Геопотенциальная модель

В геофизике модель геопотенциала представляет собой теоретический анализ измерения и расчета эффекты Земли гравитационного поля.

• 1 Закон Ньютона
  • 1.1 Случай однородной сферы
• 2 Отклонения гравитационного поля Земли от гравитационного поля однородная сфера
• 3 Рекурсивные алгоритмы, используемые для численного распространения орбит космических аппаратов
  • 3.1 Доступные модели
• 4 Сферические гармоники
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Диаграмма двух массы, притягивающие друг друга

Закон всемирного тяготения Ньютона утверждает, что гравитационная сила F, действующая между двумя точечными массами m1и m 2 с центром масс разделение r определяется выражением

$F\; =\; -\; G\; m\; 1\; m\; 2\; r\; 2\; r\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; -G\; \{\backslash \; frac\; \{m\_\; \{1\}\; m\_\; \{2\}\}\; \{r\; ^\; \{2\; \}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{r\}\}\}$

где G - гравитационная постоянная и r̂ - радиальный единичный вектор. Для объекта с непрерывным распределением массы каждый элемент массы dm можно рассматривать как точечную массу, поэтому интеграл объема по протяженности объекта дает:

$F\; ¯\; =\; -\; G\; \int \; V\; \rho \; r\; 2\; r\; ^\; dxdydz\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; bar\; \{F\}\}\; =\; -G\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{V\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{r\}\; \}\; \backslash ,\; dx\; \backslash ,\; dy\; \backslash ,\; dz\}$

(1)

с соответствующим гравитационным потенциалом

$u\; =\; -\; G\; \int \; V\; \rho \; rdxdydz\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; =\; -G\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{V\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\}\; \{r\}\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash ,\; dy\; \backslash ,\; dz\}$

(2)

где ρ = ρ (x, y, z) - массовая плотность в элементе объема и направление от элемента объема к точечной массе.

Случай однородной сферы

В частном случае сферы со сферически симметричной плотностью массы, тогда ρ = ρ (s), т.е. плотность зависит только от радиального расстояния

$s\; знак\; равно\; х\; 2\; +\; у\; 2\; +\; г\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,.\}$

Эти интегралы можно вычислить аналитически. Это теорема оболочек, согласно которой в данном случае:

$F\; ¯\; =\; -\; GMR\; 2\; r\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{F\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{GM\}\; \{R\; ^\; \{\; 2\}\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; hat\; \{r\}\}\}$

(3)

с соответствующим потенциалом

$u\; =\; -\; GM\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{GM\}\; \{r\; \}\}\}$

(4)

где M = ∫ V ρ (s) dxdydz - полная масса сферы.

На самом деле Земля не совсем сферическая, в основном из-за ее вращения вокруг полярной оси, что делает ее форму слегка сжатой. Если бы эта форма была точно известна вместе с точной плотностью массы ρ = ρ (x, y, z), интегралы (1) и (2) можно было бы оценить численными методами, чтобы найти более точную модель для Земли. гравитационное поле. Однако на самом деле ситуация обратная. Наблюдая за орбитами космического корабля и Луны, гравитационное поле Земли может быть определено довольно точно, и наилучшая оценка массы Земли получается путем деления произведения GM, определенного в результате анализа орбиты космического корабля, на значение G, определенное на более низкую относительную величину. точность при использовании других физических методов.

Из определяющих уравнений (1) и (2) ясно (взяв частные производные от подынтегрального выражения), что вне тела в пустом пространстве следующие дифференциальные уравнения действительны для поля, вызванного по телу:

$\partial \; F\; x\; \partial \; x\; +\; \partial \; F\; y\; \partial \; y\; +\; \partial \; F\; z\; \partial \; z\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\_\; \{x\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\_\; \{y\}\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\_\; \{z\}\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; =\; 0\}$

(5)

$\partial \; 2\; u\; \partial \; x\; 2\; +\; \partial \; 2\; u\; \partial \; Y\; 2\; +\; \partial \; 2\; u\; \partial \; Z\; 2\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{\; 2\}\; u\}\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; u\}\; \{\backslash \; partial\; z\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 0\}$

