Категория Гротендика

редактировать

В математике категория Гротендика представляет собой определенный вид абелевой категория, введенная в статье Александра Гротендика Тохоку 1957 года с целью разработки механизма гомологической алгебры для модулей и для шкивов унифицированным образом. Теория этих категорий получила дальнейшее развитие в основополагающей диссертации Пьера Габриэля в 1962 году.

Каждому алгебраическому разнообразию $V {\ displaystyle V}$ $V$ можно связать категорию Гротендика $Qcoh ⁡ (V) {\ displaystyle \ operatorname {Qcoh} (V)}$ $\ operatorname {Qcoh} (V)$ , состоящую из квазикогерентных пучков на $V {\ displaystyle V}$ $V$ . Эта категория кодирует всю соответствующую геометрическую информацию о $V {\ displaystyle V}$ $V$ , а $V {\ displaystyle V}$ $V$ может быть восстановлен из $Qcoh ⁡ (V) {\ displaystyle \ operatorname {Qcoh} (V)}$ $\ operatorname {Qcoh} (V)$ (теорема реконструкции Габриэля – Розенберга ). Этот пример дает начало одному подходу к некоммутативной алгебраической геометрии : тогда изучение «некоммутативных многообразий» есть не что иное, как изучение (определенных) категорий Гротендика.

Содержание

1 Определение
2 Примеры
- 2.1 Построение дополнительных категорий Гротендика
3 Свойства и теоремы
- 3.1 Особые виды объектов и категории Гротендика
4 Примечания
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Определение

По определению, категория Гротендика $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ является категорией AB5 с генератором . В тексте это означает, что

$A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ является абелевой категорией ;
для каждого (возможно бесконечного) семейства объектов в $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ имеет сопродукт (также известный как прямая сумма) в $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ ;
прямые пределы из коротких точных последовательностей точны; это означает, что если дана прямая система коротких точных последовательностей в $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ , то индуцированная последовательность прямых ограничений будет короткую точную последовательность. (Прямые ограничения всегда с точностью до правого края ; здесь важно то, что мы также требуем, чтобы они были с точностью до левого края.)
$A {\ displaystyle {\ mathcal { A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ имеет генератор, т.е. есть объект $G {\ displaystyle G}$ $G$ в $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ такой, что $Hom ⁡ (G, -) {\ displaystyle \ operatorname {Hom} (G, -)}$ $\ operatorname {Hom} (G, -)$ является точным функтором из $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ в категорию наборов. (В нашей ситуации это эквивалентно тому, что каждый объект $X {\ displaystyle X}$ $X$ из $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ допускает эпиморфизм $G (I) → X {\ displaystyle G ^ {(I)} \ rightarrow X}$ $G ^ {{(I)}} \ rightarrow X$ , где $G (I) {\ displaystyle G ^ {(I)}}$ $G ^ {{(I)}}$ обозначает прямую сумму копий $G {\ displaystyle G}$ $G$ , по одной для каждого элемента (возможно бесконечного) множества $I {\ displaystyle I}$ $I$ .)

Название «категория Гротендика» не фигурировало ни в статье Гротендика Тохоку, ни в диссертации Габриэля; оно появилось во второй половине 1960-х годов в работах нескольких авторов, в том числе Яна-Эрика Рооса., Бо Стенстрём, Ульрих Оберст и Бодо Парейгис. (Некоторые авторы используют другое определение в том смысле, что они не требуют наличия генератора.)

