Постоянная эластичность замены

Постоянная эластичность замены ( CES ) в экономике является свойством некоторых производственных функций и функций полезности.

В частности, оно возникает в агрегаторе определенного типа. функция, которая объединяет два или более типов потребительских товаров или два или более типов производственных ресурсов в совокупное количество. Эта функция агрегатора демонстрирует постоянную эластичность замещения.

• 1 Производственная функция CES
• 2 Функция полезности CES
• 3 Ссылки
• 4 Внешние ссылки

Производственная функция CES - это неоклассическая производственная функция, которая отображает постоянную эластичность замещения. Другими словами, технология производства имеет постоянное процентное изменение в соотношении факторов (например, труд и капитал ) из-за процентного изменения предельной нормы технического замещения. Производственная функция CES с двумя факторами (капитал, труд), введенная Солоу и позже ставшая популярной Эрроу, Ченери, Минхасом, и Солоу :

$Q\; =\; F\; \cdot \; (a\; \cdot \; K\; \rho \; +\; (1\; -\; a)\; \cdot \; L\; \rho )\; \upsilon \; \rho \; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; =\; F\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (a\; \backslash \; cdot\; K\; ^\; \{\backslash \; rho\}\; +\; (1-a)\; \backslash \; cdot\; L\; ^\; \{\backslash \; rho\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; upsilon\}\; \{\backslash \; rho\}\}\}$

где

• $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$= Количество вывода
• $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$= Фактор производительности
• $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$= Параметр доли
• $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$, $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$= Количество основных производственных факторов (капитал и труд)
• $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$= $\sigma \; -\; 1\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; \backslash \; sigma\; -1\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\}$= параметр подстановки
• $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$= $1\; 1\; -\; \rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-\; \backslash \; rho\; \}\}\}$= Эластичность замещения
• $\upsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; upsilon\}$= степень однородности производственной функции. Где $\upsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; upsilon\}$= 1 (постоянный возврат к масштабу), $\upsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; upsilon\}$< 1 (уменьшение возврата к масштабу), $\upsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; upsilon\}$>1 (Повышение отдачи от масштаба) .

Как следует из названия, производственная функция CES демонстрирует постоянную эластичность замещения между капитал и труд. Функции Леонтьева, линейные функции и функции Кобба – Дугласа являются частными случаями производственной функции CES. То есть

• Если $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$приближается к 1, мы имеем линейную или функцию точных замен;
• If $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$в пределе стремится к нулю, мы получаем производственную функцию Кобба – Дугласа ;
• Если $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$приближается к отрицательной бесконечности, мы получаем Леонтьев или производственная функция совершенного дополнения.

Общая форма производственной функции CES с n входами:

$Q\; =\; F\; \cdot \; [\sum \; i\; =\; 1\; nai\; X\; ir]\; 1\; р\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; =\; F\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; [\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{i\}\; X\_\; \{i\}\; ^\; \{r\}\; \backslash \; \backslash \; right]\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{r\}\}\}$

где

• $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$= Количество вывода
• $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$= Факторная производительность
• $ai\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\}$= Поделиться параметром ввода i, $\sum \; i\; =\; 1\; nai\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{\; i\}\; =\; 1\}$
• $X\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{i\}\}$= Количество факторов производства (i = 1,2... n)
• $s\; =\; 1\; 1\; -\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-r\}\}\}$= эластичность замещения.

Расширение функциональной формы CES (Solow) для учета нескольких факторов производства создает некоторые проблемы. Однако универсального способа сделать это не существует. Удзава показал, что единственно возможные производственные функции n-факторов (n>2) с постоянными частичными эластичностями замещения требуют либо того, чтобы все эластичности между парами факторов были идентичны, либо, если они различаются, все они должны равняться друг другу. и все остальные эластичности должны быть единицами. Это верно для любой производственной функции. Это означает, что использование функциональной формы CES для более чем двух факторов обычно означает, что не существует постоянной эластичности замещения среди всех факторов.

Вложенные функции CES обычно встречаются в моделях частичного равновесия и общего равновесия. Различные гнезда (уровни) позволяют ввести соответствующую эластичность замещения.