(6)

Функции формы $\varphi \; =\; R\; (r)\; \Theta \; (\theta )\; \Phi \; (\phi )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; phi\; \backslash \; =\; \backslash \; R\; (r)\; \backslash \; \backslash \; Theta\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; \backslash \; Phi\; (\backslash \; varphi)\}$, где (r, θ, φ) - сферические координаты, которые удовлетворяют уравнению в частных производных (6) (уравнение Лапласа ), называются сферической гармоникой. функции.

Они принимают вид:

$g\; (x,\; y,\; z)\; =\; 1\; rn\; +\; 1\; P\; nm\; (sin\; \; \theta )\; cos\; \; m\; \phi ,\; 0\; \le \; m\; \le \; n,\; n\; =\; 0,\; 1,\; 2,\dots \; h\; (x,\; y,\; z)\; =\; 1\; rn\; +\; 1\; P\; nm\; (sin\; \; \theta )\; sin\; \; m\; \phi ,\; 1\; \le \; m\; \le \; N,\; n\; =\; 1,\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; g\; (x,\; y,\; z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; P\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \backslash \; cos\; m\; \backslash \; varphi\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; 0\; \backslash \; leq\; m\; \backslash \; leq\; n\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; n\; =\; 0,1,2,\; \backslash \; dots\; \backslash \backslash \; h\; (x,\; y,\; z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; P\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \backslash \; sin\; m\; \backslash \; varphi\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; 1\; \backslash \; leq\; m\; \backslash \; leq\; n\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; n\; =\; 1,2,\; \backslash \; dots\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

(7)

где сферические координаты (r, θ, φ), указанные здесь в декартовых (x, y, z) для справок:

$x\; =\; r\; cos\; \; \theta \; cos\; \; \phi \; y\; =\; r\; cos\; \; \theta \; sin\; \; \phi \; z\; =\; r\; sin\; \; \theta ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; x\; =\; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash \backslash \; y\; =\; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \backslash \; z\; =\; r\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash ,,\; \backslash \; end\; \{выравнивается\}\; \}\}$

(8)

также P n - это многочлены Лежандра, а P n для 1 ≤ m ≤ n - связанные функции Лежандра.

Первые сферические гармоники с n = 0,1,2,3 представлены в таблице ниже.

