Предел Роша

редактировать

Небесное тело (желтое) вращается вокруг массы жидкости (синего цвета), удерживаемой гравитацией, здесь вид сверху на орбитальный самолет. Вдали от предела Роша (белая линия) масса практически сферическая.

Ближе к пределу Роша тело деформируется приливными силами.

В пределах предела Роша собственная гравитация массы не может дольше выдерживает приливные силы, и тело распадается.

Частицы, расположенные ближе к первичному объекту, движутся быстрее, чем частицы, расположенные дальше, как показано красными стрелками.

Различная орбитальная скорость материала в конечном итоге приводит к его образованию

В небесной механике, предел Роша, также называемый радиусом Роша, - это расстояние от небесного тела, в пределах которого находится второе небесное тело, удерживаемые вместе только своей собственной силой гравитации, распадутся из-за приливных сил первого тела, превышающих гравитационное самопритяжение второго тела. Внутри предела Роша вращающийся по орбите материал диспергируется и образует кольца, тогда как за пределами предела материал имеет тенденцию к слиянию. Радиус Роша зависит от радиуса первого тела и от соотношения плотностей тел.

Термин назван в честь Эдуарда Роша (произносится (французский), (английский)), который был французским астрономом, который первым рассчитал этот теоретический предел в 1848 году.

Содержание

1 Пояснение
2 Избранные примеры
3 Определение
- 3.1 Жесткий -расчет спутников
  - 3.1.1 Вывод формулы
  - 3.1.2 Более точная формула
  - 3.1.3 Предел Роша, сфера Хилла и радиус планеты
- 3.2 Спутники с жидкостью
  - 3.2. 1 Вывод формулы
4 См. Также
5 Ссылки
6 Источники
7 Внешние ссылки

Объяснение

Комета Шумейкера-Леви 9 была разрушена приливом силы Юпитера на цепочку более мелких тел в 1992 году, прежде чем столкнуться с планетой в 1994 году.

Предел Роша обычно применяется к распаду спутника из-за приливные силы, вызванные его основным телом, вокруг которого он вращается. Части спутника, расположенные ближе к первичной обмотке, сильнее притягиваются гравитацией к первичной обмотке, чем части, находящиеся дальше; это несоответствие эффективно отделяет ближнюю и дальнюю части спутника друг от друга, и если несоответствие (в сочетании с любыми центробежными эффектами из-за вращения объекта) больше, чем сила тяжести, удерживающая спутник вместе, оно может тянуть спутник Кроме. Некоторые реальные спутники, как естественные, так и искусственные, могут вращаться по орбите в пределах своих границ Роша, потому что они удерживаются вместе силами, отличными от гравитации. Объекты, лежащие на поверхности такого спутника, будут подниматься приливными силами. Более слабый спутник, такой как комета, может быть разбит, когда он пройдет в пределах своего предела Роша.

Поскольку в пределах предела Роша приливные силы преодолевают гравитационные силы, которые в противном случае могли бы удерживать спутник вместе, ни один спутник не может гравитационно объединиться из более мелких частиц в этом пределе. Действительно, почти все известные планетарные кольца находятся в пределах своего предела Роша. (Заметными исключениями являются E-Ring Сатурна и кольцо Фиби. Эти два кольца могли быть остатками протопланетарного аккреционного диска планеты, которые не смогли слиться в луны, или, наоборот, образовались, когда луна прошла в пределах предела Роша и распалась.)

Предел Роша - не единственный фактор, который заставляет кометы распадаться на части. Расщепление на термическое напряжение, внутреннее давление газа и вращательное расщепление - это еще один способ расщепления кометы под действием напряжения.

Избранные примеры

В таблице ниже показаны средняя плотность и экваториальный радиус для выбранных объектов в Солнечной системе.

Первичная	Плотность (кг / м)	Радиус (м)
Солнце	1,408	696,000,000
Земля	5,513	6,378,137
Луна	3,346	1,737,100
Юпитер	1,326	71,493,000
Сатурн	687	60,267,000
Уран	1,318	25,557,000
Нептун	1,638	24,766,000

Уравнения для пределов Роша связывают минимальный устойчивый радиус орбиты с отношением плотностей двух объектов и радиуса основного тела. Следовательно, используя приведенные выше данные, можно рассчитать пределы Роша для этих объектов. Это было проделано дважды для каждого из них, принимая во внимание крайности случаев жесткого и жидкого тела. Средняя плотность комет принята около 500 кг / м 2.

В таблице ниже приведены пределы Роша, выраженные в километрах и первичных радиусах. средний радиус орбиты можно сравнить с пределами Роша. Для удобства в таблице указан средний радиус орбиты для каждой, исключая кометы, орбиты которых чрезвычайно изменчивы и эксцентричны.

