {n} { \ sqrt {ax + b}} \, {\ text {d}} x = {\ frac {2 (px + q) ^ {n + 1} {\ sqrt {ax + b}}} {p (2n + 3)}} + {\ frac {bp-aq} {p (2n + 3)}} I_ {n} \, \!}

\int (px+q)^n\sqrt{ax+b} \,\text{d}x = \frac{2(px+q)^{n+1}\sqrt{ax+b}}{p(2n+3)}+\frac{bp-aq}{p(2n+3)}I_n\,\!

$I n = 2 (px + q) nax + ba (2 n + 1) + 2 N (aq - bp) a (2 n + 1) I n - 1 {\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {2 (px + q) ^ {n} {\ sqrt {ax + b }}} {a (2n + 1)}} + {\ frac {2n (aq-bp)} {a (2n + 1)}} I_ {n-1} \, \!}$ $I_n=\frac{2(px+q)^n\sqrt{ax+b}}{a(2n+1)}+\frac{2n(aq-bp)}{a(2n+1)}I_{n-1}\,\!$

I n = ∫ dx (px + q) nax + b {\ displaystyle I_ {n} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {(px + q) ^ {n} {\ sqr t {ax + b}}}} \, \!}

I_n=\int \frac{\text{d}x}{(px+q)^n\sqrt{ax+b}}\,\!

∫ ax + b (px + q) ndx = - ax + bp (n - 1) (px + q) n - 1 + a 2 p ( п - 1) I n {\ displaystyle \ int {\ frac {\ sqrt {ax + b}} {(px + q) ^ {n}}} \, {\ text {d}} x = - {\ frac {\ sqrt {ax + b}} {p (n-1) (px + q) ^ {n-1}}} + {\ frac {a} {2p (n-1)}} I_ {n} \, \!}

\int {\frac {\sqrt {ax+b}}{(px+q)^{n}}}\,{\text{d}}x=-{\frac {\sqrt {ax+b}}{p(n-1)(px+q)^{n-1}}}+{\frac {a}{2p(n-1)}}I_{n}\,\!

$I n = - ax + b (n - 1) (aq - bp) (px + q) n - 1 + a (2 n - 3) 2 (n - 1) (aq - bp) I n - 1 {\ displaystyle I_ {n} = - {\ frac {\ sqrt {ax + b}} {(n-1) (aq-bp) (px + q) ^ {n-1}}} + {\ frac {a (2n-3)} {2 (n-1) (aq-bp)}} I_ {n-1} \, \!}$ $I_n = - \ frac {\ sqrt {ax + b}} {(n-1) (aq-bp) (px + q) ^ {n- 1}} + \ frac {a (2n-3)} {2 (n-1) (aq-bp)} I_ {n-1} \, \!$

Интегральное	Формула приведения
$I n = ∫ dx (x 2 + a 2) n {\ displaystyle I_ {n} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {(x ^ {2} + a ^ {2 }) ^ {n}}} \, \!}$ $I_n = \ int \ frac { \ text {d} x} {(x ^ 2 + a ^ 2) ^ n} \, \!$	$I n = x 2 a 2 (n - 1) (x 2 + a 2) n - 1 + 2 n - 3 2 a 2 (n - 1) I n - 1 {\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {x} {2a ^ {2} (n-1) (x ^ {2} + a ^ {2}) ^ {n-1}} } + {\ frac {2n-3} {2a ^ {2} (n-1)}} I_ {n-1} \, \!}$ $I_n= \frac{x}{2a^2(n-1)(x^2+a^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}I_{n-1}\,\!$
$I n, m = ∫ dxxm (x 2 + a 2) n {\ displaystyle I_ {n, m} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {x ^ {m} (x ^ {2} + a ^ {2}) ^ {n} }} \, \!}$ $I_ {n, m} = \ int \ frac {\ text {d} x} {x ^ m (x ^ 2 + a ^ 2) ^ n} \, \!$	$a 2 I n, m = I m, n - 1 - I m - 2, n {\ displaystyle a ^ {2} I_ {n, m} = I_ {m, n-1} -I_ {m-2, n} \, \!}$ $a^2I_{n,m}= I_{m,n-1}-I_{m-2,n}\,\!$
$I n, m = ∫ xm (x 2 + a 2) ndx {\ displaystyle I_ {n, m} = \ int {\ frac {x ^ {m}} {(x ^ {2} + a ^ {2}) ^ {n}}} \, {\ text { d}} x \, \!}$ $I_{n,m}= \int \frac{x^m}{(x^2+a^2)^n} \,\text{d}x\,\!$	$I n, m = I m - 2, n - 1 - a 2 I m - 2, n {\ displaystyle I_ {n, m} = I_ {m-2, n-1} -a ^ {2} I_ {m-2, n} \, \!}$ $I_{n,m}= I_{m-2,n-1}-a^2I_{m-2,n}\,\!$

