Гомотетические предпочтения

редактировать

В теории потребителя предпочтения потребителя называются гомотетическими, если они могут быть представлены функцией полезности, однородной степени 1. Например, в экономике с двумя товарами гомотетические предпочтения могут быть представлены функцией полезности, которая имеет следующее свойство: для каждого: ${\ displaystyle x, y}$ $х, у$ ${\ displaystyle u}$ $ты$ ${\ displaystyle agt; 0}$ $аgt; 0$

{\ Displaystyle и (а \ cdot х, а \ cdot у) = а \ CDOT и (х, у)}

{\ Displaystyle и (а \ cdot х, а \ cdot у) = а \ CDOT и (х, у)}

В математике, гомотетична функция представляет собой монотонное преобразование функции, которая является однородной ; однако, поскольку порядковые функции полезности определены только с точностью до возрастающего монотонного преобразования, существует небольшое различие между этими двумя концепциями в теории потребителей.

В модели, где конкурентные потребители оптимизируют гомотетические функции полезности с учетом бюджетных ограничений, соотношение товаров, требуемых потребителями, будет зависеть только от относительных цен, а не от дохода или масштаба. Это приводит к линейному увеличению дохода: наклон кривых безразличия постоянен вдоль лучей, начинающихся в начале координат. То есть кривая Энгеля для каждого товара линейна.

Кроме того, косвенную функцию полезности можно записать как линейную функцию богатства: ${\ displaystyle w}$ $ш$

{\ Displaystyle v (p_ {x}, p_ {y}, w) = f (p_ {x}, p_ {y}) \ cdot w}

{\ Displaystyle v (p_ {x}, p_ {y}, w) = f (p_ {x}, p_ {y}) \ cdot w}

который является частным случаем полярной формы Гормана. Следовательно, если все потребители имеют гомотетические предпочтения (с одним и тем же коэффициентом для показателя богатства), совокупный спрос можно рассчитать, рассматривая одного «репрезентативного потребителя», который имеет одинаковые предпочтения и одинаковый совокупный доход.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Примеры
2 Внутривременные и межвременные гомотетические предпочтения
3 Доказательства
4 См. Также
5 ссылки

Примеры

Функции полезности, имеющие постоянную эластичность замещения (CES), гомотетичны. Они могут быть представлены функцией полезности, такой как:

{\ displaystyle u (x, y) = \ left (\ left ({x \ over w_ {x}} \ right) ^ {r} + \ left ({y \ over w_ {y}} \ right) ^ { r} \ right) ^ {1 / r}}

{\ displaystyle u (x, y) = \ left (\ left ({x \ over w_ {x}} \ right) ^ {r} + \ left ({y \ over w_ {y}} \ right) ^ { r} \ right) ^ {1 / r}}

Эта функция однородна степени 1:

{\ displaystyle u (ax, ay) = \ left (a ^ {r} \ left ({x \ over w_ {x}} \ right) ^ {r} + a ^ {r} \ left ({y \ over w_ {y}} \ right) ^ {r} \ right) ^ {1 / r} = (a ^ {r}) ^ {1 / r} \ left (\ left ({x \ over w_ {x}}) \ right) ^ {r} + \ left ({y \ over w_ {y}} \ right) ^ {r} \ right) ^ {1 / r} = au (x, y)}

{\ displaystyle u (ax, ay) = \ left (a ^ {r} \ left ({x \ over w_ {x}} \ right) ^ {r} + a ^ {r} \ left ({y \ over w_ {y}} \ right) ^ {r} \ right) ^ {1 / r} = (a ^ {r}) ^ {1 / r} \ left (\ left ({x \ over w_ {x}}) \ right) ^ {r} + \ left ({y \ over w_ {y}} \ right) ^ {r} \ right) ^ {1 / r} = au (x, y)}

Линейные утилиты, Леонтьевские утилиты и Кобб-Дуглас утилиты являются частными случаями CES функций и, таким образом, также гомотетичны.

С другой стороны, квазилинейные утилиты не всегда гомотетичны. Например, функция не может быть представлена как однородная функция. ${\ Displaystyle и (х, у) = х + {\ sqrt {y}}}$ ${\ Displaystyle и (х, у) = х + {\ sqrt {y}}}$

Внутривременные и межвременные гомотетические предпочтения

Предпочтения гомотетичны внутри времени, если в один и тот же период времени потребители с разными доходами, но с одинаковыми ценами и с одинаковыми предпочтениями будут требовать товары в одинаковых пропорциях.

Предпочтения межвременны гомотетичны, если в разные периоды времени как богатые, так и бедные лица, принимающие решения, одинаково не любят пропорциональные колебания в потреблении.

Модели современной макроэкономики и государственных финансов часто принимают форму постоянного относительного неприятия риска для полезности в пределах периода (также называемой энергетической полезностью или изоэластической полезностью ). Причина в том, что в сочетании с аддитивностью во времени это дает гомотетические межвременные предпочтения, и эта гомотетичность имеет значительное аналитическое удобство (например, позволяет анализировать устойчивые состояния в моделях роста). Эти допущения подразумевают, что эластичность межвременного замещения и обратная ей величина - коэффициент неприятия (риска) - постоянны.

Свидетельство

Однако хорошо известно, что в действительности модели потребления меняются с ростом экономического благосостояния. Это означает, что предпочтения на самом деле не гомотетичны. Давно установлено, что относительные изменения цен по-разному влияют на людей, даже если все сталкиваются с одним и тем же набором цен.

Смотрите также

использованная литература