Алгебра инцидентности

редактировать

В теории порядка, поле математики, алгебра инцидентности - это ассоциативная алгебра, определенная для каждого локально конечного частично упорядоченного множества и коммутативного кольца с единицей. Подалгебры, называемые редуцированными алгебрами инцидентности, дают естественную конструкцию различных типов производящих функций, используемых в комбинаторике и теории чисел.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Понятия, связанные с данным
2 Специальные элементы
3 Примеры
4 Эйлерова характеристика
5 Уменьшенные алгебры инцидентности
- 5.1 Натуральные числа и обычные производящие функции
- 5.2 Позиционирование подмножества и экспоненциальные производящие функции
- 5.3 Делитель позиционного множества и ряд Дирихле
6 См. Также
7 Литература
8 Дополнительная литература

Определение

A локально конечное poset - это интервал, в котором каждый закрытый интервал

[a, b] = {x: a ≤ x ≤ b}

является конечным.

Члены алгебры инцидентности являются функции f присваивают каждому непустому интервалу [a, b] скаляр f (a, b), взятый из кольца скаляров, коммутативного кольца с единством. На этом базовом множестве определяется точечное сложение и скалярное умножение, а «умножение» в алгебре инцидентностей - это свертка , определяемая как

(f ∗ g) (a, b) = ∑ a ≤ x ≤ bf (a, x) g (x, b). {\ displaystyle (f * g) (a, b) = \ sum _ {a \ leq x \ leq b} f (a, x) g (x, b).}

(f * g) (a, b) = \ sum _ {{a \ leq x \ leq b}} f (a, Икс) г (Икс, Ь).

Алгебра инцидентности конечномерна тогда и только тогда, когда лежащий в основе poset конечно.

Понятия, связанные с данным

Алгебра инцидентности аналогична групповой алгебре ; действительно, и групповая алгебра, и алгебра инцидентности являются частными случаями алгебры категорий , определяемой аналогичным образом; группы и позы, являющиеся особыми видами категорий.

Специальные элементы

Мультипликативным тождественным элементом алгебры инцидентности является дельта-функция, определенная как

δ (a, b) = {1, если a = b, 0, если a ≠ b. {\ displaystyle \ delta (a, b) = {\ begin {cases} 1 {\ text {if}} a = b, \\ 0 {\ text {if}} a \ neq b. \ end {cases}} }

{\ displaystyle \ delta (a, b) = {\ begin {cases} 1 {\ text {if}} a = b, \\ 0 {\ text {if}} a \ neq b. \ end {cases}}}

дзета-функция алгебры инцидентности - это постоянная функция ζ (a, b) = 1 для каждого непустого интервала [a, b]. Умножение на ζ аналогично интегрированию.

Можно показать, что ζ обратима в алгебре инцидентностей (относительно свертки, определенной выше). (Обычно член h алгебры инцидентности обратим тогда и только тогда, когда h (x, x) обратим для любого x.) Мультипликативная обратная дзета-функция - это функция Мёбиуса μ (a, б); каждое значение μ (a, b) является целым кратным 1 в базовом кольце.

Функция Мёбиуса также может быть определена индуктивно следующим соотношением:

μ (x, y) = {1 if x = y - ∑ z: x ≤ z < y μ ( x, z) for x < y 0 otherwise. {\displaystyle \mu (x,y)={\begin{cases}{}\qquad 1{\text{if }}x=y\\[6pt]\displaystyle -\!\!\!\!\sum _{z\,:\,x\,\leq \,z\,<\,y}\mu (x,z){\text{for }}x

{\ displaystyle \ mu (x, y) = {\ begin {cases} {} \ qquad 1 {\ text {if}} x знак равно y \\ [6pt] \ displaystyle - \! \! \! \! \ sum _ {z \,: \, x \, \ leq \, z \, <\, y} \ mu (x, z) {\ text {for}} x <y \\ {} \ qquad 0 {\ text {else}}. \ end {cases}}}

Умножение на μ аналогично к дифференцированию и называется инверсией Мёбиуса.