Интеграл	Формула приведения
$I n = ∫ dx (x 2 - a 2) п {\ displaystyle I_ {n} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {(x ^ {2} -a ^ {2}) ^ {n}}} \, \!}$ $I_n = \ int \ frac {\ text {d} x} { (x ^ 2-a ^ 2) ^ n} \, \!$	$I n = - x 2 a 2 (n - 1) (x 2 - a 2) n - 1 - 2 n - 3 2 a 2 (n - 1) I n - 1 {\ displaystyle I_ {n} = - {\ frac {x} {2a ^ {2} (n-1) (x ^ {2} -a ^ {2}) ^ {n-1}}} - {\ frac {2n-3} {2a ^ {2} (n-1)}} I_ {n-1} \, \!}$ $I_n= -\frac{x}{2a^2(n-1)(x^2-a^2)^{n-1}}-\frac{2n-3}{2a^2(n-1)}I_{n-1}\,\!$
$I n, m = ∫ dxxm (x 2 - a 2) n {\ displaystyle I_ {n, m} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {x ^ {m} (x ^ {2} -a ^ {2}) ^ {n}}} \, \!}$ $I_{n,m}= \int \frac{\text{d}x}{x^m(x^2-a^2)^n}\,\!$	$a 2 I n, m = I m - 2, n - I m, n - 1 {\ displaystyle {a ^ {2}} I_ {n, m} = I_ {m-2, n} -I_ {m, n- 1} \, \!}$ ${a^2}I_{n,m}= I_{m-2,n}-I_{m,n-1}\,\!$
$I n, m = ∫ xm (x 2 - a 2) ndx {\ displaystyle I_ {n, m} = \ int {\ frac {x ^ {m}} {(x ^ {2} -a ^ {2}) ^ {n}}} \, {\ text {d}} x \, \!}$ $I_ {n, m} = \ int \ frac {x ^ m} {(x ^ 2-a ^ 2) ^ n} \, \ text {d} x \, \!$	$I n, m = I m - 2, n - 1 + a 2 I м - 2, n {\ displa ystyle I_ {n, m} = I_ {m-2, n-1} + a ^ {2} I_ {m-2, n} \, \!}$ $I_{n,m}= I_{m-2,n-1}+a^2I_{m-2,n}\,\!$

Интегральное	Формула сокращения
$I n = ∫ dx (a 2 - x 2) n {\ displaystyle I_ {n} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {(a ^ {2} -x ^ {2 }) ^ {n}}} \, \!}$ $I_n= \int \frac{\text{d}x}{(a^2-x^2)^n}\,\!$	$I n = x 2 a 2 (n - 1) (a 2 - x 2) n - 1 + 2 n - 3 2 a 2 (n - 1) I n - 1 {\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {x} {2a ^ {2} (n-1) (a ^ {2} -x ^ {2}) ^ {n-1}} } + {\ frac {2n-3} {2a ^ {2} (n-1)}} I_ {n-1} \, \!}$ $I_ n = \ frac {x} {2a ^ 2 (n-1) (a ^ 2-x ^ 2) ^ {n-1}} + \ frac {2n-3} {2a ^ 2 (n-1)} I_ {n-1} \, \!$
$I n, m = ∫ dxxm (a 2 - x 2) n {\ displaystyle I_ {n, m} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {x ^ {m} (a ^ {2} -x ^ {2}) ^ {n} }} \, \!}$ $I_ {n, m} = \ int \ frac {\ text {d} x} {x ^ m (a ^ 2-x ^ 2) ^ n} \, \!$	$a 2 I n, m = I m, n - 1 + I m - 2, n {\ displaystyle {a ^ {2}} I_ {n, m} = I_ {m, n-1} + I_ {m-2, n} \, \!}$ ${a^2}I_{n,m}= I_{m,n-1}+I_{m-2,n}\,\!$
$I n, m = ∫ xm (a 2 - x 2) ndx {\ displaystyle I_ {n, m} = \ int { \ frac {x ^ {m}} {(a ^ {2} -x ^ {2}) ^ {n}}} \, {\ text {d}} x \, \!}$ $I_ {n, m} = \ int \ frac {x ^ m } {(a ^ 2-x ^ 2) ^ n} \, \ text {d} x \, \!$	$I n, m = a 2 I m - 2, n - I m - 2, n - 1 {\ displaystyle I_ {n, m} = a ^ {2} I_ {m-2, n} -I_ {m-2, n -1} \, \!}$ $I_{n,m}= a^2I_{m-2,n}-I_{m-2,n-1}\,\!$

