Производственная функция Кобба – Дугласа

редактировать

Проволочная сетка производственная поверхность Кобба – Дугласа с изоквантами

Производство Кобба – Дугласа с двумя входами функция с изоквантами

В экономике и эконометрике производственная функция Кобба – Дугласа является особой функциональной формой производственной функции , широко используемый для представления технологической взаимосвязи между количеством двух или более ресурсов (в частности, физического капитала и рабочей силы) и объемом выпуска, который может быть произведен этими ресурсами. Форма Кобба-Дугласа была разработана и проверена на соответствие статистическим данным Чарльзом Коббом и Полом Дугласом в течение 1927–1947 гг.

Содержание

1 Формулировка
2 История
3 Критика
4 Утилиты Кобба – Дугласа
5 Различные представления производственной функции
6 Связь с производственной функцией CES
- 6.1 Производственная функция Translog
7 См. Также
8 Ссылки
9 Дополнительная литература
10 Внешние ссылки

Формулировка

В наиболее стандартной форме для производства одного товара с двумя факторами функция

Y = AL β K α { \ displaystyle Y = AL ^ {\ beta} K ^ {\ alpha}}

{\ displaystyle Y = AL ^ {\ beta} K ^ {\ alpha}}

где:

Y = общий объем производства (реальная стоимость всех товаров, произведенных за год или 365,25 дней)
L = труд затраты (общее количество человеко-часов, отработанных в год или 365,25 дней)
K = капитальные затраты (мера всех машин, оборудования, и здания; стоимость вложенного капитала, деленная на цену капитала)
A = общая факторная производительность
α и β - эластичности выпуска капитала и труда, соответственно. Эти значения являются константами, определяемыми доступной технологией.

Эластичность выпуска измеряет реакцию выпуска на изменение уровня труда или капитала, используемых в производстве, при прочих равных. Например, если α = 0,45, увеличение использования капитала на 1% приведет к увеличению выпуска примерно на 0,45%.

Иногда этот термин имеет более ограниченное значение, требуя, чтобы функция отображения константа возвращалась к масштабу, что означает, что удвоение использования капитала K и рабочей силы L также удвоит выход Y. Это верно если

α + β = 1,

Если

α + β < 1,

возвращается к масштабу уменьшается, а если

α + β>1,

возвращается к масштабированию увеличивается. Предполагая совершенную конкуренцию и α + β = 1, можно показать, что α и β являются долями капитала и труда в выпуске.

В обобщенном виде функция Кобба – Дугласа моделирует более двух товаров. Функцию Кобба – Дугласа можно записать как

f (x) = A ∏ i = 1 L x i λ i, x = (x 1,…, x L). {\ displaystyle f (x) = A \ prod _ {i = 1} ^ {L} x_ {i} ^ {\ lambda _ {i}}, \ qquad x = (x_ {1}, \ ldots, x_ { L}).}

{\ displaystyle f (x) = A \ prod _ {i = 1} ^ {L} x_ {i} ^ {\ lambda _ {i}}, \ qquad x = (x_ {1}, \ ldots, x_ {L}).}

где

A - параметр эффективности
L - общее количество товаров
x1,..., x L - (не -отрицательное) количество потребленных, произведенных товаров и т. д.
$λ i {\ displaystyle \ lambda _ {i}}$ $\ lambda _ {i}$ - параметр эластичности товара i

История

Пол Дуглас объяснил, что его первая формулировка производственной функции Кобба – Дугласа была разработана в 1927 году; при поиске функциональной формы для связи оценок, которые он рассчитал для рабочих и капитала, он поговорил с математиком и коллегой Чарльзом Коббом, который предложил функцию формы Y = ALK, ранее использовавшуюся Кнутом Викселлом, Филип Уикстид и Леон Вальрас, хотя Дуглас благодарит только Уикстида и Вальраса за их вклад. Оценив это с помощью наименьших квадратов, он получил результат для показателя труда 0,75, который впоследствии был подтвержден Национальным бюро экономических исследований как 0,741. Более поздняя работа в 1940-х годах подтолкнула их к тому, чтобы допускать изменение показателей K и L, в результате чего были получены оценки, которые впоследствии оказались очень близкими к усовершенствованным показателям производительности, разработанным в то время.