Квадрат дзета-функции подсчитывает количество элементов в интервале:

$ζ 2 (x, y) = ∑ z ∈ [x, y] ζ ( x, z) ζ (z, y) = z ∈ [x, y] 1 = # [x, y]. {\ displaystyle \ textstyle \ zeta ^ {2} (x, y) \ = \ \ sum _ {z \ in [x, y]} \ zeta (x, z) \, \ zeta (z, y) \ = \ \ sum _ {z \ in [x, y]} 1 \ = \ \ # [x, y].}$ ${\ Displaystyle \ textstyle \ zeta ^ {2} (x, y) \ = \ \ sum _ {z \ in [x, y]} \ zeta ( x, z) \, \ zeta (z, y) \ = \ \ sum _ {z \ in [x, y]} 1 \ = \ \ # [x, y].}$

Примеры

Положительные целые числа, упорядоченные по делимости

Свертка, связанная с Алгебра инцидентности для интервалов [1, n] становится сверткой Дирихле, следовательно, функция Мёбиуса равна μ (a, b) = μ (b / a), где второй «μ» - классическая Функция Мёбиуса введена в теорию чисел в 19 веке.

Конечные подмножества некоторого множества E, упорядоченные по включению

Функция Мёбиуса равна

μ (S, T) = (- 1) | T ∖ S | {\ displaystyle \ mu (S, T) = (- 1) ^ {\ left | T \ smallsetminus S \ right |}}

{\ displaystyle \ mu (S, T) = (- 1) ^ {\ left | T \ smallsetminus S \ right | }}

, если S и T являются конечными подмножествами E с S ⊆ T, а инверсия Мёбиуса называется принципом включения-исключения.

Геометрически это гиперкуб :

2 E = {0, 1} E. {\ displaystyle 2 ^ {E} = \ {0,1 \} ^ {E}.}

2 ^ {E} = \ {0,1 \} ^ {E}.

Натуральные числа в обычном порядке

Функция Мёбиуса:

μ (x, y) = {1 если y = x, - 1, если y = x + 1, 0, если y>x + 1, {\ displaystyle \ mu (x, y) = \ left \ {{\ begin {array} {rl} 1 {\ text {if}} y = x, \\ - 1 {\ text {if}} y = x + 1, \\ 0 {\ text {if}} y>x + 1, \ end {array}} \ right. }

\mu (x,y)=\left\{{\begin{array}{rl}1{\text{if }}y=x,\\-1{\text{if }}y=x+1,\\0{\text{if }}y>x + 1, \ end {array}} \ right.

, а инверсия Мёбиуса называется (обратным) разностным оператором.

Геометрически это соответствует дискретной числовой строке .

Свертка функции в алгебре инцидентности соответствуют умножению формального степенного ряда : см. обсуждение приведенных алгебр инцидентности ниже. Функция Мёбиуса соответствует последовательности (1, −1, 0, 0, 0,...) коэффициентов формального степенного ряда 1 - t, а дзета-функция соответствует последовательности коэффициентов (1, 1, 1, 1,...) формального степенного ряда

(1 - t) - 1 = 1 + t + t 2 + t 3 + ⋯ {\ displaystyle (1-t) ^ {- 1 } = 1 + t + t ^ {2} + t ^ {3} + \ cdots}

{\ displaystyle (1-t) ^ {- 1} = 1 + t + t ^ {2} + t ^ {3} + \ cdots}

, что является обратным. Дельта-функция в этой алгебре инцидентности аналогично соответствует формальному степенному ряду 1.

Конечные подмножества некоторого мультимножества E, упорядоченные включением

Три приведенных выше примера можно объединить и обобщить следующим образом: с учетом мультимножества E и конечных подмножеств S и T из E. Функция Мёбиуса равна

μ (S, T) = {0, если T ∖ S является собственным мультимножеством (имеет повторяющиеся элементы) (- 1) | T ∖ S | если T ∖ S - множество (не имеет повторяющихся элементов). {\ displaystyle \ mu (S, T) = {\ begin {cases} 0 {\ text {if}} T \ smallsetminus S {\ text {- правильный мультимножество (имеет повторяющиеся элементы)}} \\ (- 1) ^ {\ left | T \ smallsetminus S \ right |} {\ text {if}} T \ smallsetminus S {\ text {- это набор (не имеет повторяющихся элементов)}}. \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ mu (S, T) = {\ begin {cases} 0 {\ text {if}} T \ smallsetminus S {\ text {- правильный мультимножество (имеет повторяющиеся элементы)}} \\ (- 1) ^ {\ left | T \ smallsetminus S \ right |} {\ text {if}} T \ smallsetminus S {\ text {- это набор (не имеет повторяющихся элементов)}}. \ End {cases}}}