Integral	Формула сокращения
$I n = ∫ dxxn (ax 2 + bx + c) {\ displaystyle I_ {n} = \ int {\ frac { {\ text {d}} x} {{x ^ {n}} (ax ^ {2} + bx + c)}} \, \!}$ $I_n = \int \frac{\text{d}x}{{x^n}(ax^2+bx+c)}\,\!$	$- c I n = 1 xn - 1 (n - 1) + b I n - 1 + a I n - 2 {\ displaystyle -cI_ {n} = {\ frac {1} {x ^ {n-1} (n-1)}} + bI_ {n-1} + aI_ {n-2} \, \!}$ $-cI_n = \ frac {1} {x ^ {n-1} (n-1)} + bI_ {n-1} + aI_ {n-2} \, \!$
$I m, n = ∫ xmdx (ax 2 + bx + c) n {\ displaystyle I_ {m, n} = \ int {\ frac {x ^ {m} \, {\ text {d}} x} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {n}}} \, \!}$ $I_{m,n}=\int \frac{x^m \,\text{d}x}{(ax^2+bx+c)^n}\,\!$	$Я м, п = - xm - 1 a (2 n - m - 1) (ax 2 + bx + c) n - 1 - b (n - m) a (2 n - m - 1) I m - 1, n + c ( м - 1) a (2 n - m - 1) I m - 2, n {\ displaystyle I_ {m, n} = - {\ frac {x ^ {m-1}} {a (2n-m-1) (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n-1}}} - {\ frac {b (nm)} {a (2n-m-1)}} I_ {m-1, n} + {\ frac {c (m-1)} {a (2n-m-1)}} I_ {m-2, n} \, \!}$ $I_ {m, n} = - \ frac {x ^ {m-1}} {a (2n-m-1) (ax ^ 2 + bx + c) ^ {n-1 }} - \ frac {b (nm)} {a (2n-m-1)} I_ {m-1, n} + \ frac {c (m-1)} {a (2n-m-1)} I_ {m-2, n} \, \!$
$I m, n = ∫ dxxm (ax 2 + bx + c) n {\ displaystyle I_ {m, n} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {x ^ {m} (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n} }} \, \!}$ $I_ {m, n} = \ int \ frac {\ text {d} x} {x ^ m (ax ^ 2 + bx + c) ^ n} \, \!$	$- c (m - 1) I m, n = 1 xm - 1 (ax 2 + bx + c) n - 1 + a (m + 2 n - 3) I m - 2, n + б (м + n - 2) я м - 1, n {\ displaystyle -c (m-1) I_ {m, n} = {\ frac {1} {x ^ {m-1} ( ах ^ {2} + bx + c) ^ {n-1}}} + {a (m + 2n-3)} I_ {m-2, n} + {b (m + n-2)} I_ { m-1, n} \, \!}$ $-c (m-1) I_ {m, n} = \ frac {1} {x ^ {m-1} (ax ^ 2 + bx + c) ^ {n-1 }} + {a (m + 2n-3)} I_ {m-2, n} + {b (m + n-2)} I_ {m-1, n} \, \!$

Integral	Формула редукции
$I n = ∫ (ax 2 + bx + c) ndx {\ displaystyle I_ {n} = \ int (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n} \, {\ text {d}} x \, \!}$ $I_n = \ int (ax ^ 2 + bx + c) ^ n \, \ text {d} x \, \!$	$8 a (n + 1) I n + 1 2 = 2 (2 ax + b) (ax 2 + bx + c) n + 1 2 + (2 n + 1) (4 ac - b 2) I n - 1 2 {\ displaystyle 8a (n +1) I_ {n + {\ frac {1} {2}}} = 2 (2ax + b) (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n + {\ frac {1} {2}}} + (2n + 1) (4ac-b ^ {2}) I_ {n - {\ frac {1} {2}}} \, \!}$ $8a (n + 1) I_ {n + \ frac {1} {2}} = 2 (2ax + b) ( ax ^ 2 + bx + c) ^ {n + \ frac {1} {2}} + (2n + 1) (4ac-b ^ 2) I_ {n- \ frac {1} {2}} \, \!$
$I n = ∫ 1 (ax 2 + bx + c) ndx {\ displaystyle I_ {n} = \ int {\ frac {1} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {n}}} \, {\ text {d}} x \, \!}$ $I_n = \ int \ frac {1} {(ax ^ 2 + bx + c) ^ n} \, \ text {d} x \, \!$	$(2 n - 1) (4 ac - b 2) I n + 1 2 = 2 (2 ax + b) (ax 2 + bx + c) n - 1 2 + 8 a (n - 1) I n - 1 2 {\ displaystyle (2n-1) (4ac-b ^ {2}) I_ {n + {\ frac {1} {2}}} = {\ frac {2 (2ax + b)} {(топор ^ {2} + bx + c) ^ {n - {\ frac {1} {2}}}}} + {8a (n-1)} I_ {n - {\ frac {1} {2}}} \, \!}$ $(2n-1) (4ac-b ^ 2) I_ {n + \ frac {1} {2}} = \ frac {2 (2ax + b)} {(ax ^ 2 + bx + c) ^ {n- \ frac {1} {2}}} + {8a (n-1)} I_ {n- \ frac {1} {2}} \, \!$

Integral

Формула редукции

I n = ∫ (ax 2 + bx + c) ndx {\ displaystyle I_ {n} = \ int (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n} \, {\ text {d}} x \, \!}

I_n = \ int (ax ^ 2 + bx + c) ^ n \, \ text {d} x \, \!