Основная критика в адрес время было так, что оценки производственной функции, хотя и казавшиеся точными, основывались на столь скудных данных, что было трудно им доверять. Дуглас заметил: «Должен признать, что я был обескуражен этой критикой и думал отказаться от усилий, но кое-что подсказало мне, что я должен держаться». Прорыв произошел в использовании данных переписи населения США, которые были перекрестными и обеспечили большое количество наблюдений. Дуглас представил результаты этих открытий, наряду с результатами для других стран, в своем выступлении в 1947 году в качестве президента Американской экономической ассоциации. Вскоре после этого Дуглас ушел в политику и почувствовал недомогание, что не привело к дальнейшему развитию с его стороны. Однако два десятилетия спустя его производственная функция получила широкое распространение и была принята такими экономистами, как Пол Самуэльсон и Роберт Солоу. Производственная функция Кобба – Дугласа особенно примечательна тем, что впервые агрегированная или общеэкономическая производственная функция была разработана, оценена и затем представлена специалистам для анализа; он ознаменовал знаменательное изменение в подходе экономистов к макроэкономике с точки зрения микроэкономики.

Критика

Эта функция подверглась критике за ее необоснованность. На Кобба и Дугласа повлияли статистические данные, которые, по-видимому, показали, что доли труда и капитала в общем объеме производства в развитых странах были постоянными во времени; они объяснили это статистической подгонкой регрессии наименьших квадратов их производственной функции. В настоящее время существует сомнение в том, существует ли постоянство во времени.

Производственная функция Кобба-Дугласа не была разработана на основе каких-либо технических знаний, технологий или управления производственным процессом. Это обоснование может быть верным с учетом определения термина «капитал». Рабочие часы и капитал нуждаются в более точном определении. Если капитал определяется как здание, труд уже включен в развитие этого здания. Здание состоит из товаров, рабочей силы, рисков и общих условий.

Вместо этого он был разработан, потому что он имел привлекательные математические характеристики, такие как убывающая предельная прибыль для любого фактора производства и свойство, которое оптимальные затраты разделяют на любой данный ввод фирмы, работающей с Кобба – Дугласа неизменны. Изначально под него не было инженерных сетей. В современную эпоху некоторые экономисты пытаются строить модели на основе действий отдельных агентов, а не навязывать функциональную форму всей экономике. Производственная функция Кобба – Дугласа, если ее правильно определить, может применяться на микроэкономическом уровне до макроэкономического уровня.

Однако многие современные авторы разработали модели, которые дают микроэкономические производственные функции Кобба – Дугласа, включая множество новокейнсианских моделей. Тем не менее математической ошибкой является предположение, что только потому, что функция Кобба – Дугласа применима на микроэкономическом уровне, она также всегда применима на макроэкономическом уровне. Точно так же не обязательно, чтобы макрос Кобба-Дугласа применялся на дезагрегированном уровне. Раннее микрооснование агрегированной технологии Кобба-Дугласа, основанной на линейных действиях, было получено в Houthakker (1955).

Утилиты Кобба-Дугласа

Функция Кобба-Дугласа часто используется как служебная функция. В этом контексте предполагается, что у потребителя конечное богатство, и максимизация полезности принимает форму:

max xu (x) = max xi ∏ i = 1 L xi λ i с учетом ограничения ∑ i = 1 L pixi = w {\ displaystyle \ max _ {x} u (x) = \ max _ {x_ {i}} \ prod _ {i = 1} ^ {L} x_ {i} ^ {\ lambda _ {i}} \ quad {\ text {с учетом ограничения}} \ quad \ sum _ {i = 1} ^ {L} p_ {i} x_ {i} = w}

{\ displaystyle \ max _ {x} u (x) = \ max _ {x_ {i}} \ prod _ {i = 1} ^ {L} x_ {i} ^ {\ lambda _ {i}} \ quad {\ text {с учетом ограничения}} \ quad \ sum _ {i = 1} ^ {L } p_ {i} x_ {i} = w}