Это обобщает положительные целые числа, упорядоченные по делимости на положительное целое число, соответствующее его мультимножеству простых делителей с кратностью, например, 12 соответствует мультимножеству

{2, 2, 3}. {\ displaystyle \ {2,2,3 \}.}

\ {2,2,3 \}.

Это обобщает натуральные числа с их обычным порядком с помощью натурального числа, соответствующего мультимножеству одного базового элемента и мощности, равной этому числу, например, 3 соответствует мультимножество

{1, 1, 1}. {\ displaystyle \ {1,1,1 \}.}

\ {1, 1,1 \}.

Подгруппы конечной p-группы G, упорядоченные по включению

Функция Мёбиуса:

μ G (H 1, H 2) = ( - 1) кп (к 2) {\ displaystyle \ mu _ {G} (H_ {1}, H_ {2}) = (- 1) ^ {k} p ^ {\ binom {k} {2}}}

\ mu _ {G} (H_ {1}, H_ {2}) = (- 1) ^ {{k}} p ^ {{{\ binom {k} {2}}}}

если

H 1 {\ displaystyle H_ {1}}

H_ {1}

является нормальной подгруппой

H 2 {\ displaystyle H_ {2}}

H_ {2}

ЧАС 2 / ЧАС 1 ≅ (Z / p Z) к {\ displaystyle H_ {2} / H_ {1} \ cong ({\ mathbf {Z}} / p {\ mathbf {Z}}) ^ {k}}

H_ {2} / H_ {1} \ cong ({{ \ mathbf Z}} / p {{\ mathbf Z}}) ^ {k}

, в противном случае - 0. Это теорема Вейснера (1935).

Разбиения множества

Частично упорядочить множество всех разделов конечного множества, сказав, что σ ≤ τ, если σ более тонкое разбиение, чем τ. В частности, пусть τ имеет t блоков, которые соответственно разбиваются на s 1,..., s t более мелких блоков σ, которые имеют всего s = s 1 + ··· + s t блоков. Тогда функция Мёбиуса:

μ (σ, τ) = (- 1) s - t (s 1 - 1)! ⋯ (с т - 1)! {\ displaystyle \ mu (\ sigma, \ tau) = (- 1) ^ {st} (s_ {1} {-} 1)! \ cdots (s_ {t} {-} 1)!}

{\ displaystyle \ mu (\ sigma, \ tau) = (- 1) ^ {st} (s_ {1} {-} 1)! \ cdots ( s_ {t} {-} 1)!}

Эйлер характеристика

ЧУМ является ограниченным, если он имеет наименьший и наибольший элементы, которые мы называем 0 и 1 соответственно (не путать с 0 и 1 кольца скаляров). Эйлерова характеристика ограниченного конечного ч.у.м. - это μ (0,1). Причина этой терминологии заключается в следующем: если P имеет 0 и 1, то μ (0,1) - это приведенная эйлерова характеристика симплициального комплекса, грани которого являются цепями в P \ {0, 1 }. Это можно показать с помощью теоремы Филипа Холла, связывающей значение μ (0,1) с количеством цепочек длины i.

Уменьшенная алгебра инцидентности

Уменьшенная алгебра инцидентности состоит из функций, которые присваивают одно и то же значение любым двум интервалам, которые эквивалентны в соответствующем смысле, обычно означающие изоморфные как положения. Это подалгебра алгебры инцидентности, и она явно содержит единичный элемент алгебры инцидентности и дзета-функцию. Любой элемент приведенной алгебры инцидентности, который обратим в большей алгебре инцидентности, имеет обратный элемент в приведенной алгебре инцидентности. Таким образом, функция Мёбиуса также находится в приведенной алгебре инцидентности.