8 a (n + 1) I n + 1 2 = 2 (2 ax + b) (ax 2 + bx + c) n + 1 2 + (2 n + 1) (4 ac - b 2) I n - 1 2 {\ displaystyle 8a (n +1) I_ {n + {\ frac {1} {2}}} = 2 (2ax + b) (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n + {\ frac {1} {2}}} + (2n + 1) (4ac-b ^ {2}) I_ {n - {\ frac {1} {2}}} \, \!}

8a (n + 1) I_ {n + \ frac {1} {2}} = 2 (2ax + b) ( ax ^ 2 + bx + c) ^ {n + \ frac {1} {2}} + (2n + 1) (4ac-b ^ 2) I_ {n- \ frac {1} {2}} \, \!

I n = ∫ 1 (ax 2 + bx + c) ndx {\ displaystyle I_ {n} = \ int {\ frac {1} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {n}}} \, {\ text {d}} x \, \!}

I_n = \ int \ frac {1} {(ax ^ 2 + bx + c) ^ n} \, \ text {d} x \, \!

(2 n - 1) (4 ac - b 2) I n + 1 2 = 2 (2 ax + b) (ax 2 + bx + c) n - 1 2 + 8 a (n - 1) I n - 1 2 {\ displaystyle (2n-1) (4ac-b ^ {2}) I_ {n + {\ frac {1} {2}}} = {\ frac {2 (2ax + b)} {(топор ^ {2} + bx + c) ^ {n - {\ frac {1} {2}}}}} + {8a (n-1)} I_ {n - {\ frac {1} {2}}} \, \!}

(2n-1) (4ac-b ^ 2) I_ {n + \ frac {1} {2}} = \ frac {2 (2ax + b)} {(ax ^ 2 + bx + c) ^ {n- \ frac {1} {2}}} + {8a (n-1)} I_ {n- \ frac {1} {2}} \, \!

обратите внимание, что по законам индексов :

I n + 1 2 = I 2 n + 1 2 = ∫ 1 (ax 2 + bx + c) 2 n + 1 2 dx Знак равно ∫ 1 (ах 2 + bx + c) 2 n + 1 dx {\ displaystyle I_ {n + {\ frac {1} {2}}} = I _ {\ frac {2n + 1} {2}} = \ int {\ frac {1} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {\ frac {2n + 1} {2}}}} \, {\ text {d}} x = \ int {\ frac { 1} {\ sqrt {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {2n + 1}}}} \, {\ text {d }} x \, \!}

I_ {n + \ frac {1} {2}} = I _ {\ frac {2n + 1} {2}} = \ int \ frac {1} {(ax ^ 2 + bx + c) ^ {\ frac { 2n + 1} {2}}} \, \ text {d} x = \ int \ frac {1} {\ sqrt {(ax ^ 2 + bx + c) ^ {2n + 1}}} \, \ text {d} x \, \!

Трансцендентные функции

Следующие интегралы содержат:

Факторы синуса
Факторы косинуса
Факторы синуса и косинуса произведения и частные
Произведения / частные экспоненциальных множителей и степеней x
Произведения экспоненциальных множителей и синусо-косинусных множителей