n	Сферические гармоники
0	$1\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\}\}$
1	$1\; r\; 2\; P\; 1\; 0\; (sin\; \; \theta )\; =\; 1\; r\; 2\; sin\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; P\_\; \{1\}\; ^\; \{0\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\}$
	$1\; р\; 2\; п\; 1\; 1\; (грех\; \; \theta )\; соз\; \; \phi \; знак\; равно\; 1\; р\; 2\; соз\; \; \theta \; соз\; \; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; P\_\; \{1\}\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\}$
	$1\; r\; 2\; P\; 1\; 1\; (sin\; \; \theta )\; sin\; \; \phi \; =\; 1\; р\; 2\; соз\; \; \theta \; грех\; \; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; P\_\; \{1\}\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\}$
2	$1\; r\; 3\; P\; 2\; 0\; (sin\; \; \theta )\; =\; 1\; r\; 3\; 1\; 2\; (3\; sin\; 2\; \; \theta \; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\; P\_\; \{2\}\; ^\; \{0\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; 2\}\}\; (3\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; -1)\}$
	$1\; r\; 3\; P\; 2\; 1\; (sin\; \; \theta )\; cos\; \; \phi \; =\; 1\; r\; 3\; 3\; sin\; \; \theta \; cos\; \; \theta \; cos\; \; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\; P\_\; \{2\}\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\; 3\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\}$
	$1\; r\; 3\; P\; 2\; 1\; (sin\; \; \theta )\; sin\; \; \phi \; =\; 1\; r\; 3\; 3\; sin\; \; \theta \; cos\; \; \theta \; sin\; \; \phi \; \{\backslash \; di\; splaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\; P\_\; \{2\}\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\; 3\; \backslash \; грех\; \backslash \; тета\; \backslash \; соз\; \backslash \; тета\; \backslash \; грех\; \backslash \; varphi\}$
	$1\; r\; 3\; P\; 2\; 2\; (грех\; \; \theta )\; соз\; \; 2\; \phi \; =\; 1\; r\; 3\; 3\; cos\; 2\; \; \theta \; cos\; \; 2\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\; P\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \backslash \; cos\; 2\; \backslash \; varphi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\; 3\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\; \}\; \backslash \; theta\; \backslash \; \backslash \; cos\; 2\; \backslash \; varphi\}$
	$1\; r\; 3\; P\; 2\; 2\; (грех\; \; \theta )\; грех\; \; 2\; \phi \; =\; 1\; r\; 3\; 3\; cos\; 2\; \; \theta \; sin\; \; 2\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\; P\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \backslash \; sin\; 2\; \backslash \; varphi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\; 3\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; тета\; \backslash \; грех\; 2\; \backslash \; varphi\}$
3	$1\; р\; 4\; п\; 3\; 0\; (грех\; \; \theta )\; =\; 1\; р\; 4\; 1\; 2\; грех\; \; \theta \; (5\; грех\; 2\; \; \theta \; -\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{4\}\}\}\; P\_\; \{3\}\; ^\; \{0\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{4\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; (5\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; -3)\}$
	$1\; r\; 4\; P\; 3\; 1\; (sin\; \; \theta )\; cos\; \; \phi \; =\; 1\; r\; 4\; 3\; 2\; (5\; sin\; 2\; \; \theta \; -\; 1)\; cos\; \; \theta \; cos\; \; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{4\}\}\}\; P\_\; \{3\}\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{4\}\; \}\}\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \backslash \; (5\; \backslash \; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; -1)\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\}$
	$1\; r\; 4\; P\; 3\; 1\; (sin\; \; \theta )\; sin\; \; \phi \; =\; 1\; r\; 4\; 3\; 2\; (5\; sin\; 2\; \; \theta \; -\; 1)\; соз\; \; \theta \; грех\; \; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{4\}\}\}\; P\_\; \{3\}\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{4\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \backslash \; (5\; \backslash \; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; -1)\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\}$
	$1\; r\; 4\; п\; 3\; 2\; (грех\; \; \theta )\; соз\; \; 2\; \phi \; =\; 1\; р\; 4\; 15\; грех\; \; \theta \; соз\; 2\; \; \theta \; соз\; \; 2\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{4\}\}\}\; P\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \backslash \; cos\; 2\; \backslash \; varphi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{4\}\}\}\; 15\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; 2\; \backslash \; varphi\}$
	$1\; р\; 4\; п\; 3\; 2\; (грех\; \; \theta )\; грех\; \; 2\; \phi \; =\; 1\; r\; 4\; 15\; грех\; \; \theta \; соз\; 2\; \; \theta \; грех\; \; 2\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{4\}\}\}\; P\_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \backslash \; sin\; 2\; \backslash \; varphi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{4\}\}\}\; 15\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; 2\; \backslash \; varphi\}$
	$1\; r\; 4\; P\; 3\; 3\; (грех\; \; \theta )\; cos\; \; 3\; \phi \; =\; 1\; r\; 4\; 15\; cos\; 3\; \; \theta \; cos\; \; 3\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{4\}\}\; \}\; P\_\; \{3\}\; ^\; \{3\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \backslash \; cos\; 3\; \backslash \; varphi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{4\}\}\}\; 15\; \backslash \; cos\; ^\; \{3\}\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; 3\; \backslash \; varphi\}$
	$1\; р\; 4\; P\; 3\; 3\; (грех\; \; \theta )\; грех\; \; 3\; \phi \; =\; 1\; r\; 4\; 15\; cos\; 3\; \; \theta \; sin\; \; 3\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{4\}\}\}\; P\_\; \{\; 3\}\; ^\; \{3\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \backslash \; sin\; 3\; \backslash \; varphi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{4\}\}\}\; 15\; \backslash \; cos\; ^\; \{3\}\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; 3\; \backslash \; varphi\}$