Приведенные алгебры инцидентности были введены Дубий, Рота и Стэнли, чтобы дать естественную конструкцию различных колец производящих функций.

Натуральных чисел и обычных производящих функций

Для ч.у. $(N, ≤), {\ displaystyle (\ mathbb {N}, \ leq),}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {N}, \ leq),}$ приведенная алгебра инцидентности состоит из функций $f (a, b) {\ displaystyle f (a, b)}$ $f (a, b)$ инвариант относительно перевода, $f (a + k, b + k) = f (a, b) {\ displaystyle f (a + k, b + k) = f (a, b)}$ ${\ displaystyle f (a + k, b + k) = f (a, b)}$ для всех $k ≥ 0, {\ displaystyle k \ geq 0,}$ ${\ displaystyle k \ geq 0,}$ , чтобы иметь одинаковое значение на изоморфных интервалах [a + k, b + k] и [a, b]. Пусть t обозначает функцию с t (a, a + 1) = 1 и t (a, b) = 0 в противном случае, своего рода инвариантной дельта-функцией на классах изоморфизма интервалов. Его степени в алгебре инцидентности - это другие инвариантные дельта-функции t (a, a + n) = 1 и t (x, y) = 0 в противном случае. Они образуют основу для приведенной алгебры инцидентности, и мы можем записать любую инвариантную функцию как $f = ∑ n ≥ 0 f (0, n) tn {\ displaystyle \ textstyle f = \ sum _ {n \ geq 0} f (0, n) t ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ textstyle е = \ сумма _ {п \ geq 0} е (0, n) t ^ {n}}$ . Это обозначение проясняет изоморфизм между приведенной алгеброй инцидентности и кольцом формальных степенных рядов $R [[t]] {\ displaystyle R [[t]]}$ ${\ displaystyle R [[t]]}$ над скалярами R, также известный как кольцо обычных производящих функций. Мы можем записать дзета-функцию как $ζ = 1 + t + t 2 + ⋯ = 1 1 - t, {\ displaystyle \ zeta = 1 + t + t ^ {2} + \ cdots = {\ tfrac {1 } {1-t}},}$ ${\ displaystyle \ zeta = 1 + t + t ^ {2} + \ cdots = {\ tfrac {1} {1-t}},}$ обратная величина функции Мёбиуса $μ = 1 - t. {\ displaystyle \ mu = 1-t.}$ ${\ displaystyle \ му = 1-т.}$

Подмножество ч.у. и экспоненциальные производящие функции

Для логического ч.ст. конечных подмножеств $S ⊂ {1, 2, 3,…} {\ displaystyle S \ subset \ {1,2,3, \ ldots \}}$ ${\ displaystyle S \ subset \ {1,2,3, \ ldots \}}$ упорядочено по включению $S ⊂ T {\ displaystyle S \ subset T}$ $S \ подмножество T$ , приведенная алгебра инцидентности состоит из инвариантных функций $f (S, T), {\ displaystyle f (S, T),}$ ${\ displaystyle f (S, T), }$ , определенных как имеющие одно и то же значение на изоморфных интервалах [S, T] и [S ', T '] с | T \ S | = | Т '\ S' |. Снова пусть t обозначает инвариантную дельта-функцию с t (S, T) = 1 для | T \ S | = 1 и t (S, T) = 0 в противном случае. Его полномочия:

$t n (S, T) = ∑ t (T 0, T 1) t (T 1, T 2) ⋯ t (T n - 1, T n) = {n! если | T ∖ S | = n 0 в противном случае, {\ displaystyle t ^ {n} (S, T) \ = \ \ sum t (T_ {0}, T_ {1}) \, t (T_ {1}, T_ {2}) \ cdots t (T_ {n-1}, T_ {n}) \ = \ \ left \ {{\ begin {array} {cl} n! {\ text {if}} \ | T {\ setminus} S | = n \\ 0 {\ text {в противном случае}} \ end {array}} \ right.}$ ${\ displaystyle t ^ {n} (S, T) \ = \ \ sum t (T_ { 0}, T_ {1}) \, t (T_ {1}, T_ {2}) \ cdots t (T_ {n-1}, T_ {n}) \ = \ \ left \ {{\ begin {array} {cl} n! {\ text {if}} \ | T {\ setminus} S | = n \\ 0 {\ text {в противном случае}} \ end {array}} \ right.}$