Тело	Спутник	Предел Роша (жесткий)		Предел Роша (жидкость)		Средний радиус орбиты (км)
Тело	Спутник	Расстояние ( км)	R	Расстояние (км)	R	Средний радиус орбиты (км)
Земля	Луна	9,492	1,49	18,381	2,88	384,399
Земля	средняя комета	17,887	2,80	34,638	5,43	Н / Д
Солнце	Земля	556,397	0.80	1,077,467	1.55	149,597,890
Солнце	Юпитер	894,677	1,29	1,732,549	2,49	778,412,010
Солнце	Луна	657,161	0.94	1,272,598	1.83	149,597,890 примерно
Солнце	средняя комета	1,238,390	1,78	2398,152	3,45	Н / Д

Эти тела находятся далеко за пределами их Рош ограничивает различными факторами, от 21 для Луны (выше предела Роша с жидким телом) как части системы Земля-Луна и до сотен f или Земля и Юпитер.

В таблице ниже даны значения максимального сближения каждого спутника на его орбите, деленные на его собственный предел Роша. Опять же, приведены расчеты как твердых, так и жидких тел. Обратите внимание, что Пан, Корделия и Найяд, в частности, могут быть довольно близки к их фактическим точкам разрыва.

На практике плотность большинства внутренних спутников планет-гигантов неизвестна. В этих случаях, показанных курсивом, предполагаются вероятные значения, но их фактический предел Роша может отличаться от указанного значения.

Основной	Спутник	Орбитальный радиус / предел Роша
Основной	Спутник	( жесткий)	(жидкий)
Солнце	Меркурий	104: 1	54: 1
Земля	Луна	41:1	21: 1
Марс	Фобос	172%	89%
Марс	Деймос	451%	234%
Юпитер	Метис	~186%	~ 94%
	Адрастея	~ 188%	~ 95%
	Амалтея	175%	88%
	Thebe	254%	128%
Сатурн	Пан	142%	70%
	Атлас	156%	78%
	Прометей	162%	80%
	Пандора	167%	83%
	Эпиметей	200%	99%
	Янус	195%	97%
Уран	Корделия	~154%	~ 79%
	Ophelia	~166%	~ 86%
	Бьянка	~ 183%	~ 94%
	Cressida	~191%	~ 98%
	Desdemona	~194%	~ 100%
	Джульетта	~199%	~ 102%
Нептун	Наяда	~139%	~ 72%
	Таласса	~ 145%	~ 75%
	Despina	~152%	~ 78%
	Галатея	153%	79%
	Ларисса	~218%	~ 113%
Плутон	Харон	12,5: 1	6.5: 1

Определение

Предельное расстояние, на которое спутник может приблизиться без разрыва, зависит от жесткости спутника. С одной стороны, полностью жесткий спутник будет сохранять свою форму до тех пор, пока приливные силы не разорвут его на части. С другой стороны, спутник с высокой текучестью постепенно деформируется, что приводит к увеличению приливных сил, в результате чего спутник удлиняется, еще больше усугубляя приливные силы и заставляя его более легко разрушаться.

Большинство реальных спутников лежат где-то между этими двумя крайностями, с пределом прочности на разрыв, который не делает спутник ни идеально жестким, ни идеально текучим. Например, астероид из груды щебня будет вести себя больше как жидкость, чем твердый скалистый; ледяное тело сначала будет вести себя довольно жестко, но станет более жидким по мере накопления приливного тепла и его льдов, которые начнут таять.

Но обратите внимание, что, как определено выше, предел Роша относится к телу, удерживаемому вместе исключительно силами гравитации, которые заставляют иначе несвязанные частицы сливаться, образуя рассматриваемое тело. Предел Роша также обычно вычисляется для случая круговой орбиты, хотя его несложно изменить для применения к случаю (например) тела, проходящего через первичный элемент по параболической или гиперболической траектории.

Расчет жесткого спутника

Предел Роша для твердого тела - это упрощенный расчет для сферического спутника. Неправильные формы, такие как формы приливной деформации на теле или первичной орбите, игнорируются. Предполагается, что он находится в гидростатическом равновесии. Эти предположения, хотя и нереалистичные, значительно упрощают расчеты.

