Сфера холма

Область, в которой астрономическое тело доминирует над притяжением спутников Контурная диаграмма эффективного потенциала системы двух тел под действием силы тяжести и инерции в один момент времени. Сферы Хилла - это круглые области, окружающие две большие массы.

Сфера Хилла или сфера Роша астрономического тела - это область, в которой оно доминирует в привлекательности спутников. Внешняя оболочка этой области представляет собой поверхность с нулевой скоростью. Чтобы удерживаться планетой, луна должна иметь орбиту, которая находится внутри сферы Хилла этой планеты. У этой луны, в свою очередь, будет собственная сфера Хилла. Любой объект в пределах этого расстояния будет иметь тенденцию стать спутником Луны, а не самой планеты. Простое представление о протяженности Солнечной системы - это сфера Хилла Солнца по отношению к местным звездам и галактическому ядру.

В более точных терминах Сфера Хилла аппроксимирует гравитационную сферу влияния меньшего тела перед лицом возмущений со стороны более массивного тела. Он был определен американским астрономом Джорджем Уильямом Хиллом на основе работы французского астронома Эдуарда Роша <41.>. По этой причине она также известна как «сфера Роша» (не путать с пределом Роша или Рошем Лобе ).

В примере справа сфера Холма Земли простирается между точками Лагранжа L1 и L2, которые лежат вдоль линии центров двух тел (Земли и Солнца).. Область влияния второго тела является самой короткой в ​​этом направлении, и поэтому она действует как ограничивающий фактор для размера сферы Хилла. За пределами этого расстояния третий объект на орбите вокруг второго (например, Луна) будет проводить по крайней мере часть своей орбиты за пределами сферы Хилла и будет постепенно возмущаться приливными силами центрального тела (например, Солнца), в конечном итоге в конечном итоге на орбите последнего.

• 1 Формула и примеры
  • 1.1 Вывод
  • 1.2 Истинная область устойчивости
  • 1.3 Дополнительные примеры
• 2 Солнечная система
• 3 См. Также
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Сравнение сфер Хилла и пределов Роша системы Солнце-Земля-Луна (не в масштабе) с заштрихованными областями, обозначающими стабильные орбиты спутников каждого тела

Если масса меньшего тела (например, Земли) имеет размер $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$и вращается вокруг более тяжелого тела (например, Солнца) с массой $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$с большой полуосью $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$и эксцентриситетом, равным $e\; \{\backslash \; displaystyle\; e\}$, тогда радиус $r\; H\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{H\}\}\}$сферы Хилла меньшего тела, рассчитанный в перицентре, составляет примерно

$r\; H\; \approx \; a\; (1\; -\; e)\; m\; 3\; M\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{H\}\}\; \backslash \; приблизительно\; a\; (1-e)\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; frac\; \{m\}\; \{3M\}\}\}.\}$

Когда эксцентриситет пренебрежимо мал (самый благоприятный случай для орбитальной устойчивости), это становится

$r\; H\; \approx \; am\; 3\; M\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{H\}\}\; \backslash \; приблизительно\; a\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; frac\; \{m\}\; \{3M\}\}\}.\}$

В примере Земля-Солнце Земля (5,97 × 10 кг) вращается вокруг Солнца (1,99 × 10 кг) на расстоянии 149,6 млн км, или одна астрономическая единица (а.е.). Таким образом, сфера Хилла для Земли простирается примерно на 1,5 миллиона км (0,01 а.е.). Орбита Луны, находящаяся на расстоянии 0,384 миллиона км от Земли, удобно находится в пределах гравитационной сферы влияния Земли, и поэтому ей не грозит втягивание на независимую орбиту вокруг Солнца. Все стабильные спутники Земли (находящиеся в сфере Хилл Земли) должны иметь период обращения короче семи месяцев.