где сумма ведется по всем цепям $S = T 0 ⊂ T 1 ⊂ ⋯ ⊂ T n = T, {\ displaystyle S = T_ {0} \ subset T_ {1} \ subset \ cdots \ subset T_ {n} = T,}$ ${\ displaystyle S = T_ { 0} \ subset T_ {1} \ subset \ cdots \ subset T_ {n} = T,}$ и единственные ненулевые члены встречаются для насыщенных цепочек с $| T i ∖ T i - 1 | = 1; {\ displaystyle | T_ {i} {\ setminus} T_ {i-1} | = 1;}$ ${\ displaystyle | T_ {i} {\ setminus} T_ {i-1} | = 1;}$ , поскольку они соответствуют перестановкам n, мы получаем уникальное ненулевое значение n !. Таким образом, инвариантные дельта-функции - это разделенные степени $t n n!, {\ displaystyle {\ tfrac {t ^ {n}} {n!}},}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {t ^ {n}} {n!}},}$ и мы можем записать любую инвариантную функцию как $f = ∑ n ≥ 0 f (∅, [n ]) tnn!, {\ displaystyle \ textstyle f = \ sum _ {n \ geq 0} f (\ emptyset, [n]) {\ frac {t ^ {n}} {n!}},}$ ${\ displaystyle \ textstyle f = \ sum _ {n \ geq 0} f (\ emptyset, [n]) {\ frac {t ^ {n}} {n !}},}$ где [n] = {1,..., n}. Это дает естественный изоморфизм между приведенной алгеброй инцидентности и кольцом экспоненциальных производящих функций. Дзета-функция равна $ζ = ∑ n ≥ 0 t n n! знак равно ехр ⁡ (T), {\ Displaystyle \ textstyle \ zeta = \ sum _ {n \ geq 0} {\ frac {t ^ {n}} {n!}} = \ exp (t),}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ zeta = \ sum _ {n \ geq 0} {\ frac {t ^ {n}} {n!}} = \ exp (t),}$ с функцией Мёбиуса:

$μ = 1 ζ = exp ⁡ (- t) = ∑ n ≥ 0 (- 1) ntnn!. {\ displaystyle \ textstyle \ mu \ = \ {\ frac {1} {\ zeta}} \ = \ \ exp (-t) \ = \ \ sum _ {n \ geq 0} (- 1) ^ {n} {\ frac {t ^ {n}} {n!}}.}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ mu \ = \ {\ frac {1} { \ zeta}} \ = \ \ exp (-t) \ = \ \ sum _ {n \ geq 0} (- 1) ^ {n} {\ frac {t ^ {n}} {n!}}.}$

Действительно, это вычисление с формальным степенным рядом доказывает, что $μ (S, T) = (- 1) | T ∖ S |. {\ displaystyle \ mu (S, T) = (- 1) ^ {| T {\ setminus} S |}.}$ ${\ displaystyle \ mu (S, T) = (- 1) ^ {| T {\ setminus} S |}.}$ Многие комбинаторные счетные последовательности, включающие подмножества или помеченные объекты, можно интерпретировать в терминах уменьшенная алгебра инцидентности и вычислили с использованием экспоненциальных производящих функций.