Предел Роша для жесткого сферического спутника - это расстояние $d {\ displaystyle d}$ $d$ от первичной обмотки, на котором сила тяжести на пробной массе на поверхности объект в точности равен приливной силе, отталкивающей массу от объекта:

d = RM (2 ρ M ρ m) 1 3 {\ displaystyle d = R_ {M} \ left (2 {\ frac {\ rho _ {M}} {\ rho _ {m}}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}}}

d=R_{M}\left(2{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}

где $RM {\ displaystyle R_ {M}}$ $R_M$ - радиус основного элемента, $ρ M {\ displaystyle \ rho _ {M}}$ $\rho_M$ - плотность основного элемента, и $ρ m {\ displaystyle \ rho _ {m}}$ $\ rho_m$ - плотность спутника. Это может быть эквивалентно записано как

d = R m (2 MMM m) 1 3 {\ displaystyle d = R_ {m} \ left (2 {\ frac {M_ {M}} {M_ {m}}} \ справа) ^ {\ frac {1} {3}}}

d=R_{m}\left(2{\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}

где $R m {\ displaystyle R_ {m}}$ $R_m$ - радиус вторичного элемента, $MM {\ displaystyle M_ {M}}$ $M_M$ - масса первичного элемента, а $M m {\ displaystyle M_ {m}}$ $M_{m}$ - масса вторичной обмотки.

Это зависит не от размера объектов, а от соотношения плотностей. Это орбитальное расстояние, внутри которого рыхлый материал (например, реголит ) на поверхности спутника, ближайшего к первичной обмотке, будет оттянут, и аналогично материал на стороне, противоположной первичной обмотке, также будет оттянут от, а не к спутнику.

Обратите внимание, что это приблизительный результат, так как сила инерции и жесткая конструкция игнорируются при его выводе.

Вывод формулы

Вывод предела Роша

Чтобы определить предел Роша, рассмотрим небольшую массу $u {\ displaystyle u}$ $u$ на поверхность спутника, ближайшего к главному. На эту массу $u {\ displaystyle u}$ $u$ действуют две силы: гравитационное притяжение к спутнику и гравитационное притяжение к первичному элементу. Предположим, что спутник находится в свободном падении вокруг первичной обмотки и что приливная сила является единственным релевантным термином гравитационного притяжения первичной обмотки. Это предположение является упрощением, поскольку свободное падение действительно применимо только к центру планеты, но его будет достаточно для этого вывода.

Гравитационное притяжение $FG {\ displaystyle F _ {\ text {G}}}$ $F_{{\text{G}}}$ с массой $u {\ displaystyle u}$ $u$ по направлению к спутнику с массой $m {\ displaystyle m}$ $m$ и радиусом $r { \ displaystyle r}$ $r$ может быть выражено согласно закону тяготения Ньютона.

FG = G mur 2 {\ displaystyle F _ {\ text {G}} = {\ frac {Gmu} {r ^ {2}}}}

F_{{\text{G}}}={\frac {Gmu}{r^{2}}}

приливная сила $FT {\ displaystyle F _ {\ text {T}}}$ $F_{{\text{T}}}$ на массу $u {\ displaystyle u}$ $u$ по направлению к главному элементу с радиусом $R {\ displaystyle R}$ $R$ и массой $M {\ displaystyle M}$ $M$ на расстоянии $d {\ displaystyle d}$ $d$ между центрами двух тел можно приблизительно выразить как

FT = 2 GM urd 3 {\ displaystyle F _ {\ text {T}} = { \ frac {2GMur} {d ^ {3}}}}

F _ {{\ text {T}}} = {\ frac {2GMur} {d ^ {3}}}

Чтобы получить это приближение, найдите разницу в гравитационное притяжение первичной звезды в центре спутника и на краю спутника, ближайшем к главному:

FT = GM u (d - r) 2 - GM ud 2 {\ displaystyle F _ {\ text {T}} = {\ frac {GMu} {(dr) ^ {2}}} - {\ frac {GMu} {d ^ {2}}}}

F_{{\text{T}}}={\frac {GMu}{(d-r)^{2}}}-{\frac {GMu}{d^{2}}}

FT = GM ud 2 - (d - r) 2 d 2 ( d - r) 2 {\ displaystyle F _ {\ text {T}} = GMu {\ frac {d ^ {2} - (dr) ^ {2}} {d ^ {2} (dr) ^ {2}} }}

F_{{\text{T}}}=GMu{\frac {d^{2}-(d-r)^{2}}{d^{2}(d-r)^{2}}}

FT = GM u 2 dr - r 2 d 4 - 2 d 3 r + r 2 d 2 {\ displaystyle F _ {\ text {T}} = GMu {\ frac {2dr-r ^ {2} } {d ^ {4} -2d ^ {3} r + r ^ {2} d ^ {2}}}}

F_{{\text{T}}}=GMu{\frac {2dr-r^{2}}{d^{4}-2d^{3}r+r^{2}d^{2}}}

В приближении, где $r ≪ R {\ displaystyle r \ ll R}$ $r\ll R$ и $R < d {\displaystyle R$ $R<d$ , можно сказать, что $r 2 {\ displaystyle r ^ {2}}$ $r^{2}$ в числителе и каждый член с $r {\ displaystyle r}$ $r$ в знаменателе стремится к нулю, что дает нам:

FT = GM u 2 drd 4 {\ displaystyle F _ {\ text {T}} = GMu {\ frac {2dr} {d ^ {4}}}}

F_{{\text{T}}}=GMu{\frac {2dr}{d^{4}}}

FT = 2 GM urd 3 {\ displaystyle F _ {\ text {T}} = {\ frac {2GMur} {d ^ {3}}}}

F _ {{\ text {T}}} = {\ frac {2GMur} {d ^ {3}}}

Предел Роша равен достигнута, когда гравитационная сила и приливная сила уравновешивают друг друга.

FG = FT {\ displaystyle F _ {\ text {G}} = F _ {\ text {T}} \;}

F_{{\text{G}}}=F_{{\text{T}}}\;

или

G mur 2 = 2 GM urd 3 {\ displaystyle {\ frac {Gmu} {r ^ {2}}} = {\ frac {2GMur} {d ^ {3}}}}

\ frac {Gmu} { r ^ 2} = \ frac {2GMur} {d ^ 3}

, что дает предел Роша, $d {\ displaystyle d}$ $d$ , как

d = r (2 M m) 1 3 {\ displaystyle d = r \ left (2 \, {\ frac {M} {m}} \ right) ^ {\ frac {1} {3 }}}

d=r\left(2\,{\frac {M}{m}}\right)^{{{\frac {1}{3}}}}

Радиус спутника не должен фигурировать в выражении для предела, поэтому он переписывается в терминах плотности.

Для сферы масса $M {\ displaystyle M}$ $M$ может быть записана как

M = 4 π ρ MR 3 3 {\ displaystyle M = {\ frac { 4 \ pi \ rho _ {M} R ^ {3}} {3}}}

M = \frac{4\pi\rho_M R^3}{3}

где

R {\ displaystyle R}

R

- радиус главного элемента.

И аналогично

m = 4 π ρ mr 3 3 {\ displaystyle m = {\ frac {4 \ pi \ rho _ {m} r ^ {3}} {3}}}

m = \frac{4\pi\rho_m r^3}{3}

где

r {\ displaystyle r}

r

- радиус спутника.

Подставляем массы в уравнение для предела Роша и сокращаем $4 π / 3 {\ displaystyle 4 \ pi / 3}$ $4\pi /3$ дает

d = r (2 ρ MR 3 ρ mr 3) 1/3 {\ displaystyle d = r \ left ({\ frac {2 \ rho _ { M} R ^ {3}} {\ rho _ {m} r ^ {3}}} \ right) ^ {1/3}}

d = r \left( \frac{ 2 \rho_M R^3 }{ \rho_m r^3 } \right)^{1/3}

который можно упростить до следующего предела Роша:

d = Р (2 ρ M ρ м) 1 3 ≈ 1,26 R (ρ M ρ м) 1 3 {\ displaystyle d = R \ left (2 \, {\ frac {\ rho _ {M}} {\ rho _ {m) }}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}} \ приблизительно 1,26R \ left ({\ frac {\ rho _ {M}} {\ rho _ {m}}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}}}

d=R\left(2\,{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{{{\frac {1}{3}}}}\approx 1.26R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{{{\frac {1}{3}}}}

Более точная формула

Так как близкий спутник e, вероятно, будет вращаться по почти круговой орбите с синхронным вращением, подумайте, как центробежная сила от вращения повлияет на результаты. Эта сила равна

FC = ω 2 ur = GM urd 3 {\ displaystyle F_ {C} = \ omega ^ {2} ur = {\ frac {GMur} {d ^ {3}}}}

F_C = \ omega ^ 2 ur = \ frac {GMur} {d ^ 3}

и он добавляется к F T. Расчет баланса сил дает следующий результат для предела Роша:

d = RM (3 ρ M ρ m) 1 3 ≈ 1,442 RM (ρ M ρ m) 1 3 {\ displaystyle d = R_ {M} \ left (3 \; {\ frac {\ rho _ {M}} {\ rho _ {m}}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}} \ приблизительно 1.442R_ {M} \ left ({ \ frac {\ rho _ {M}} {\ rho _ {m}}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}}}

d = R_ {M} \ left (3 \; {\ frac {\ rho _ {M }} {\ rho _ {m}}} \ right) ^ {{{\ frac {1} {3}}}} \ приблизительно 1.442R_ {M} \ left ({\ frac {\ rho _ {M}} {\ rho _ {m}}} \ right) ^ {{{\ frac {1} {3}}}}

.......... (1)