Интегральных	Формула приведения
$I n Знак равно ∫ xn sin ⁡ axdx {\ displaystyle I_ {n} = \ int x ^ {n} \ sin {ax} \, {\ text {d}} x \, \!}$ $I_n=\int x^n \sin{ax} \,\text{d}x\,\!$	$a 2 I n = - axn cos ⁡ ax + nxn - 1 грех ⁡ ax - n (n - 1) I n - 2 {\ displaystyle a ^ {2} I_ {n} = - ax ^ {n} \ cos {ax} + nx ^ { n-1} \ sin {ax} -n (n-1) I_ {n-2} \, \!}$ $a ^ 2I_n = -ax ^ n \ cos {ax} + nx ^ {n -1} \ sin {ax} - n (n-1) I_ {n-2} \, \!$
$J n = ∫ xn cos ⁡ axdx {\ displaystyle J_ {n} = \ int x ^ {n} \ cos {ax} \, {\ text {d}} x \, \!}$ $J_n = \ int x ^ n \ cos {ax} \, \ text {d} x \, \!$	$a 2 J n = axn sin ⁡ ax + nxn - 1 cos ⁡ ax - n (n - 1) J п - 2 {\ displaystyle a ^ {2} J_ {n} = ax ^ {n} \ sin {ax} + nx ^ {n-1} \ cos {ax} -n (n-1) J_ {n- 2} \, \!}$ $a^2J_n=ax^n \sin{ax} + nx^{n-1} \cos{ax} - n(n-1) J_{n-2} \,\!$
$I n = ∫ sin ⁡ axxndx {\ displaystyle I_ {n} = \ int {\ frac {\ sin {ax}} {x ^ {n}}} \, {\ text {d}} x \, \!}$ $I_n = \ int \ frac {\ sin {ax}} {x ^ n} \, \ text {d} x \, \!$ $J n = ∫ cos ⁡ axxndx {\ displaystyle J_ {n} = \ i nt {\ frac {\ cos {ax}} {x ^ {n}}} \, {\ text {d}} x \, \!}$ $J_n = \int \frac{\cos{ax}}{x^n} \,\text{d}x \,\!$	$I n = - sin ⁡ ax (n - 1) xn - 1 + an - 1 J n - 1 {\ displaystyle I_ {n} = - {\ frac {\ sin {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} + {\ frac {a } {n-1}} J_ {n-1} \, \!}$ $I_n = -\frac{\sin{ax}}{(n-1)x^{n-1}}+\frac{a}{n-1}J_{n-1}\,\!$ $J n = - cos ⁡ ax (n - 1) xn - 1 - an - 1 I n - 1 {\ displaystyle J_ {n } = - {\ frac {\ cos {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} - {\ frac {a} {n-1}} I_ {n-1} \, \ !}$ $J_n = - \ frac {\ cos {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}} - \ frac {a} {n-1} I_ {n -1} \, \!$ формулы могут быть объединены для получения отдельных уравнений в I n: $J n - 1 = - cos ⁡ ax (n - 2) xn - 2 - an - 2 I n - 2 {\ displaystyle J_ {n -1} = - {\ frac {\ cos {ax}} {(n-2) x ^ {n-2}}} - {\ frac {a} {n-2}} I_ {n-2} \, \!}$ $J_ {n-1} = - \ frac {\ cos {ax}} {(n-2) x ^ {n-2}} - \ frac {a} {n-2} I_ {n-2} \, \ !$ $I n = - грех ⁡ ax (n - 1) xn - 1 - an - 1 [соз ⁡ ax (n - 2) xn - 2 + an - 2 I n - 2] {\ displaystyle I_ {n} = - {\ frac {\ sin {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} - {\ frac {a} {n-1}} \ left [{\ frac {\ cos {ax}} {(n-2) x ^ {n-2}}} + {\ frac {a} {n-2}} I_ {n-2} \ right] \, \!}$ $I_n = -\frac{\sin{ax}}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}\left [\frac{\cos{ax}}{(n-2)x^{n-2}}+\frac{a}{n-2}I_{n-2}\right ] \,\!$ $∴ I n знак равно - грех ⁡ ax (N - 1) xn - 1 - a (n - 1) (n - 2) (cos ⁡ axxn - 2 + a I n - 2) {\ displaystyle \, следовательно, I_ { n} = - {\ frac {\ sin {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} - {\ frac {a} {(n-1) (n-2)}} \ осталось({ \ frac {\ cos {ax}} {x ^ {n-2}}} + aI_ {n-2} \ right) \, \!