Предыдущую формулу (без учета эксцентриситета) можно переформулировать следующим образом:

$3\; r\; H\; 3\; a\; 3\; \approx \; m\; M.\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\; \{\backslash \; frac\; \{r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{H\}\}\; ^\; \{3\}\}\; \{a\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{m\}\; \{M\}\}.\}$

Это выражает отношение по объему сферы Хилла по сравнению с объемом орбиты второго тела вокруг первого; в частности, соотношение масс в три раза больше отношения объемов этих двух сфер.

Вывод

Выражение для радиуса Хилла можно найти, приравняв гравитационные и центробежные силы, действующие на пробную частицу (с массой намного меньше $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$) на орбите вторичного тела. Предположим, что расстояние между массами $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$и $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$равно $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$, и что тестовая частица движется по орбите на расстоянии $r\; H\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{H\}\}\}$от вторичного объекта. Когда пробная частица находится на линии, соединяющей первичное и вторичное тела, баланс сил требует, чтобы

$G\; mr\; H\; 2\; -\; GM\; (r\; -\; r\; H)\; 2\; +\; \Omega \; 2\; (r\; -\; r\; H)\; =\; 0,\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\}\; \{r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{H\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{GM\}\; \{(r-r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{H\}\})\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \backslash \; Omega\; ^\; \{2\}\; (r-r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{H\}\})\; =\; 0,\}$

где $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$- гравитационная постоянная, а $\Omega \; =\; GM\; r\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{GM\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\}\}$- (кеплеровская ) угловая скорость вторичный относительно первичного (при условии, что $m\; \ll \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; ll\; M\}$). Вышеупомянутое уравнение можно также записать как

$mr\; H\; 2\; -\; M\; r\; 2\; (1\; -\; r\; H\; r)\; -\; 2\; +\; M\; r\; 2\; (1\; -\; r\; H\; r)\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{m\}\; \{r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{H\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{M\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{H\}\}\}\; \{r\; \}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{M\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{H\}\}\}\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 0,\}$

который с помощью биномиального разложения до ведущего порядка в $r\; H\; /\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{H\}\}\; /\; r\}$может быть записан как

$г-н\; ЧАС\; 2\; -\; М\; р\; 2\; (1\; +\; 2\; р\; ЧАС\; р)\; +\; М\; р\; 2\; (1\; -\; р\; ЧАС\; р)\; =\; г-н\; ЧАС\; 2\; -\; М\; р\; 2\; (3\; р\; ЧАС\; г)\; \approx \; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{m\}\; \{r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{H\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{M\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{H\; \}\}\}\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{M\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{H\}\}\}\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{m\}\; \{r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{H\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{M\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (3\; \{\backslash \; frac\; \{r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{\; H\}\}\}\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; приблизительно\; 0.\}$

Следовательно, указанное выше соотношение

$r\; H\; r\; \approx \; m\; 3\; M\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{H\}\}\}\; \{r\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; frac\; \{m\}\; \{3M\}\}\}.\}$

Если орбита вторичная обмотка вокруг первичной имеет эллиптическую форму, радиус Хилла максимален в апоцентре, где $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$является наибольшим и минимальным в перицентре орбиты. Следовательно, для обеспечения стабильности тестовых частиц (например, малых спутников) необходимо учитывать радиус Хилла на расстоянии перицентра. В начальном порядке в $r\; H\; /\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{H\}\}\; /\; r\}$, радиус Хилла выше также представляет расстояние до точки Лагранжа L 1 от вторичного.