Примеры

Прототипным примером категории Гротендика является категория абелевых групп ; абелева группа $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ из тегеры могут служить генератором.
В более общем смысле, для любого кольца $R {\ displaystyle R}$ $R$ (ассоциативный, с $1 {\ displaystyle 1}$ $1$ , но не обязательно коммутативно), категория $Mod ⁡ (R) {\ displaystyle \ operatorname {Mod} (R)}$ $\ operatorname {Mod } (R)$ всех прав (или альтернативно : left) модули на $R {\ displaystyle R}$ $R$ - категория Гротендика; $R {\ displaystyle R}$ $R$ само по себе может служить генератором.
Учитывая топологическое пространство $X {\ displaystyle X}$ $X$ , категория всех пучков абелевых групп на $X {\ displaystyle X}$ $X$ является категорией Гротендика. (В более общем смысле: категория всех связок правых $R {\ displaystyle R}$ $R$ -модулей на $X {\ displaystyle X}$ $X$ является категорией Гротендика для любого кольцо $R {\ displaystyle R}$ $R$ .)
Дано окольцованное пространство $(X, OX) {\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$ $(X, {\ mathcal {O}} _ {X})$ , категория пучков O X -модулей является категорией Гротендика.
Учитывая (аффинный или проективный) алгебраический разновидность $V {\ displaystyle V}$ $V$ (или, в более общем смысле: квазикомпактная квазиразделенная схема ), категория $Qcoh ⁡ (V) {\ displaystyle \ operatorname {Qcoh} (V)}$ $\ operatorname {Qcoh} (V)$ из квазикогерентных пучков на $V {\ displaystyle V }$ $V$ - категория Гротендика.
Для небольшого участка (C, J) (т.е. небольшой категории C вместе с топологией Гротендика J) категория все пучки абелевых групп на сайте являются категорией Гротендика.

Построение дальнейшей категории Гротендика ries

Любая категория, эквивалентная категории Гротендика, сама по себе является категорией Гротендика.
Учитывая категории Гротендика $A 1,…, A n {\ displaystyle {\ mathcal { A_ {1}}}, \ ldots, {\ mathcal {A_ {n}}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A_ {1}}}, \ ldots, {\ mathcal {A_ {n}}}}$ , категория продукта $A 1 ×… × A n {\ displaystyle {\ mathcal {A_ {1}}} \ times \ ldots \ times {\ mathcal {A_ {n}}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A_ {1}}} \ times \ ldots \ times {\ mathcal {A_ {n} }}}$ - категория Гротендика.
Учитывая малое категория $C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {C}}$ и категория Гротендика $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ , категория функтора $Funct ⁡ (C, A) {\ displaystyle \ operatorname {Funct} ({\ mathcal {C}}, {\ mathcal {A}})}$ $\ operatorname {Funct} (\ mathcal {C}, \ mathcal {A})$ , состоящий из всех ковариантных функторов от $C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {C}}$ до $A {\ displaystyle {\ mathcal {A} }}$ ${\ mathcal {A}}$ , категория Гротендика.
Учитывая небольшой предаддитив category $C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {C}}$ и Грот категория ndieck $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ , категория функтора $Добавить ⁡ (C, A) {\ displaystyle \ operatorname {Add} ({\ mathcal { C}}, {\ mathcal {A}})}$ $\ operatorname {Add} (\ mathcal {C}, \ mathcal {A})$ всех аддитивных ковариантных функторов от $C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {C}}$ до $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ - категория Гротендика.
Если $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ - категория Гротендика, а $C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {C}}$ - подкатегория локализации из $A {\ displaystyle {\ mathcal {A }}}$ ${\ mathcal {A}}$ , затем и $C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {C}}$ , и факторная категория Серра $A / C {\ displaystyle {\ mathcal {A}} / {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {A}} / {\ mathcal {C}}$ - категории Гротендика.

Свойства и теоремы

Каждая категория Гротендика содержит инъективное когенератор. Например, инъективным когенератором категории абелевых групп является фактор-группа $Q / Z {\ displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$ ${\ mathbb {Q}} / {\ mathbb {Z}}$ .

Каждый объект в Категория Гротендика $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ имеет инъективную оболочку в $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ . Это позволяет построить инъективные разрешения и тем самым использовать инструменты гомологической алгебры в $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ , чтобы определить производные от функторы. (Обратите внимание, что не все категории Гротендика допускают проективные разрешения для всех объектов; примерами являются категории пучков абелевых групп во многих топологических пространствах, например в пространстве действительных чисел.)