Чт Модель гравитационного потенциала Земли представляет собой сумму

$u\; =\; -\; \mu \; r\; +\; \sum \; n\; =\; 2\; N\; z\; J\; n\; P\; n\; 0\; (sin\; \; \theta )\; rn\; +\; 1\; +\; \sum \; n\; =\; 2\; N\; t\; \sum \; m\; =\; 1\; n\; P\; нм\; (грех\; \; \theta )\; (С\; нм\; соз\; \; м\; \phi \; +\; S\; нм\; грех\; \; м\; \phi )\; rn\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{r\}\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 2\}\; ^\; \{N\_\; \{z\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{J\_\; \{n\}\; P\_\; \{n\}\; ^\; \{0\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\}\; \{r\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 2\}\; ^\; \{N\_\; \{t\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{P\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; (C\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\; \backslash \; cos\; m\; \backslash \; varphi\; +\; S\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\; \backslash \; sin\; m\; \backslash \; varphi)\}\; \{r\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\}$

(9)

где $\mu \; =\; GM\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; GM\; \}$, а координаты (8) являются относительно стандартной геодезической системы отсчета расширен в пространстве с началом в центре эллипсоида и оси в направлении полярная ось.

зональные термины относятся к терминам формы:

$P\; n\; 0\; (sin\; \; \theta )\; rn\; +\; 1\; n\; =\; 0,\; 1,\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{P\_\; \{n\}\; ^\; \{0\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\}\; \{r\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; \backslash \; quad\; n\; =\; 0,1,2,\; \backslash \; dots\}$

и тессеральные термины термины относятся к терминам формы:

$P\; nm\; (sin\; \; \theta )\; cos\; \; m\; \phi \; rn\; +\; 1,\; 1\; \le \; m\; \le \; nn\; =\; 1,\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{P\_\; \{n)\; \}\; ^\; \{m\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \backslash \; cos\; m\; \backslash \; varphi\}\; \{r\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; 1\; \backslash \; leq\; m\; \backslash \; leq\; n\; \backslash \; quad\; n\; =\; 1,2,\; \backslash \; dots\}$

$P\; нм\; (грех\; \; \theta )\; грех\; \; м\; \phi \; rn\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{P\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \backslash \; sin\; m\; \backslash \; varphi\}\; \{r\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\}$

Зональные и тессеральные термины для n = 1 опущены в (9). Коэффициенты при n = 1 с членами как m = 0, так и m = 1 соответствуют произвольно ориентированному дипольному члену в многополюсном разложении. Гравитация физически не проявляет дипольного характера, поэтому интеграл, характеризующий n = 1, должен быть равен нулю.

различным коэффициентам J n, C n, S n затем присваиваются значения, для которых наилучшее возможное совпадение между вычисленными и получены наблюдаемые орбиты космических аппаратов.

As P n (x) = −P n (−x) ненулевые коэффициенты J n для нечетного n соответствуют отсутствию симметрии «север-юг» относительно экваториальной плоскости для распределения массы Земли. Ненулевые коэффициенты C n, S n соответствуют отсутствию вращательной симметрии вокруг полярной оси для распределения массы Земли, то есть «трехосности» Земли.