ЧУМ делителя и ряд Дирихле

Рассмотрим ч.у. положительных целых чисел D, упорядоченных по делимости, обозначенных $a | б. {\ displaystyle a | b.}$ ${\ displaystyle a | b.}$ Приведенная алгебра инцидентности состоит из функций $f (a, b) {\ displaystyle f (a, b)}$ $f (a, b)$ , инвариантных относительно умножения, $f (ka, kb) = f (a, b) {\ displaystyle f (ka, kb) = f (a, b)}$ ${\ displaystyle f (ka, kb) = f (a, b)}$ для всех $k ≥ 1. {\ displaystyle k \ geq 1.}$ ${\ displaystyle k \ geq 1.}$ (Эта эквивалентность умножения интервалов является гораздо более сильным отношением, чем изоморфизм poset: для простого p двухэлементные интервалы [1, p] не эквивалентны.) Для инварианта функция, f (a, b) зависит только от b / a, поэтому естественный базис состоит из инвариантных дельта-функций $δ n {\ displaystyle \ delta _ {n}}$ $\ delta _ {n}$ , определенных $δ N (a, b) = 1 {\ displaystyle \ delta _ {n} (a, b) = 1}$ ${\ displaystyle \ delta _ {n} (a, b) = 1}$ , если b / a = n, и 0 в противном случае: любая инвариантная функция может быть записана $f = ∑ n ≥ 0 f (1, n) δ n. {\ displaystyle \ textstyle f \ = \ \ sum _ {n \ geq 0} f (1, n) \, \ delta _ {n}.}$ ${\ displaystyle \ textstyle f \ = \ \ sum _ {n \ geq 0} f (1, n) \, \ delta _ {n}.}$

Произведение двух инвариантных дельта-функций:

$( δ n δ m) (a, b) = ∑ a | c | б δ N (a, c) δ м (c, b) знак равно δ нм (a, b), {\ displaystyle (\ delta _ {n} \ delta _ {m}) (a, b) \ = \ \ sum _ {a | c | b} \ delta _ {n} (a, c) \, \ delta _ {m} (c, b) \ = \ \ delta _ {nm} (a, b),}$ ${\ displaystyle (\ de lta _ {n} \ delta _ {m}) (a, b) \ = \ \ sum _ {a | c | b} \ delta _ {n} (a, c) \, \ delta _ {m} ( с, б) \ = \ \ дельта _ {нм} (а, б),}$

, поскольку единственный ненулевой член происходит от c = na и b = mc = nma. Таким образом, мы получаем изоморфизм приведенной алгебры инцидентности в кольцо формальных рядов Дирихле, отправляя $δ n {\ displaystyle \ delta _ {n}}$ $\ delta _ {n}$ в $n - s, {\ displaystyle n ^ {- s} \ !,}$ ${\ displaystyle n ^ {- s} \ !,}$ , так что f соответствует $∑ n ≥ 1 f (1, n) ns. {\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {f (1, n)} {n ^ {s}}}.}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {f (1, n)} { п ^ {s}}}.}$

Дзета-функция алгебры инцидентностей ζ D (a, b) = 1 соответствует классической дзета-функции Римана $ζ (s) = ∑ n ≥ 1 1 нс, {\ displaystyle \ zeta (s) = \ textstyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {1} {n ^ {s}}},}$ ${\ displaystyle \ zeta (s) = \ textstyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {1} {n ^ {s}}},}$ с обратным $1 ζ (s) = ∑ n ≥ 1 μ (n) нс, { \ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {\ zeta (s)}} = \ textstyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}},}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {\ zeta (s)}} = \ textstyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}},}$ где $μ (n) = μ D (1, n) {\ displaystyle \ mu (n) = \ mu _ {D} (1, n)}$ ${\ displaystyle \ mu (n) = \ mu _ {D} (1, n)}$ - классическая функция Мёбиуса теории чисел. Многие другие арифметические функции естественным образом возникают в рамках приведенной алгебры инцидентности и, что эквивалентно, в терминах ряда Дирихле. Например, функция делителя $σ 0 (n) {\ displaystyle \ sigma _ {0} (n)}$ $\ sigma _ {0} (n)$ - это квадрат дзета-функции, $σ 0 (n) знак равно ζ 2 (1, n), {\ displaystyle \ sigma _ {0} (n) = \ zeta ^ {2} \! (1, n),}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {0} (n) = \ zeta ^ {2} \! (1, n), }$ специальный случай вышеуказанного результата, что $ζ 2 (x, y) {\ displaystyle \ zeta ^ {2} \! (x, y)}$ ${\ displaystyle \ zeta ^ {2} \! (x, y)}$ подсчитывает количество элементов в интервале [x, y]; эквивалентно, $ζ (s) 2 = ∑ n ≥ 1 σ 0 (n) n s. {\ displaystyle \ textstyle \ zeta (s) ^ {2} = \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {\ sigma _ {0} (n)} {n ^ {s}}}.}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ zeta (s) ^ {2} = \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {\ sigma _ {0} (n)} {n ^ {s}}}.}$