Та же функциональная форма CES возникает как функция полезности в теории потребителей. Например, если существуют $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$типы потребительских товаров $xi\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}\}$, то совокупное потребление $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$можно определить с помощью агрегатора CES:

$X\; =\; [\sum \; i\; =\; 1\; nai\; 1\; sxis\; -\; 1\; s]\; ss\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \backslash \; left\; [\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{s\}\}\; x\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{s-1\}\; \{s\; \}\}\; \backslash \; \backslash \; right]\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{s\}\; \{s-1\}\}.\}$

Здесь снова коэффициенты $ai\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\}$являются общими параметрами, а $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$- эластичность замещения. Следовательно, потребительские товары $xi\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}\}$являются идеальной заменой, когда $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$приближается к бесконечности, и идеальным дополнением, когда $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$стремится к нулю. Агрегатор CES также иногда называют агрегатором Armington, который обсуждался в (1969).

Служебные функции CES являются частным случаем гомотетических предпочтений.

Ниже приводится пример служебной программы CES. функция для двух товаров, $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$, с равными долями:

$u\; (x,\; y)\; =\; (xr\; +\; yr)\; 1\; /\; r.\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x,\; y)\; =\; (x\; ^\; \{r\}\; +\; y\; ^\; \{r\})\; ^\; \{1\; /\; r\}.\}$

функция расходов в этом случае:

$e\; (px,\; py,\; u)\; =\; (pxr\; /\; (r\; -\; 1)\; +\; pyr\; /\; (r\; -\; 1))\; (r\; -\; 1)\; /\; r\; \cdot \; u.\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; (p\_\; \{x\},\; p\_\; \{y\},\; u)\; =\; (p\_\; \{x\}\; ^\; \{r\; /\; (r-1)\}\; +\; p\_\; \{y\}\; ^\; \{r\; /\; (r-1)\})\; ^\; \{(r-1)\; /\; r\}\; \backslash \; cdot\; u.\}$

косвенная функция полезности является ее обратной:

$v\; (px,\; py,\; I)\; =\; (pxr\; /\; (r\; -\; 1)\; +\; pyr\; /\; (r\; -\; 1))\; (1\; -\; r)\; /\; r\; \cdot \; I.\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; (p\_\; \{x\},\; p\_\; \{y\},\; I)\; =\; (p\_\; \{x\}\; ^\; \{r\; /\; (r-1)\}\; +\; p\_\; \{y\}\; ^\; \{r\; /\; (r-1)\})\; ^\; \{(1-r)\; /\; r\}\; \backslash \; cdot\; I.\}$

Функции спроса :

$x\; (px,\; py,\; I)\; =\; px\; 1\; /\; (r\; -\; 1)\; pxr\; /\; (г\; -\; 1)\; +\; pyr\; /\; (г\; -\; 1)\; \cdot \; I,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (p\_\; \{x\},\; p\_\; \{y\},\; I)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{x\}\; ^\; \{1\; /\; (r-1)\}\}\; \{p\_\; \{x\}\; ^\; \{r\; /\; (r-1)\}\; +\; p\_\; \{y\}\; ^\; \{r\; /\; (r-1)\}\}\}\; \backslash \; cdot\; I,\}$

$y\; (px,\; py,\; I)\; =\; py\; 1\; /\; (r\; -\; 1)\; pxr\; /\; (r\; -\; 1)\; +\; pyr\; /\; (r\; -\; 1)\; \cdot \; I.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (p\_\; \{x\},\; p\_\; \{y\},\; I)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{y\}\; ^\; \{1\; /\; (r-1)\}\}\; \{p\_\; \{x\}\; ^\; \{r\; /\; (r-1)\}\; +\; p\_\; \{y\}\; ^\; \{r\; /\; (r-1)\}\}\}\; \backslash \; cdot\; I.\}$

Функция полезности CES - это один из случаев, рассмотренных Дикситом и Стиглицем. (1977) в своем исследовании оптимального разнообразия продуктов в контексте монополистической конкуренции.

Обратите внимание на разницу между полезностью CES и изоэластичной полезностью : функция полезности CES - это порядковая функция полезности, которая представляет предпочтения по определенным потребительским пакетам товаров, а изоэластическая функция полезности - это функция кардинальной полезности, которая представляет предпочтения в лотереях. Косвенная (двойная) функция полезности CES использовалась для получения согласованных с полезностью систем спроса на бренды, в которых потребности категорий определяются эндогенно с помощью многокатегорийной косвенной (двойной) функции полезности CES. Также было показано, что предпочтения CES самодвойственны и что как первичные, так и двойные предпочтения CES образуют системы кривых безразличия, которые могут иметь любую степень выпуклости.

• Анатомия производственных функций типа CES в 3D
• Закрытое решение для фирмы с N-мерной технологией CES