В категория Гротендика, любое семейство субобъектов $(U i) {\ displaystyle (U_ {i})}$ $(U_ {i})$ данного объекта $X {\ displaystyle X}$ $X$ также имеет supremum (или "сумму") $∑ i U i {\ textstyle \ sum _ {i} U_ {i}}$ ${\ textstyle \ sum _ {i} U_ {i}}$ как инфимум (или "пересечение") $∩ i U i {\ displaystyle \ cap _ {i} U_ {i}}$ ${\ displaystyle \ cap _ {i} U_ {i}}$ , оба из которых снова являются подобъектами $Х {\ Displaystyle X}$ $X$ . Кроме того, если семейство $(U i) {\ displaystyle (U_ {i})}$ $(U_ {i})$ направлено (т.е. для любых двух объектов в семействе существует третий объект в семействе, который содержит два), и $V {\ displaystyle V}$ $V$ - еще один подобъект $X {\ displaystyle X}$ $X$ , мы имеем

∑ i (U i ∩ V) = (∑ i U i) ∩ V. {\ displaystyle \ sum _ {i} (U_ {i} \ cap V) = \ left (\ sum _ {i} U_ {i} \ right) \ cap V.}

\ sum _ {{i}} (U_ {i} \ cap V) = \ left (\ sum _ {{i}} U_ {i} \ right) \ крышка V.

Категории Гротендика хорошо -powered (иногда называемый локально малым, хотя этот термин также используется для другой концепции), т.е. набор подобъектов любого заданного объекта образует набор (а не надлежащий класс ).

Это довольно глубокий результат, что каждая категория Гротендика $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ является полной, то есть этот произвольный ограничивает (и в определенные продукты ) существуют в $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ . Напротив, это непосредственно следует из определения, что $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ является со-полным, т. е. произвольные копределы и сопродукции (прямые суммы) существуют в $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ . Копродукции в категории Гротендика являются точными (т. е. копроизведение семейства коротких точных последовательностей снова является короткой точной последовательностью), но для продуктов необходимо не быть точным.

Функтор $F: A → X {\ displaystyle F \ двоеточие {\ cal {A}} \ to {\ cal {X}}}$ ${\ displaystyle F \ двоеточие {\ cal {A}} \ to {\ cal {X}}}$ из категории Гротендика $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ в произвольную категорию $X {\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$ ${\ mathcal {X}}$ имеет левый сопряженный тогда и только тогда, когда он коммутирует со всеми пределами, и он имеет правый сопряженный тогда и только тогда, когда он коммутирует со всеми копределами. Это следует из специальной теоремы Питера Дж. Фрейда о присоединенном функторе и двойственной ей.

Теорема Габриэля – Попеску утверждает, что любая категория Гротендика $A { \ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ эквивалентно полной подкатегории категории $Mod ⁡ (R) {\ displaystyle \ operatorname {Mod} (R) }$ $\ operatorname {Mod } (R)$ правых модулей над некоторым унитальным кольцом $R {\ displaystyle R}$ $R$ (которое можно принять за кольцо эндоморфизмов генератора $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ ) и $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ можно получить как Частное Габриэля от $Mod ⁡ (R) {\ displaystyle \ operatorname {Mod} (R)}$ $\ operatorname {Mod } (R)$ по некоторой подкатегории локализации.

Как следствие Габриэля– Попеску, можно показать, что каждая категория Гротендика локально представима.