где $w {\ displaystyle w}$ $w$ - это общее богатство потребителя, а $pi {\ displaystyle p_ {i}}$ $p_ {i}$ - цены на товары. Полезность можно максимизировать следующим образом. Сначала возьмем логарифм полезности

ln ⁡ u (x) = ∑ i = 1 L λ i ln ⁡ xi {\ displaystyle \ ln u (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {L} \ lambda _ {i} \ ln x_ {i}}

{\ displaystyle \ ln u (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {L} \ lambda _ {i} \ ln x_ {i}}

Пусть λ = λ 1 +... + λ L. Поскольку функция $x ↦ x 1 λ {\ displaystyle x \ mapsto x ^ {\ frac {1} {\ lambda}}}$ $x \ mapsto x ^ {\ frac {1} {\ lambda}}$ строго монотонна для x>0, отсюда следует, что $u (x) = u ~ (x) 1 λ {\ displaystyle u (x) = {\ tilde {u}} (x) ^ {\ frac {1} {\ lambda}}}$ $и (х) = {\ тильда {и}} (х) ^ {\ гидроразрыва {1} {\ лямбда}}$ представляет те же предпочтения. Установив $α i = λ я λ {\ displaystyle \ alpha _ {i} = {\ frac {\ lambda _ {i}} {\ lambda}}}$ ${\ dis playstyle \ alpha _ {i} = {\ frac {\ lambda _ {i}} {\ lambda}}}$ , можно показать, что

∑ я = 1 L α я = 1 {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {L} \ alpha _ {i} = 1}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {L} \ alpha _ {i} = 1}

Тогда оптимальное решение:

∀ j: xj ⋆ = w α jpj. {\ displaystyle \ forall j: \ qquad x_ {j} ^ {\ star} = {\ frac {w \ alpha _ {j}} {p_ {j}}}.}

\ forall j: \ qquad x_ {j} ^ {\ star} = {\ frac {w \ alpha _ {j}} {p_ { j}}}.

Интерпретация этого решения такова: потребитель использует долю $α j {\ displaystyle \ alpha _ {j}}$ $\ alpha _ {j}$ своего богатства на покупку товара j.

функция косвенной полезности может быть вычислена путем подстановки спроса в функцию полезности. Игнорируя некоторую мультипликативную константу, которая зависит только от $α i {\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ $\ alpha _ {i}$ s, мы получаем:

v (p, w) = w ∏ i = 1 L пи α я {\ Displaystyle v (p, w) = {\ frac {w} {\ prod _ {i = 1} ^ {L} p_ {i} ^ {\ alpha _ {i}}}}}

v (p, w) = {\ frac {w} {\ prod _ { я = 1} ^ {L} p_ {i} ^ {\ alpha _ {i}}}}

, который является частным случаем полярной формы Гормана. функция расходов является обратной функцией косвенной функции полезности:

e (p, u) = ∏ i = 1 L pi α iu {\ displaystyle e (p, u) = \ prod _ { i = 1} ^ {L} p_ {i} ^ {\ alpha _ {i}} u}

e (p, u) = \ prod _ {я = 1} ^ {L} p_ {i} ^ {\ alpha _ {i}} u

Различные представления производственной функции

Форму функции Кобба – Дугласа можно оценить как линейную отношения с использованием следующего выражения:

ln ⁡ (Y) = a 0 + ∑ iai ln ⁡ (I i) {\ displaystyle \ ln (Y) = a_ {0} + \ sum _ {i} a_ {i} \ ln (I_ {i})}

\ ln (Y) = a_ {0} + \ sum _ {i} a_ {i } \ ln (I_ {i})

где

$Y = output {\ displaystyle Y = {\ text {output}}}$ ${\ displaystyle Y = {\ text {output}}}$
$I i = input {\ displaystyle I_ {i} = {\ text {входы}}}$ ${\ displaystyle I_ {i} = {\ text {inputs}}}$
$ai = коэффициенты модели {\ displaystyle a_ {i} = {\ text {коэффициенты модели}}}$ ${\ displaystyle a_ {i} = {\ text {коэффициенты модели}}}$