}$ $\therefore I_n = -\frac{\sin{ax}}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{(n-1)(n-2)}\left (\frac{\cos{ax}}{x^{n-2}}+aI_{n-2}\right) \,\!$ и J n: $I n - 1 = - sin ⁡ топор (N - 2) xn - 2 + an - 2 J N - 2 {\ displaystyle I_ {n-1} = - {\ frac {\ sin {ax}} {(n-2) x ^ {n-2 }}} + {\ frac {a} {n-2}} J_ {n-2} \, \!}$ $I_{n-1} = -\frac{\sin{ax}}{(n-2)x^{n-2}}+\frac{a}{n-2}J_{n-2}\,\!$ $J n = - cos ⁡ ax (n - 1) xn - 1 - an - 1 [ - грех ⁡ ax (N - 2) xn - 2 + an - 2 J n - 2] {\ displaystyle J_ {n} = - {\ frac {\ cos {ax}} {(n-1) x ^ {n -1}}} - {\ frac {a} {n-1}} \ left [- {\ frac {\ sin {ax}} {(n-2) x ^ {n-2}}} + {\ frac {a} {n-2}} J_ {n-2} \ right] \, \!}$ $J_n = - \ frac {\ cos {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}} - \ frac {a} {n -1} \ left [- \ frac {\ sin {ax}} {(n-2) x ^ {n-2}} + \ frac {a} {n-2} J_ {n-2} \ right] \, \!$ $∴ J n = - cos ⁡ ax (n - 1) xn - 1 - a (n - 1) (N - 2) (- грех ⁡ axxn - 2 + a J N - 2) {\ displaystyle \, следовательно, J_ {n} = - {\ frac {\ cos {ax}} {(n-1) x ^ {n -1}}} - {\ frac {a} {(n-1) (n-2)}} \ left (- {\ frac {\ sin {ax}} {x ^ {n-2}}} + aJ_ {n-2} \ right) \, \!}$ $\therefore J_n = -\frac{\cos{ax}}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{(n-1)(n-2)}\left (-\frac{\sin{ax}}{x^{n-2}}+aJ_{n-2} \right)\,\!$
$I n = ∫ sin n ⁡ axdx {\ displaystyle I_ {n} = \ int \ sin ^ {n} {ax} \, {\ text { d}} x \, \!}$ $I_n = \ int \ sin ^ n {ax} \, \ text {d} x \, \!$	$an I n = - sin n - 1 ⁡ ax cos ⁡ ax + a (n - 1) I n - 2 {\ displaystyle anI_ {n} = - \ sin ^ { n-1} {ax} \ cos {ax} + a (n-1) I_ {n-2} \, \!}$ $anI_n = - \ sin ^ {n-1} {ax} \ cos {ax} + a (n-1) I_ {n -2} \, \!$
$J n = ∫ cos n ⁡ axdx {\ displaystyle J_ {n} = \ int \ cos ^ {n} {ax} \, {\ text {d}} x \, \!}$ $J_n = \ int \cos^n{ax} \,\text{d}x\,\!$	$an J n = sin ⁡ ax cos n - 1 ⁡ ax + a (n - 1) J n - 2 {\ displaystyle anJ_ {n} = \ sin {ax} \ cos ^ {n-1} {ax} + a (n-1) J_ {n-2} \, \!}$ $anJ_n = \sin{ax}\cos^{n-1}{ax}+a(n-1)J_{n-2}\,\!$
$I n = ∫ dx sin n ⁡ ax {\ displaystyle I_ { n} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {\ sin ^ {n} {ax}}} \, \!}$ $I_n = \ int \ frac {\ text {d} x} {\ sin ^ n {ax}} \, \!$	$(n - 1) I n = - cos ⁡ axa грех n - 1 ⁡ ax + (n - 2) I n - 2 {\ displaystyle (n-1) I_ {n} = - {\ frac {\ cos {ax}} {a \ sin ^ {n-1} {ax}}} + (n-2) I_ {n-2} \, \!}$ $(n-1)I_n = - \frac{\cos{ax}}{a\sin^{n-1}{ax}}+ (n-2)I_{n-2}\,\!$
$J n = ∫ dx cos n ⁡ ax {\ displaystyle J_ {n} = \ int {\ frac {{\ текст {d}} x} {\ cos ^ {n} {ax}}} \, \!}$ $J_n = \ int \ frac {\ text {d} x} {\ cos ^ n {ax}} \, \!$	$(n - 1) J n = sin ⁡ axa cos n - 1 ⁡ ax + (n - 2) J n - 2 {\ displaystyle (n-1) J_ {n} = {\ frac {\ sin {ax}} {a \ cos ^ {n-1} {ax}}} + (n-2) J_ { n-2} \, \!}$ ${\ displaystyle (n-1) J_ {n} = {\ frac {\ sin {ax}} {a \ cos ^ {n-1} {ax}} } + (n-2) J_ {n-2} \, \!}$