Каждая малая абелева категория $C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {C}}$ может быть встроена в категорию Гротендика., в ф следуя моде. Категория $A: = Lex ⁡ (C op, A b) {\ displaystyle {\ mathcal {A}}: = \ operatorname {Lex} ({\ mathcal {C}} ^ {op}, \ mathrm { Ab})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}: = \ operatorname {Lex} ({\ mathcal {C}} ^ {op}, \ mathrm {Ab})}$ из точных слева аддитивных (ковариантных) функторов $C op → A b {\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {op} \ rightarrow \ mathrm {Ab}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {op} \ rightarrow \ mathrm {Ab}}$ (где $A b {\ displaystyle \ mathrm {Ab}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ab}}$ обозначает категорию абелевых групп ) является категорией Гротендика, и функтор $h: C → A {\ displaystyle h \ двоеточие {\ mathcal {C}} \ rightarrow {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle h \ двоеточие {\ mathcal {C}} \ rig htarrow {\ mathcal {A}}}$ , где $C ↦ h C = Hom ⁡ (-, C) {\ displaystyle C \ mapsto h_ {C} = \ operatorname {Hom} (-, C)}$ ${\ displaystyle C \ mapsto h_ {C} = \ operatorname {Hom} (-, C)}$ , полный, точный и точный. Генератор $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ задается сопродуктом всех $h C {\ displaystyle h_ {C}}$ $h_ {C}$ , где $C ∈ C {\ displaystyle C \ in {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle C \ in {\ mathcal {C }}}$ . Категория $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ эквивалентна категории $Ind (C) {\ displaystyle {\ text {Ind}} ({\ mathcal { C}})}$ ${\ displaystyle {\ text {Ind}} ({\ mathcal {C}})}$ из ind-объектов из $C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {C}}$ и встраивание $h {\ displaystyle h}$ $h$ соответствует естественному вложению $C → Ind (C) {\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ to {\ text {Ind}} ({\ mathcal {C }})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ to {\ text {Ind}} ({\ mathcal {C}})}$ . Поэтому мы можем рассматривать $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ как со-завершение $C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {C}}$ .

Special виды объектов и категории Гротендика

Объект $X {\ displaystyle X}$ $X$ в категории Гротендика называется конечно генерируемым, если всякий раз, когда $X {\ displaystyle X}$ $X$ записывается как сумма семейства подобъектов $X {\ displaystyle X}$ $X$ , тогда это уже сумма конечного подсемейства. (В случае $A = Mod ⁡ (R) {\ displaystyle {\ cal {A}} = \ operatorname {Mod} (R)}$ ${\ displaystyle {\ cal {A}} = \ operatorname {Mod} (R)}$ категорий модулей, это понятие эквивалентно знакомое понятие конечно порожденных модулей.) Эпиморфные образы конечно порожденных объектов снова конечно порождены. Если $U ⊆ X {\ displaystyle U \ substeq X}$ $U \ substeq X$ и оба $U {\ displaystyle U}$ $U$ и $X / U {\ displaystyle X / U}$ ${\ displaystyle X / U }$ конечно сгенерированы, то же самое и $X {\ displaystyle X}$ $X$ . Объект $X {\ displaystyle X}$ $X$ генерируется конечным образом тогда и только тогда, когда для любой направленной системы $(A i) {\ displaystyle (A_ {i})}$ $(A_ {i})$ в $A {\ displaystyle {\ cal {A}}}$ ${\ displaystyle {\ cal {A}}}$ , в котором каждый морфизм является мономорфизмом, естественный морфизм $lim → ⁡ H om (X, A i) → ЧАС ОМ (Икс, lim → ⁡ A я) {\ displaystyle \ varinjlim \ mathrm {Hom} (X, A_ {i}) \ to \ mathrm {Hom} (X, \ varinjlim A_ {i})}$ ${\ displaystyle \ varinjlim \ mathrm {Hom} (X, A_ {i}) \ to \ mathrm {Hom} (X, \ varinjlim A_ {i})}$ - изоморфизм. Категория Гротендика не обязательно должна содержать ненулевые конечно порожденные объекты.

Категория Гротендика называется локально конечно порожденной, если у нее есть набор конечно порожденных генераторов (т.е. если существует семейство $(G i) i ∈ I {\ displaystyle (G_ {i}) _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle (G_ {i}) _ {i \ in I}}$ конечно сгенерированных объектов, таких что для каждого объекта $X {\ displaystyle X}$ $X$ существует $i ∈ I {\ displaystyle i \ в I}$ $i \ in I$ и ненулевом морфизме $G i → X {\ displaystyle G_ {i} \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle G_ {i} \ rightarrow X}$ ; эквивалентно: $X {\ displaystyle X }$ $X$ - эпиморфное изображение прямой суммы копий $G i {\ displaystyle G_ {i}}$ ${\ displaystyle G_ {i}}$ ). В такой категории каждый объект представляет собой сумму своих конечно порожденных подобъектов. Каждая категория $A = Mod ⁡ (R) {\ displaystyle {\ cal {A}} = \ operatorname {Mod} (R)}$ ${\ displaystyle {\ cal {A}} = \ operatorname {Mod} (R)}$ генерируется локально конечным образом.