или: $d = R m (3 MMM m) 1 3 ≈ 1,442 R m (MMM m) 1 3 {\ displaystyle d = R_ {m} \ left (3 \; {\ frac {M_ {M}} {M_ {m}}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}} \ приблизительно 1.442R_ {m} \ left ({\ frac {M_ {M}} {M_ {m }}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}}}$ $d=R_{m}\left(3\;{\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.442R_{m}\left({\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}$ .......... (2)

Используйте $m = 4 π ρ mr 3 3 {\ displaystyle m = {\ frac {4 \ pi \ rho _ {m} r ^ {3}} {3}}}$ $m = \frac{4\pi\rho_m r^3}{3}$ (где $r {\ displaystyle r }$ $r$ - радиус спутника) вместо $ρ m {\ displaystyle \ rho _ {m}}$ $\ rho_m$ в формуле (1) мы можем получить третью формулу:.

d = (9 мм 4 π ρ м) 1 3 ≈ 0,8947 (мм ρ м) 1 3 {\ displaystyle d = \ left ({\ frac {9M_ {M}} {4 \ pi \ rho _ {m) }}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}} \ приблизительно 0,8947 \ left ({\ frac {M_ {M}} {\ rh o _ {m}}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}}}

d=\left({\frac {9M_{M}}{4\pi \rho _{m}}}\right)^{{{\frac {1}{3}}}}\approx 0.8947\left({\frac {M_{M}}{\rho _{m}}}\right)^{{{\frac {1}{3} }}}

.......... (3)

Таким образом, достаточно наблюдать массу звезды (планеты) и оценивать плотность планеты (спутника), чтобы вычислить предел Роша для планеты (спутника) в звездной (планетной) системе.

Предел Роша, сфера Хилла и радиус планеты

Сравнение сфер Хилла и пределов Роша системы Солнце-Земля-Луна (не в масштабе) с заштрихованными областями, обозначающими стабильные орбиты спутников каждого тела

Рассмотрим планету с плотностью $ρ m {\ displaystyle \ rho _ {m}}$ $\ rho_m$ и радиусом $r {\ displaystyle r}$ $r$ , вращаясь вокруг звезды с массой M на расстояние R,. Давайте поместим планету на ее предел Роша: $RR oche = 9 M 4 π ρ m 3 {\ displaystyle R _ {\ mathrm {Roche}} = {\ sqrt [{3}] {\ frac {9M} {4 \ pi \ rho _ {m}}}}}$ $R _ {{{\ mathrm {Roche}}}} = {\ sqrt [{3}] {{\ frac {9M} {4 \ pi \ rho _ {m}}}}}$ . Сфера холма планеты здесь находится около L1 (или L2): $RH ill = RR ochem 3 M 3 {\ displaystyle R _ {\ mathrm {Hill}} = R _ {\ mathrm {Roche}} {\ sqrt [{3 }] {\ frac {m} {3M}}}}$ $R_{{{\mathrm {Hill}}}}=R_{{{\mathrm {Roche} }}}{\sqrt[ {3}]{{\frac {m}{3M}}}}$ , сфера Хилла.......... (4). см. сфера Хилла, или полость Роша.

ℓ = 9 M 4 π ρ m. м 3 M 3 = r {\ displaystyle \ ell = {\ sqrt [{3}] {{\ frac {9M} {4 \ pi \ rho _ {m}}}. {\ frac {m} {3M}} }} = r}

\ell ={\sqrt[{3}]{{\frac {9M}{4\pi \rho _{m}}}.{\frac {m}{3M}}}}=r

поверхность планеты совпадает с полостью Роша (или планета полностью заполняет полость Роша)!

Небесное тело не может поглотить ничего или даже больше, потерять свой материал. Это физический смысл предела Роша, полости Роша и сферы Хилла.

Формулу (2) можно описать как: $R Roche = R Hill 3 M m 3 = R вторичный 3 M m 3 {\ displaystyle R _ {\ text {Roche}} = R _ {\ text {Hill}} {\ sqrt [{3}] {\ frac {3M} {m}}} = R _ {\ text {secondary}} {\ sqrt [{3}] {\ frac {3M} {m}} }}$ $R_{{{\text{Roche}}}}=R_{{{\text{Hill}}}}{\sqrt[ {3}]{{\frac {3M}{m}}}}=R_{{\text{secondary}}}{\sqrt[ {3}]{{\frac {3M}{m}}}}$ , совершенная математическая симметрия.. Это астрономическое значение предела Роша и сферы Хилла.

Флюидные спутники

Более точный подход к вычислению предела Роша учитывает деформацию спутника. Ярким примером может быть запертый приливом жидкий спутник, вращающийся вокруг планеты, где любая сила, действующая на спутник, деформирует его в вытянутый сфероид.