Для больших значений n приведенные выше коэффициенты (которые делятся на r в (9)) принимают очень большие значения, когда, например, в качестве единиц используются километры и секунды. В литературе принято вводить произвольный «опорный радиус» R, близкий к радиусу Земли, и работать с безразмерными коэффициентами

$J\; n\; ~\; =\; -\; J\; n\; \mu \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{J\_\; \{n\})\; \}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{J\_\; \{n\}\}\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; R\; ^\; \{n\}\}\}\}$

$C\; нм\; ~\; =\; -\; C\; нм\; \mu \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{C\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{C\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\}\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; R\; ^\; \{n\}\}\}\}$

$S\; нм\; ~\; =\; -\; S\; нм\; \mu \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; тильда\; \{S\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{S\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\}\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; R\; ^\; \{n\}\}\}\}$

и записать потенциал как

$u\; =\; -\; \mu \; r\; (1\; +\; \sum \; n\; =\; 2\; N\; z\; J\; n\; ~\; P\; n\; 0\; (sin\; \; \theta )\; (r\; R)\; n\; +\; \sum \; n\; =\; 2\; N\; t\; \sum \; m\; =\; 1\; n\; P\; nm\; (sin\; \; \theta )\; (C\; нм\; ~\; соз\; \; м\; \phi \; +\; S\; нм\; ~\; грех\; \; м\; \phi )\; (r\; R)\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{r\}\}\; \backslash \; left\; (1+\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 2\}\; ^\; \{N\_\; \{z\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; tilde\; \{J\_\; \{n\}\}\}\; P\_\; \{n\}\; ^\; \{0\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\}\; \{\{(\{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{R\; \}\})\}\; ^\; \{n\}\}\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 2\}\; ^\; \{N\_\; \{t\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{P\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; (\{\backslash \; tilde\; \{C\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\}\}\; \backslash \; cos\; m\; \backslash \; varphi\; +\; \{\backslash \; tilde\; \{S\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\}\}\; \backslash \; sin\; m\; \backslash \; varphi)\}\; \{\{\; (\{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{R\}\})\}\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

(10)

Главный член (после члена −μ / r) in (9) - это «член J 2 »:

$u\; =\; J\; 2\; P\; 2\; 0\; (sin\; \; \theta )\; r\; 3\; =\; J\; 2\; 1\; r\; 3\; 1\; 2\; (3\; sin\; 2\; \; \theta \; -\; 1)\; знак\; равно\; J\; 2\; 1\; р\; 5\; 1\; 2\; (3\; z\; 2\; -\; r\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; \{\backslash \; frac\; \{J\_\; \{2\}\; \backslash \; P\_\; \{2\}\; ^\; \{0\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\}\; \{\; r\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; J\_\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (3\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; -1)\; =\; J\_\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{5\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (3z\; ^\; \{2\}\; -r\; ^\; \{2\})\}$

Относительно системы координат

$\phi \; ^\; =\; -\; sin\; \; \phi \; x\; ^\; +\; cos\; \; \phi \; y\; ^\; \theta \; ^\; =\; -\; sin\; \; \theta \; (cos\; \; \phi \; x\; ^\; +\; sin\; \; \phi \; y\; ^)\; +\; cos\; \; \theta \; z\; ^\; r\; ^\; =\; cos\; \; \theta \; (\; соз\; \; \phi \; Икс\; ^\; +\; грех\; \; \phi \; Y\; ^)\; +\; грех\; \; \theta \; Z\; ^\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; varphi\}\}\; =\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; +\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \{\backslash \; hat\; \{y\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; theta\}\}\; =\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; (\backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash \; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; +\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \{\backslash \; hat\; \{y\}\})\; +\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \{\backslash \; hat\; \{z\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; hat\; \{r\}\}\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; (\backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash \; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; \backslash \; +\; \backslash \; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \; \{\backslash \; hat\; \{y\}\})\; +\; \backslash \; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; \{\backslash \; hat\; \{z\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

(11)

Рисунок 1: Единичные векторы. Это не правильно. Должна быть тета, а не лямбда $\phi \; ^,\; \theta \; ^,\; r\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; varphi\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; theta\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; \{\backslash \; hat\; \{r\}\; \}\}$