Объект $X {\ displaystyle X}$ $X$ в категории Гротендика называется конечно представленным, если он конечно порожден и если каждый эпиморфизм $W → X {\ displaystyle W \ to X}$ ${\ displaystyle W \ to X}$ с конечно сгенерированной областью $W {\ displaystyle W}$ $W$ имеет конечно сгенерированное ядро. Опять же, это обобщает понятие конечно представленных модулей. Если $U ⊆ X {\ displaystyle U \ substeq X}$ $U \ substeq X$ и оба $U {\ displaystyle U}$ $U$ и $X / U {\ displaystyle X / U}$ ${\ displaystyle X / U }$ конечно представлены, то также и $X {\ displaystyle X}$ $X$ . В локально конечно сгенерированной категории Гротендика $A {\ displaystyle {\ cal {A}}}$ ${\ displaystyle {\ cal {A}}}$ конечно представленные объекты можно охарактеризовать следующим образом: $X {\ displaystyle X}$ $X$ в $A {\ displaystyle {\ cal {A}}}$ ${\ displaystyle {\ cal {A}}}$ конечно представлено тогда и только тогда, когда для каждой направленной системы $(A i) {\ displaystyle ( A_ {i})}$ $(A_ {i})$ в $A {\ displaystyle {\ cal {A}}}$ ${\ displaystyle {\ cal {A}}}$ , естественный морфизм $lim → ⁡ H om (X, A я) → ЧАС ОМ (Икс, lim → ⁡ A я) {\ Displaystyle \ varinjlim \ mathrm {Hom} (X, A_ {i}) \ to \ mathrm {Hom} (X, \ varinjlim A_ {i})}$ ${\ displaystyle \ varinjlim \ mathrm {Hom} (X, A_ {i}) \ to \ mathrm {Hom} (X, \ varinjlim A_ {i})}$ - изоморфизм.

Вызывается объект $X {\ displaystyle X}$ $X$ в категории Гротендика $A {\ displaystyle {\ cal {A}}}$ ${\ displaystyle {\ cal {A}}}$ когерентным, если он конечно представлен и если каждый из его конечно порожденных подобъектов также конечно представим. (Это обобщает понятие когерентных пучков в кольцевом пространстве.) Полная подкатегория всех когерентных объектов в $A {\ displaystyle {\ cal {A}}}$ ${\ displaystyle {\ cal {A}}}$ - это абелев и функтор включения точный.

Объект $X {\ displaystyle X}$ $X$ в категории Гротендика называется нётерским, если набор его подобъектов удовлетворяет условие возрастающей цепочки, т.е. если каждая последовательность $X 1 ⊆ X 2 ⊆ ⋯ {\ displaystyle X_ {1} \ substeq X_ {2} \ substeq \ cdots}$ ${\ displaystyle X_ {1} \ substeq X_ {2} \ substeq \ cdots}$ из подобъекты $X {\ displaystyle X}$ $X$ в конечном итоге становятся стационарными. Это так, если и только если каждый подобъект X конечно порожден. (В случае $A = Mod ⁡ (R) {\ displaystyle {\ cal {A}} = \ operatorname {Mod} (R)}$ ${\ displaystyle {\ cal {A}} = \ operatorname {Mod} (R)}$ , это понятие эквивалентно знакомому понятию Нётеровы модули.) Категория Гротендика называется локально нётеровой, если она имеет набор нётеровых образующих; примером является категория левых модулей над левым нётеровым кольцом.

Примечания

Ссылки

Popescu, Nicolae (1973). Абелевы категории с приложениями к кольцам и модулям. Academic Press.
Стенстрём, Бо Т. (1975). Кольца частных: введение в методы теории колец. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-07117-6.

Внешние ссылки

Цаленко, М.Ш. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Абелевы категории, примечания Дэниела Мерфета. Раздел 2.3 охватывает категории Гротендика.