Структура произведения дивизора poset облегчает вычисление его функции Мёбиуса. Уникальное разложение на простые числа подразумевает, что D изоморфно бесконечному декартову произведению $N × N × ⋯ {\ displaystyle \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N} \ times \ cdots}$ ${\ displaysty ле \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N} \ times \ cdots}$ в порядке, заданном путем покоординатного сравнения: $n = p 1 e 1 p 2 e 2 ⋯ {\ displaystyle n = p_ {1} ^ {e_ {1}} p_ {2} ^ {e_ { 2}} \ cdots}$ ${\ displaystyle n = p_ {1} ^ {e_ {1}} p_ {2} ^ {e_ {2}} \ cdots}$ , где $pk {\ displaystyle p_ {k}}$ $p_ {k}$ - простое число k, соответствует его последовательности показателей $(e 1, e 2,…). {\ displaystyle (e_ {1}, e_ {2}, \ ldots).}$ ${\ displaystyle (e_ {1}, e_ {2}), \ ldots).}$ Теперь функция Мёбиуса D является произведением функций Мёбиуса для факторных множеств, вычисленных выше, что дает классическую формулу :

$μ (n) = μ D (1, n) = ∏ k ≥ 1 μ N (0, ek) = {(- 1) d для n бесквадратных с d простых множителей 0 в противном случае. {\ displaystyle \ mu (n) \, = \, \ mu _ {D} (1, n) \, = \, \ prod _ {k \ geq 1} \ mu _ {\ mathbb {N}} (0, e_ {k}) \, = \, \ left \ {{\ begin {array} {cl} (- 1) ^ {d} {\ text {for}} n {\ text {без квадратов с}} d {\ text {простые множители}} \\ 0 {\ text {в противном случае.}} \ end {array}} \ right.}$ ${\ displaystyle \ mu (n) \, = \, \ mu _ { D} (1, n) \, = \, \ prod _ {k \ geq 1} \ mu _ {\ mathbb {N}} (0, e_ {k}) \, = \, \ left \ {{\ begin {array} {cl} (- 1) ^ {d} {\ text {for}} n {\ text {squarefree with}} d {\ text {простые множители}} \\ 0 { \ text {иначе.}} \ end {array}} \ right.}$

Структура произведения также объясняет классическое произведение Эйлера для дзета функция. Дзета-функция D соответствует декартовому произведению дзета-функций факторов, вычисленных выше как $1 1 - t, {\ displaystyle {\ tfrac {1} {1-t}},}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} { 1-t}},}$ так что $ζ D ≅ ∏ К ≥ 1 1 1 - t, {\ displaystyle \ textstyle \ zeta _ {D} \ cong \ prod _ {k \ geq 1} \! {\ frac {1} {1} -t}},}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ zeta _ {D} \ cong \ prod _ {k \ geq 1} \! {\ frac {1} {1-t}},}$ где правая часть - декартово произведение. Применяя изоморфизм, который переводит t в множитель k в $p k - s {\ displaystyle p_ {k} ^ {- s}}$ ${\ displaystyle p_ {k} ^ {- s }}$ , мы получаем обычное произведение Эйлера.

См. Также

Литература

Алгебры инцидентности локально конечных множеств рассматривались в ряде статей Джан-Карло Рота, начиная с 1964 года, и многие более поздние комбинаторские практики. Статья Роты 1964 года была:

Рота, Джан-Карло (1964), «Об основах комбинаторной теории I: теория функций Мёбиуса», Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, 2 (4): 340–368, doi : 10.1007 / BF00531932
N. Якобсон, Основы алгебры. I, W.H. Freeman and Co., 1974. См. Раздел 8.6 для обработки функций Мебиуса на позициях

Дополнительная литература

Spiegel, Eugene; О'Доннелл, Кристофер Дж. (1997), Алгебры инцидентности, Чистая и прикладная математика, 206, Марсель Деккер, ISBN 0-8247- 0036-8