проиллюстрированные на рисунке 1 компоненты силы, вызванной «членом J 2 », равны

$F\; \theta \; =\; -\; 1\; r\; \partial \; u\; \partial \; \theta \; =\; -\; J\; 2\; 1\; r\; 4\; 3\; соз\; \; \theta \; грех\; \; \theta \; F\; r\; =\; -\; \partial \; u\; \partial \; r\; =\; J\; 2\; 1\; r\; 4\; 3\; 2\; (3\; sin\; 2\; \; \theta \; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; F\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\}\; =\; -\; J\_\; \{2\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{4\}\}\}\; 3\; \backslash \; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \backslash \; F\_\; \{r\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; =\; J\_\; \{2\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{4\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (3\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; \backslash \; -\; \backslash \; 1\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

(12)

В прямоугольной системе координат (x, y, z) с единичными векторами (x̂ ŷ ẑ) компоненты силы:

$F\; x\; =\; -\; \partial \; u\; \partial \; x\; =\; J\; 2\; xr\; 7\; (6\; z\; 2\; -\; 3\; 2\; (x\; 2\; +\; y\; 2))\; F\; y\; =\; -\; \partial \; u\; \partial \; y\; =\; J\; 2\; года\; 7\; (6\; z\; 2\; -\; 3\; 2\; (x\; 2\; +\; y\; 2))\; F\; z\; =\; -\; \partial \; u\; \partial \; z\; =\; J\; 2\; zr\; 7\; (3\; z\; 2\; -\; 9\; 2\; (x\; 2\; +\; y\; 2))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; F\_\; \{x\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; =\; J\_\; \{2\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\; x\}\; \{r\; ^\; \{7\}\}\}\; \backslash \; left\; (6z\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; F\_\; \{y\; \}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; =\; J\_\; \{2\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{r\; ^\; \{7\}\}\}\; \backslash \; left\; (6z\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\; 3\}\; \{2\}\}\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; F\_\; \{z\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; =\; J\_\; \{2\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{z\}\; \{r\; ^\; \{7\}\}\}\; \backslash \; left\; (3z\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{9\}\; \{2\}\}\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; \backslash \; right)\; \backslash \; конец\; \{выровнен\}\}\}$

(13)

Составляющие силы, соответствующие «члену J 3 »

$u\; =\; J\; 3\; P\; 3\; 0\; (sin\; \; \theta )\; r\; 4\; знак\; равно\; J\; 3\; 1\; р\; 4\; 1\; 2\; грех\; \; \theta \; (5\; грех\; 2\; \; \theta \; -\; 3)\; =\; J\; 3\; 1\; r\; 7\; 1\; 2\; z\; (5\; z\; 2\; -\; 3\; r\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; \{\backslash \; frac\; \{J\_\; \{\; 3\}\; P\_\; \{3\}\; ^\; \{0\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\}\; \{r\; ^\; \{4\}\}\}\; =\; J\_\; \{3\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{4\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; (5\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; -3)\; =\; J\_\; \{3\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{7\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; z\; (5z\; ^\; \{2\}\; -3r\; ^\; \{2\})\}$

равны

$F\; \theta \; =\; -\; 1\; r\; \partial \; u\; \partial \; \theta \; =\; -\; J\; 3\; 1\; r\; 5\; 3\; 2\; cos\; \; \theta \; (5\; sin\; 2\; \; \theta \; -\; 1)\; F\; р\; знак\; равно\; -\; \partial \; U\; \partial \; р\; знак\; равно\; J\; 3\; 1\; r\; 5\; 2\; грех\; \; \theta \; (5\; sin\; 2\; \; \theta \; -\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; F\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{r\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\}\; =\; -\; J\_\; \{3\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{5\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\; \}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; left\; (5\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; -1\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; F\_\; \{r\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; =\; J\_\; \{3\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{5\}\}\}\; 2\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; left\; (5\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; -3\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

(14)