. Расчет сложен, и его результат не может быть представлен в точной алгебраической формуле. Сам Рош получил следующее приближенное решение для предела Роша:

d ≈ 2,44 R (ρ M ρ m) 1/3 {\ displaystyle d \ приблизительно 2.44R \ left ({\ frac {\ rho _ {M}}) {\ rho _ {m}}} \ right) ^ {1/3}}

d \approx 2.44R\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{1/3}

Однако лучшее приближение, которое учитывает сжатие главной звезды и массу спутника:

d ≈ 2,423 R (ρ M ρ м) 1/3 ((1 + м 3 M) + c 3 R (1 + m M) 1 - c / R) 1/3 {\ displaystyle d \ приблизительно 2,423R \ left ({\ frac {\ rho _ {M}} {\ rho _ {m}}} \ right) ^ {1/3} \ left ({\ frac {(1 + {\ frac {m} {3M}}) + {\ frac {c } {3R}} (1 + {\ frac {m} {M}})} {1-c / R}} \ right) ^ {1/3}}

d \approx 2.423 R\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{1/3} \left( \frac{(1+\frac{m}{3M})+\frac{c}{3R}(1+\frac{m}{M})}{1-c/R} \right)^{1/3}

где $c / R {\ displaystyle c / R}$ $c/R$ - это сжатие основного элемента. Числовой коэффициент рассчитывается с помощью компьютера.

Жидкий раствор подходит для тел, которые только слабо удерживаются вместе, таких как комета. Например, затухающая орбита кометы Шумейкера – Леви 9 вокруг Юпитера в июле 1992 г. прошла в пределах своего предела Роша, в результате чего она распалась на несколько более мелких частей. При его следующем приближении в 1994 году осколки врезались в планету. Шумейкер-Леви 9 был впервые обнаружен в 1993 году, но его орбита указала на то, что он был захвачен Юпитером за несколько десятилетий до этого.

Вывод формулы

Поскольку случай жидкого спутника более тонкий чем жесткий, спутник описывается с некоторыми упрощающими предположениями. Сначала предположим, что объект состоит из несжимаемой жидкости с постоянной плотностью $ρ m {\ displaystyle \ rho _ {m}}$ $\ rho_m$ и объемом $V {\ displaystyle V}$ <220.>которые не зависят от внешних или внутренних сил.

Во-вторых, предположим, что спутник движется по круговой орбите и остается в синхронном вращении. Это означает, что угловая скорость $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ , с которой он вращается вокруг своего центра масс, совпадает с угловой скоростью, с которой он движется вокруг центра масс системы в целом..

Угловая скорость $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ дается третьим законом Кеплера :

ω 2 = GM + md 3. {\ displaystyle \ omega ^ {2} = G \, {\ frac {M + m} {d ^ {3}}}.}

\ omega ^ 2 = G \, \ frac {M + m} {d ^ 3}.

Когда M намного больше m, это будет близко к

ω 2 = GM d 3. {\ displaystyle \ omega ^ {2} = G \, {\ frac {M} {d ^ {3}}}.}

\omega^2 = G \, \frac{M}{d^3}.

Синхронное вращение означает, что жидкость не движется, и проблему можно рассматривать как статический. Следовательно, вязкость и трение жидкости в этой модели не играют роли, поскольку эти величины будут играть роль только для движущейся жидкости.

Учитывая эти допущения, следует учитывать следующие силы:

Сила гравитации, создаваемая основным телом;
центробежная сила во вращающемся справочная система; и
поле самогравитации спутника.

Поскольку все эти силы консервативны, они могут быть выражены с помощью потенциала. Более того, поверхность спутника - эквипотенциальная. В противном случае разность потенциалов могла бы вызвать силы и движение некоторых частей жидкости на поверхности, что противоречит предположению статической модели. Учитывая расстояние от основного корпуса, необходимо определить форму поверхности, которая удовлетворяет условию эквипотенциальности.

Радиальное расстояние от одной точки на поверхности эллипсоида до центра масс

Поскольку орбита была принята круговой, общая гравитационная сила и орбитальная центробежная сила, действующие на основное тело, взаимно компенсируются. Остается две силы: приливная сила и вращательная центробежная сила. Приливная сила зависит от положения относительно центра масс, уже рассмотренного в жесткой модели. Для малых тел расстояние жидких частиц от центра тела мало по сравнению с расстоянием d до основного тела. Таким образом, приливная сила может быть линеаризована, что приведет к формуле для F T, приведенной выше.