Модель также можно записать как

Y = (I 1) a 1 ⋅ (I 2) a 2 ⋯ {\ displaystyle Y = (I_ {1}) ^ {a_ {1}} \ cdot (I_ {2}) ^ {a_ {2}} \ cdots}

{\ displaystyle Y = (I_ {1}) ^ {a_ {1}} \ cdot (I_ {2}) ^ {a_ {2}} \ cdots}

Как уже отмечалось, общая функция Кобба – Дугласа, используемая в макроэкономическом моделировании, имеет вид

Y = K α L β {\ displaystyle Y = K ^ {\ alpha} L ^ {\ beta}}

{\ displaystyle Y = K ^ {\ alpha} L ^ {\ бета}}

где K - капитал, а L - труд. Когда показатели модели в сумме равны единице, производственная функция является однородной первого порядка, что подразумевает постоянную отдачу от масштаба - то есть, если все входные данные масштабируются с помощью общего коэффициента больше нуля, выход будет масштабироваться тем же фактором.

Отношение к производственной функции CES

Производственная функция постоянной эластичности замещения (CES) (в двухфакторном случае) составляет

Y = A ( α К γ + (1 - α) L γ) 1 / γ, {\ Displaystyle Y = A \ влево (\ альфа K ^ {\ gamma} + (1- \ альфа) L ^ {\ gamma} \ справа) ^ {1 / \ gamma},}

{\ displaystyle Y = A \ left (\ alpha K ^ {\ gamma} + (1- \ альфа) L ^ {\ gamma} \ справа) ^ {1 / \ gamma},}

, в котором предельный случай γ = 0 соответствует функции Кобба – Дугласа, $Y = AK α L 1 - α, {\ displaystyle Y = AK ^ {\ alpha} L ^ {1- \ alpha},}$ $Y = AK ^ {\ alpha} L ^ {1- \ alpha},$ с постоянным возвратом к масштабу.

Чтобы увидеть это, логарифм функции CES,

ln ⁡ (Y) = ln ⁡ (A) + 1 γ пер ⁡ (α К γ + (1 - α) L γ) {\ displaystyle \ ln (Y) = \ ln (A) + {\ frac {1} {\ gamma}} \ ln \ left (\ alpha K ^ {\ gamma} + (1- \ alpha) L ^ {\ gamma} \ right)}

\ ln (Y) = \ ln (A) + { \ frac {1} {\ gamma}} \ ln \ left (\ alpha K ^ {\ gamma} + (1- \ alpha) L ^ {\ gamma} \ right)

можно довести до предела, применив правило Л'Опиталя :

lim γ → 0 ln ⁡ (Y) = ln ⁡ (A) + α ln ⁡ (K) + (1 - α) ln ⁡ (L). {\ displaystyle \ lim _ {\ gamma \ to 0} \ ln (Y) = \ ln (A) + \ alpha \ ln (K) + (1- \ alpha) \ ln (L).}

\ lim _ {\ gamma \ to 0} \ ln (Y) = \ ln (A) + \ alpha \ ln (K) + (1- \ alpha) \ ln (L).

Следовательно, $Y = AK α L 1 - α {\ displaystyle Y = AK ^ {\ alpha} L ^ {1- \ alpha}}$ $Y = AK ^ {\ alpha} L ^ {1- \ alpha}$ .

Производственная функция транслога

Производственная функция транслоготипа является аппроксимация функции CES многочленом Тейлора второго порядка около $γ = 0 {\ displaystyle \ gamma = 0}$ $\ gamma = 0$ , то есть случай Кобба – Дугласа. Название translog означает «трансцендентный логарифмический». Он часто используется в эконометрике из-за того, что он линейен по параметрам, что означает, что обычный метод наименьших квадратов может быть использован, если исходные данные можно считать двухфакторный случай выше производственной функции транслога:

ln ⁡ (Y) = ln ⁡ (A) + α ln ⁡ (K) + (1 - α) ln ⁡ (L) + 1 2 γ α (1 - α) [ln ⁡ (K) - ln ⁡ (L)] 2 = ln ⁡ (A) + a K ln ⁡ (K) + a L ln ⁡ (L) + b KK ln 2 ⁡ (K) + b LL пер 2 ⁡ (L) + б KL пер ⁡ (К) пер ⁡ (L) {\ displaystyle {\ begin {align} \ ln (Y) = \ ln (A) + \ альфа \ ln (K) + (1- \ альфа) \ ln (L) + {\ frac {1} {2}} \ gamma \ alpha (1- \ alpha) \ left [\ ln (K) - \ ln (L) \ right] ^ {2} \\ = \ ln (A) + a_ {K} \ ln (K) + a_ {L} \ ln (L) + b_ {KK} \ ln ^ {2} (K) + b_ {LL } \ ln ^ {2} (L) + b_ {KL} \ ln (K) \ ln (L) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ ln (Y) = \ ln (A) + \ alpha \ ln (K) + (1- \ alpha) \ ln (L) + {\ frac {1} {2}} \ gamma \ alpha (1- \ alpha) \ left [\ ln (K) - \ ln (L) \ right] ^ {2} \\ = \ ln ( A) + a_ {K} \ ln (K) + a_ {L} \ ln (L) + b_ {KK} \ ln ^ {2} (K) + b_ {LL} \ ln ^ {2} (L) + b_ {KL} \ ln (K) \ ln (L) \ end {align}}}

где $a K {\ displaystyle a_ {K}}$ ${\ displaystyle a_ {K}}$ , $a L {\ displaystyle a_ {L}}$ ${\ displaystyle a_ {L}}$ , $b KK {\ displaystyle b_ {KK}}$ ${\ displaystyle b_ {KK}}$ , $b LL {\ displaystyle b_ {LL}}$ ${\ displaystyle b_ {LL}}$ и $b KL {\ displaystyle b_ {KL}}$ ${\ displaystyle b_ {KL}}$ определены соответствующим образом. В трехфакторном случае производственная функция транслоготипа:

ln ⁡ (Y) = ln ⁡ (A) + a L ln ⁡ (L) + a K ln ⁡ (K) + a M ln ⁡ (M) + b LL ln 2 ⁡ (L) + b KK ln 2 ⁡ (K) + b MM ln 2 ⁡ (M) + b LK ln ⁡ (L) ln ⁡ (K) + b LM ln ⁡ (L) ln ⁡ (M) + b KM ln ⁡ (K) ln ⁡ (M) = f (L, K, M). {\ Displaystyle {\ begin {align} \ ln (Y) = \ ln (A) + a_ {L} \ ln (L) + a_ {K} \ ln (K) + a_ {M} \ ln (M) + b_ {LL} \ ln ^ {2} (L) + b_ {KK} \ ln ^ {2} (K) + b_ {MM} \ ln ^ {2} (M) \\ {} \ qquad \ qquad + b_ {LK} \ ln (L) \ ln (K) + b_ {LM} \ ln (L) \ ln (M) + b_ {KM} \ ln (K) \ ln (M) \\ = f (L, K, M). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ ln (Y) = \ ln (A) + a_ { L} \ ln (L) + a_ {K} \ ln (K) + a_ {M} \ ln (M) + b_ {LL} \ ln ^ {2} (L) + b_ {KK} \ ln ^ { 2} (K) + b_ {MM} \ ln ^ {2} (M) \\ {} \ qquad \ qquad + b_ {LK} \ ln (L) \ ln (K) + b_ {LM} \ ln (L) \ ln (M) + b_ {KM} \ ln (K) \ ln (M) \\ = f (L, K, M). \ End {align}}}

где $A {\ displaystyle A}$ $A$ = общая факторная производительность, $L {\ displaystyle L}$ $L$ = труд, $K {\ displaystyle K}$ $K$ = capital, $M {\ displaystyle M}$ $M$ = материалы и принадлежности, и $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ = вывод.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Реншоу, Джефф (2005). Математика для экономики. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. 516–526. ISBN 0-19-926746-4.

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы, связанные с производственными функциями Кобба-Дугласа.