Быстрый способ оценки радиуса сферы Хилла заключается в замене массы плотностью в приведенном выше уравнении:

$r\; HR\; вторичный\; \approx \; a\; R\; первичный\; \rho \; вторичный\; 3\; \rho \; первичный\; 3\; \approx \; a\; R\; первичный,\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{H\}\}\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{secondary\}\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{primary\}\}\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; [\{\; 3\}]\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{secondary\}\}\}\; \{3\; \backslash \; rho\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{primary\}\}\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{primary\}\}\; \}\},\}$

где $\rho \; second\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{second\}\}\}$и $\rho \; primary\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{primary\; \}\}\}$- это средние плотности первичного и вторичного тел, а $R\; вторичный\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{вторичный\}\}\}$и $R\; primary\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{primary\}\}\}$- их радиусы. Второе приближение оправдано тем фактом, что в большинстве случаев в Солнечной системе $\rho \; вторичный\; 3\; \rho \; первичный\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{secondary\; \}\}\}\; \{3\; \backslash \; rho\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{primary\}\}\}\}\}\}$оказывается близким к единице. (Система Земля – Луна является самым большим исключением, и это приближение находится в пределах 20% для большинства спутников Сатурна.) Это также удобно, потому что многие планетные астрономы работают и запоминают расстояния в единицах радиусов планет.

Истинная область устойчивости

Сфера Хилла является лишь приблизительной, и другие силы (например, радиационное давление или эффект Ярковского ) могут в конечном итоге вывести объект из сферы. Этот третий объект также должен иметь достаточно малую массу, чтобы не создавать дополнительных осложнений из-за собственной гравитации. Детальные численные расчеты показывают, что орбиты на или в пределах сферы Хилла нестабильны в долгосрочной перспективе; похоже, что стабильные орбиты спутников существуют только в пределах от 1/2 до 1/3 радиуса Хилла. Область стабильности для ретроградных орбит на большом расстоянии от главной звезды больше, чем область для прямых орбит на большом расстоянии от главной звезды. Считалось, что это объясняет преобладание ретроградных спутников вокруг Юпитера; однако у Сатурна более равномерное сочетание ретроградных и прогрессивных спутников, поэтому причины более сложны.

Дополнительные примеры

Астронавт не мог выйти на орбиту космического шаттла ( с массой 104 тонн ), где орбита находилась на высоте 300 км над Землей, потому что его сфера Хилла на этой высоте была всего 120 см в радиусе, что намного меньше, чем сам шаттл. Сфера такого размера и массы будет плотнее свинца. Фактически, на любой низкой околоземной орбите сферическое тело должно быть более плотным, чем свинец, чтобы поместиться внутри своей собственной сферы Хилла, иначе оно не сможет поддерживать орбиту.. Однако сферический геостационарный спутник должен иметь плотность воды, превышающую 6%, чтобы поддерживать собственные спутники.

В Солнечной системе, планета с самым большим радиусом Хилла - Нептун, с размером 116 миллионов км, или 0,775 а.е. его большое расстояние от Солнца полностью компенсирует его небольшую массу относительно Юпитера (собственный радиус холма которого составляет 53 миллиона км). Астероид из пояса астероидов будет иметь сферу Хилла, которая может достигать 220 000 км (для 1 Церера ), быстро уменьшаясь с уменьшением массы. Сфера Хилла 66391 Мошуп, пересекающего Меркурий астероида с луной (названной Скваннит), имеет радиус 22 км.

Типичный Внесолнечный «горячий Юпитер », HD 209458 b, имеет радиус сферы Хилла 593000 км, что примерно в восемь раз больше его физического радиуса, составляющего примерно 71000 км. Даже самая маленькая из близких к нам внесолнечных планет CoRoT-7b по-прежнему имеет радиус сферы Хилла (61 000 км), что в шесть раз больше ее физического радиуса (примерно 10 000 км). Следовательно, у этих планет могут быть маленькие луны, расположенные близко друг к другу, хотя и не в соответствующих пределах Роша.

На следующем логарифмическом графике показан радиус Хилла (в км) некоторых тел Солнечной системы. Система:

• Межпланетная транспортная сеть
• проблема n-тел
• Сфера влияния (астродинамика)
• Сфера влияния (черная дыра)
• Рош Лобе

• Может ли астронавт вращаться вокруг космического шаттла?
• Луна, которая поднялась на холм, но упала на планету