В то время как эта сила в жесткой модели зависит только от радиуса r спутника, в случае жидкости необходимо учитывать все точки на поверхности, а приливная сила зависит от расстояния Δd от центра. массы на данную частицу, проецируемую на линию, соединяющую спутник и основное тело. Мы называем Δd радиальным расстоянием. Поскольку приливная сила линейна по Δd, соответствующий потенциал пропорционален квадрату переменной, и для $m ≪ M {\ displaystyle m \ ll M}$ $m\ll M$ мы имеем

VT = - 3 GM 2 d 3 Δ d 2 {\ displaystyle V_ {T} = - {\ frac {3GM} {2d ^ {3}}} \ Delta d ^ {2} \,}

V_T = - \frac{3 G M }{2 d^3}\Delta d^2 \,

Аналогичным образом центробежная сила имеет потенциал

VC = - 1 2 ω 2 Δ d 2 = - GM 2 d 3 Δ d 2 {\ displaystyle V_ {C} = - {\ frac {1} {2}} \ omega ^ {2} \ Дельта d ^ {2} = - {\ frac {GM} {2d ^ {3}}} \ Delta d ^ {2} \,}

V_C = - \frac{1}{2} \omega ^2 \Delta d^2 = - \frac{G M }{2 d^3}\Delta d^2 \,

для угловой скорости вращения $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ .

Мы хотим определить форму спутника, для которой сумма потенциала самогравитации и V T + V C на поверхности тела постоянна. В общем, такую задачу очень сложно решить, но в данном конкретном случае ее можно решить умелым предположением из-за квадратичной зависимости приливного потенциала от радиального расстояния Δd В первом приближении центробежной силой можно пренебречь. потенциал V C и учитывать только приливный потенциал V T.

Поскольку потенциал V T изменяется только в одном направлении, то есть в направлении к основному телу, можно ожидать, что спутник будет принимают осесимметричный вид. Точнее, мы можем предположить, что он принимает форму твердого тела вращения. Собственный потенциал на поверхности такого тела вращения может зависеть только от радиального расстояния до центра масс. Действительно, пересечение спутника и плоскости, перпендикулярной линии, соединяющей тела, представляет собой диск, граница которого по нашим предположениям представляет собой круг постоянного потенциала. Если разность между потенциалом самогравитации и V T будет постоянной, оба потенциала должны одинаково зависеть от Δd. Другими словами, собственный потенциал должен быть пропорционален квадрату Δd. Тогда можно показать, что эквипотенциальное решение представляет собой эллипсоид вращения. При постоянной плотности и объеме собственный потенциал такого тела зависит только от эксцентриситета ε эллипсоида:

V s = V s 0 + G π ρ m ⋅ f (ε) ⋅ Δ d 2, {\ displaystyle V_ {s} = V_ {s_ {0}} + G \ pi \ rho _ {m} \ cdot f (\ varepsilon) \ cdot \ Delta d ^ {2},}

{\ displaystyle V_ {s} = V_ {s_ {0}} + G \ pi \ rho _ { m} \ cdot f (\ varepsilon) \ cdot \ Delta d ^ {2},}

где $V s 0 {\ displaystyle V_ {s_ {0}}}$ $V_{s_0}$ - постоянный собственный потенциал на пересечении кругового края тела и центральной плоскости симметрии, определяемый уравнением Δd = 0.

Безразмерная функция f должна быть определена из точного решения для потенциала эллипсоида

f (ε) = 1 - ε 2 ε 3 ⋅ [(3 - ε 2) ⋅ artanh ⁡ ε - 3 ε] {\ Displaystyle е (\ varepsilon) = {\ frac {1- \ varepsilon ^ {2}} {\ varepsilon ^ {3}}} \ cdot \ left [\ left (3- \ varepsilon ^ {2 } \ right) \ cdot \ operatorname {artanh} \ varepsilon -3 \ varepsilon \ right]}

f(\varepsilon)={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{\varepsilon ^{3}}}\cdot \left[\left(3-\varepsilon ^{2}\right)\cdot \operatorname {artanh} \varepsilon -3\varepsilon \right]

и, как ни странно, не зависит от громкости спутника.

График безразмерной функции f, который показывает, как сила приливного потенциала зависит от эксцентриситета эллипсоида ε.

Хотя явный вид функции f выглядит сложным, ясно, что мы можем и делаем выбирают значение ε так, чтобы потенциал V T был равен V S плюс константа, не зависящая от переменной Δd. При осмотре это происходит, когда

2 G π ρ MR 3 d 3 = G π ρ mf (ε) {\ displaystyle {\ frac {2G \ pi \ rho _ {M} R ^ {3}} {d ^ {3}}} = G \ pi \ rho _ {m} f (\ varepsilon)}

{\ displaystyle {\ frac {2G \ pi \ rho _ {M} R ^ {3}} {d ^{3}}}=G\pi \rho _{m}f(\varepsilon)}

Это уравнение можно решить численно. График показывает, что существует два решения, и поэтому меньшее из них представляет собой устойчивую форму равновесия (эллипсоид с меньшим эксцентриситетом). Это решение определяет эксцентриситет приливного эллипсоида как функцию расстояния до основного тела. Производная функции f имеет нуль, где достигается максимальный эксцентриситет. Это соответствует пределу Роша.