Integral	Формула приведения
$I m, n = ∫ sin m ⁡ ax cos n ⁡ axdx {\ displaystyle I_ {m, n} = \ int \ sin ^ {m} {ax} \ cos ^ {n} {ax} \, {\ text {d}} x \, \!}$ $I_{m,n} = \int \sin^m{ax}\cos^n{ax}\,\text{d}x\,\!$	$I m, n = {- sin m - 1 ⁡ ax cos n + 1 ⁡ axa (m + n) + m - 1 m + n I m - 2, n sin m + 1 ⁡ ax cos n - 1 ⁡ axa (m + n) + n - 1 m + n I m, п - 2 {\ Displaystyle I_ {м, п} = {\ begin {case s} - {\ frac {\ sin ^ {m-1} {ax} \ cos ^ {n + 1} {ax}} {a (m + n)}} + {\ frac {m-1} {m + n}} I_ {m-2, n} \\ {\ frac {\ sin ^ {m + 1} {ax} \ cos ^ {n-1} {ax}} {a (m + n)}} + {\ frac {n-1} {m + n}} I_ {m, n-2} \\\ end {cases}} \, \!}$ $I_{m,n} = \begin{cases} -\frac{\sin^{m-1}{ax}\cos^{n+1}{ax}}{a(m+n)}+\frac{m-1}{m+n}I_{m-2,n} \\ \frac{\sin^{m+1}{ax}\cos^{n-1}{ax}}{a(m+n)}+\frac{n-1}{m+n}I_{m,n-2} \\ \end{cases}\,\!$
$I m, n = ∫ dx sin m ⁡ ax соз N ⁡ ax {\ displaystyle I_ {m, n} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {\ sin ^ {m} {ax} \ cos ^ {n} {ax}}} \, \!}$ $I_ {m, n} = \ int \ frac {\ text {d} x} {\ sin ^ m {ax} \ cos ^ n {ax}} \, \!$	$I m, n = {1 a (n - 1) sin m - 1 ⁡ ax cos n - 1 ⁡ ax + m + n - 2 n - 1 I m, n - 2 - 1 a (m - 1) sin m - 1 ⁡ ax cos n - 1 ⁡ ax + m + n - 2 m - 1 I m - 2, n {\ displaystyle I_ {m, n} = {\ begin {cases} { \ frac {1} {a (n-1) \ sin ^ {m-1} {ax} \ cos ^ {n-1} {ax}}} + {\ frac {m + n-2} {n- 1}} I_ {m, n-2} \\ - {\ frac {1} {a (m-1) \ sin ^ {m-1} {ax} \ cos ^ {n-1} {ax}} } + {\ frac {m + n-2} {m-1}} I_ {m-2, n} \\\ end {case}} \, \!}$ $I_{m,n} = \begin{cases} \frac{1}{a(n-1)\sin^{m-1}{ax}\cos^{n-1}{ax}}+\frac{m+n-2}{n-1}I_{m,n-2} \\ -\frac{1}{a(m-1)\sin^{m-1}{ax}\cos^{n-1}{ax}}+\frac{m+n-2}{m-1}I_{m-2,n} \\ \end{cases}\,\!$
$I m, n = ∫ sin m ⁡ топор соз N ⁡ axdx {\ displaystyle I_ {m, n} = \ int {\ frac {\ sin ^ {m} {ax}} {\ cos ^ {n} {ax}}} \, {\ text { d}} x \, \!}$ $I_ {m, n} = \ int \ frac {\ sin ^ m {ax}} {\ cos ^ n {ax}} \, \ text {d} x \, \!$	$I m, n = {sin m - 1 ⁡ axa (n - 1) cos n - 1 ⁡ ax - m - 1 n - 1 I m - 2, n - 2 sin m + 1 ⁡ axa (n - 1) cos n - 1 ⁡ ax - m - n + 2 n - 1 I m, n - 2 - sin m - 1 ⁡ акса (м - п) соз N - 1 ⁡ ах + м - 1 м - N я м - 2, n {\ displaystyle I_ {m, n} = {\ begin {cases} {\ frac {\ sin ^ { m-1} {ax}} {a (n-1) \ cos ^ {n-1} {ax}}} - {\ frac {m-1} {n-1}} I_ {m-2, n -2} \\ {\ frac {\ sin ^ {m + 1} {ax}} {a (n-1) \ cos ^ {n-1} {ax}}} - {\ frac {m-n + 2} {n-1}} I_ {m, n-2} \\ - {\ frac {\ sin ^ {m-1} {ax}} {a (mn) \ cos ^ {n-1} {ax }}} + {\ frac {m-1} {mn}} I_ {m-2, n} \\\ end {case}} \, \!}$ $I_{m,n} = \begin{cases} \frac{\sin^{m-1}{ax}}{a(n-1)\cos^{n-1}{ax}}-\frac{m-1}{n-1}I_{m-2,n-2} \\ \frac{\sin^{m+1}{ax}}{a(n-1)\cos^{n-1}{ax}}-\frac{m-n+2}{n-1}I_{m,n-2} \\ -\frac{\sin^{m-1}{ax}}{a(m-n)\cos^{n-1}{ax}}+\frac{m-1}{m-n}I_{m-2,n} \\ \end{cases}\,\!$
$I m, n = ∫ cos m ⁡ ax грех n ⁡ axdx {\ displaystyle I_ {m, n} = \ int {\ frac {\ cos ^ {m} {ax}} {\ sin ^ {n} {ax}}} \, {\ text {d} } x \, \!}$ $I_ {m, n} = \ int \ frac {\ cos ^ m {ax}} {\ sin ^ n {ax}} \, \ text {d} x \, \!$	$I m, n = {- cos m - 1 ⁡ axa (n - 1) sin n - 1 ⁡ ax - m - 1 n - 1 I m - 2, n - 2 - cos m + 1 ⁡ axa (n - 1) sin n - 1 ⁡ ax - m - n + 2 n - 1 I m, n - 2 cos m - 1 ⁡ axa (m - n) sin n - 1 ⁡ ax + m - 1 m - n I m - 2, n {\ displaystyle I_ {m, n} = {\ begin {cases} - {\ frac {\ cos ^ {m-1} {ax}} {a (n- 1) \ sin ^ {n-1} {ax}}} - {\ frac {m-1} {n-1}} I_ {m-2, n-2} \\ - {\ frac {\ cos ^ {m + 1} {ax}} {a (n-1) \ sin ^ {n-1} {ax}}} - {\ frac {m-n + 2} {n-1}} I_ {m, n-2} \\ {\ frac {\ cos ^ {m-1} {ax}} {a (mn) \ sin ^ {n-1} {ax}}} + {\ frac {m-1} { mn}} I_ {m-2, n} \ \\ end {cases}} \, \!}$ $I_ {m, n} = \ begin {cases} - \ frac {\ cos ^ { m-1} {ax}} {a (n-1) \ sin ^ {n-1} {ax}} - \ frac {m-1} {n-1} I_ {m-2, n-2} \\ - \ frac {\ cos ^ {m + 1} {ax}} {a (n-1) \ sin ^ {n-1} {ax}} - \ frac {m-n + 2} {n- 1} I_ {m, n-2} \\ \ frac {\ cos ^ {m-1} {ax}} {a (mn) \ sin ^ {n-1} {ax}} + \ frac {m- 1} {mn} I_ {m-2, n} \\ \ end {case} \, \!$