Производная от f определяет максимальный эксцентриситет. Это дает предел Роша.

Точнее, предел Роша определяется тем фактом, что функция f, которую можно рассматривать как нелинейную меру силы, сжимающей эллипсоид в сторону сферической формы, ограничена так, что существует эксцентриситет, при котором эта сжимающая сила становится максимальной. Поскольку при приближении спутника к основному телу приливная сила увеличивается, очевидно, что существует критическое расстояние, на котором эллипсоид разрывается.

Максимальный эксцентриситет может быть вычислен численно как ноль производной f '. Получаем

ε max ≈ 0. 86 {\ displaystyle \ varepsilon _ {\ text {max}} \ приблизительно 0 {.} 86}

\varepsilon _{\text{max}}\approx 0{.}86

, что соответствует соотношению осей эллипсоида 1: 1,95. Подставляя это в формулу для функции f, можно определить минимальное расстояние, на котором существует эллипсоид. Это предел Роша,

d ≈ 2. 423 ⋅ R ⋅ ρ M ρ м 3. {\ displaystyle d \ приблизительно 2 {.} 423 \ cdot R \ cdot {\ sqrt [{3}] {\ frac {\ rho _ {M}} {\ rho _ {m}}}} \,.}

d \approx 2{.}423 \cdot R \cdot \sqrt[3]{ \frac {\rho_M} {\rho_m} } \,.

Удивительно, но включение центробежного потенциала имеет очень мало значения, хотя объект становится эллипсоидом Роша, общим трехосным эллипсоидом со всеми осями, имеющими разную длину. Потенциал становится гораздо более сложной функцией длин осей, требующей эллиптических функций. Однако решение происходит так же, как и в случае только приливных волн, и мы находим

d ≈ 2. 455 ⋅ R ⋅ ρ M ρ м 3. {\ displaystyle d \ приблизительно 2 {.} 455 \ cdot R \ cdot {\ sqrt [{3}] {\ frac {\ rho _ {M}} {\ rho _ {m}}}} \,.}

d \approx 2{.}455 \cdot R \cdot \sqrt[3]{ \frac {\rho_M} {\rho_m} } \,.

Отношение полярного направления к направлению орбиты и осям основного направления составляет 1: 1,06: 2,07.

См. Также

полость Роша
предел Чандрасекара
сфера Хилла
спагеттификация (крайний случай приливного искажения)
Черная дыра
Тритон (луна) (спутник Нептуна)
Комета Шумейкер – Леви 9

Источники

Эдуард Рош: «Фигурка массового флюида. un point éloigné "(Фигура жидкой массы, подверженной притяжению отдаленной точки), часть 1, Académie des Sciences de Montpellier: Mémoires de la section des Sciences, Volume 1 (1849) 243–262. 2.44 упоминается на странице 258. (на французском языке)
Эдуар Рош: «La figure d'une masse fluide soumise à l'attraction d'un point éloigné», часть 2, Académie des Sciences de Montpellier: Mémoires de la section des Sciences, Volume 1 (1850) 333–348. (на французском языке)
Эдуар Рош: "La figure d'une masse fluide soumise à l'attraction d'un point éloigné", часть 3, Académie des Sciences de Montpellier: Mémoires de la section des Sciences, Volume 2 (1851) 21–32. (на французском языке)
Джордж Ховард Дарвин, «О фигуре и устойчивости жидкого спутника», Scientific Papers, Volume 3 (1910) 436–524.
Джеймс Хопвуд Джинс, Проблемы космогонии и звездной динамики, Глава III: Эллипсоидальные конфигурации равновесия, 1919.
S. Чандрасекар, Эллипсоидальные фигуры равновесия (Нью-Хейвен: издательство Йельского университета, 1969), Глава 8: Эллипсоиды Роша (189–240).
Чандрасекхар, С. (1963). «Равновесие и устойчивость эллипсоидов Роша». Астрофизический журнал. 138 : 1182–1213. Bibcode : 1963ApJ... 138.1182C. doi : 10.1086 / 147716.

Внешние ссылки

Обсуждение предела Роша
Аудио: Каин / Гей - Астрономический состав Приливные силы во Вселенной - август 2007 г.
Описание предела Роша из НАСА