Integral	Формула сокращения
$I n = ∫ xneaxdx {\ displaystyle I_ {n} = \ int x ^ {n} e ^ { ax} \, {\ text {d}} x \, \!}$ $I_{n} = \int x^n e^{ax}\,\text{d}x\,\!$ $n>0 {\ displaystyle n>0 \, \!}$ $n>0 \, \!$	$I n = xneaxa - na I n - 1 {\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {x ^ {n} e ^ {ax}} {a}} - {\ frac {n} {a}} I_ {n-1} \, \ !}$ $I_ {n} = \ frac {x ^ ne ^ {ax}} {a} - \ frac {n} {a} I_ {n-1} \, \!$
$I n = ∫ x - neaxdx {\ displaystyle I_ {n} = \ int x ^ {- n} e ^ {ax} \, {\ text {d}} x \, \!}$ $I_ {n} = \ int x ^ {- n} e ^ {ax} \, \ text {d} x \, \!$ $п>0 {\ displaystyle n>0 \, \!}$ $n>0 \, \!$ $n ≠ 1 {\ displaystyle n \ neq 1 \, \!}$ $n \ neq 1 \, \!$	$I n = - eax (n - 1) xn - 1 + an - 1 I n - 1 {\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {-e ^ {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} + {\ frac {a} {n-1}} I_ {n-1} \, \!}$ $I_{{n}}={\frac {-e^{{ax}}}{(n-1)x^{{n-1}}}}+{\frac {a}{n-1}}I_{{n-1}}\,\!$
$I n = ∫ eax sin n ⁡ bxdx {\ displaystyle I_ {n} = \ int e ^ {ax} \ sin ^ {n} {bx} \, {\ text {d}} x \, \!}$ $I_{n} = \int e^{ax} \sin^n{bx} \,\text{d}x\,\!$	$I n = eax sin n - 1 ⁡ bxa 2 + (bn) 2 (a sin ⁡ bx - bn cos ⁡ bx) + n (n - 1) b 2 a 2 + (bn) 2 I n - 2 {\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {e ^ {ax} \ sin ^ {n-1} {bx}} {a ^ {2} + (bn) ^ {2}}} \ left (a \ sin bx-bn \ cos bx \ right) + {\ frac {n (n-1) b ^ {2}} {a ^ {2} + (bn) ^ {2}}} I_ {n -2} \, \!}$ $I _ {{n}} = {\ frac {e ^ {{ax}} \ sin ^ {{n-1}} {bx}} {a ^ {2} + (bn) ^ {2}}} \ left (a \ sin bx-bn \ cos bx \ right) + {\ frac {n (n-1) b ^ {2}} {a ^ {2} + (bn) ^ {2}}} I _ {{n-2}} \, \!$
$I n = ∫ eax cos n ⁡ bxdx {\ displaystyle I_ {n} = \ int e ^ {ax} \ cos ^ {n} {bx} \, {\ text { d}} x \, \!}$ $I_ {n} = \ int e ^ {ax} \ cos ^ n {bx} \, \ text {d} x \, \!$	$I n = eax cos n - 1 ⁡ bxa 2 + (bn) 2 (a cos ⁡ bx + bn sin ⁡ bx) + n (n - 1) b 2 a 2 + (bn) 2 I n - 2 {\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {e ^ {ax} \ cos ^ {n-1} {bx}} {a ^ {2} + (bn) ^ { 2}}} \ left (a \ cos bx + bn \ sin bx \ right) + {\ frac {n (n-1) b ^ {2}} {a ^ {2} + (bn) ^ {2} }} I_ {n-2} \, \!}$ $I _ {{n}} = {\ frac {e ^ {{ax}} \ cos ^ {{n-1}} {bx}} {a ^ {2} + (bn) ^ {2}}} \ left (a \ cos bx + bn \ sin bx \ right) + {\ frac {n (n-1) b ^ {2}} {a ^ {2} + (bn) ^ {2}}} I _ {{n-2}} \, \!$

Ссылки

Библиография

В Викиучебниках есть книга по темам: Исчисление / Интеграция / Формула редукции

Антон, Бивенс, Дэвис, Исчисление, 7-е издание.