и

$F\; x\; =\; -\; \partial \; u\; \partial \; x\; =\; J\; 3\; xzr\; 9\; (\; 10\; z\; 2\; -\; 15\; 2\; (x\; 2\; +\; y\; 2))\; F\; y\; =\; -\; \partial \; u\; \partial \; y\; =\; J\; 3\; yzr\; 9\; (10\; z\; 2\; -\; 15\; 2\; (x\; 2\; +\; y\; 2))\; F\; z\; =\; -\; \partial \; u\; \partial \; z\; Знак\; равно\; J\; 3\; 1\; р\; 9\; (4\; z\; 2\; (z\; 2\; -\; 3\; (x\; 2\; +\; y\; 2))\; +\; 3\; 2\; (x\; 2\; +\; y\; 2)\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; F\_\; \{x\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; =\; J\_\; \{3\}\; \{\backslash \; frac\; \{xz\}\; \{r\; ^\; \{9\}\}\}\; \backslash \; left\; (10z\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{15\}\; \{2\; \}\}\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; F\_\; \{y\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; =\; J\_\; \{3\}\; \{\backslash \; frac\; \{yz\; \}\; \{r\; ^\; \{9\}\}\}\; \backslash \; left\; (10z\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{15\}\; \{2\}\}\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; F\_\; \{z\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; z\}\}\; =\; J\_\; \{3\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{9\}\}\}\; \backslash \; left\; (4z\; ^\; \{2\}\; \backslash \; \backslash \; left\; (z\; ^\; \{\; 2\}\; -3\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

(15)

Точные численные значения коэффициентов различаются (несколько) между разными моделями Земли, но для самых низких коэффициентов все они почти полностью совпадают.

Для JGM-3 значения следующие:

μ = 398600,440 км⋅с

J2= 1,75553 × 10 км⋅с

J3= −2,61913 × 10 км⋅с

. Например, на радиусе 6600 км (около 200 км над поверхностью Земли) J 3 / (J 2 r) составляет около 0,002, то есть поправка к «J 2 сила »из« члена J 3 »составляет порядка 2 промилле. Отрицательное значение J 3 подразумевает, что для точечной массы в экваториальной плоскости Земли гравитационная сила слегка наклонена к югу из-за отсутствия симметрии массового распределения Земли «север-юг».

Орбиты космических аппаратов вычисляются посредством численного интегрирования уравнения движения. Для этого необходимо вычислить гравитационную силу, т.е. градиент потенциала. Эффективные рекурсивные алгоритмы были разработаны для вычисления силы тяжести для любых $N\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{z\}\}$и $N\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{t\; \}\}$(максимальная степень зональных и тессеральных условий) и такие алгоритмы используются в стандартном программном обеспечении для распространения орбиты.

Доступные модели

Самыми ранними моделями Земли, обычно используемыми NASA и ESRO / ESA, были «Земля Годдарда. Модели », разработанные Центром космических полетов им. Годдарда, обозначались« GEM-1 »,« GEM-2 »,« GEM-3 »и так далее. Позже стали доступны «Совместные модели земной гравитации», обозначенные «JGM-1», «JGM-2», «JGM-3», разработанные Центром космических полетов Годдарда в сотрудничестве с университетами и частными компаниями. В более новых моделях обычно использовались термины более высокого порядка, чем в их предшественниках. EGM96 использует N z = N t = 360, что дает 130317 коэффициентов. Также доступна модель EGM2008.

Для обычного спутника Земли, требующего точности определения / предсказания орбиты в несколько метров, "JGM-3" усечено до N z = N t = 36 ( 1365 коэффициентов) обычно достаточно. Неточности моделирования сопротивления воздуха и, в меньшей степени, давления солнечной радиации будут превышать неточности, вызванные ошибками моделирования гравитации.

Безразмерные коэффициенты $J\; n\; ~\; =\; -\; J\; n\; \mu \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{J\_\; \{n\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{J\_\; \{n\}\}\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; R\; ^\; \{n\}\}\}\}$, $C\; нм\; ~\; =\; -\; C\; нм\; \mu \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{C\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{C\_\; \{n\}\; ^\; \{\; m\}\}\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; R\; ^\; \{n\}\}\}\}$, $S\; нм\; ~\; =\; -\; S\; нм\; \mu \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{S\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{S\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\}\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; R\; ^\; \{n\}\}\}\}$для первых зональных и тессеральных терминов (с использованием $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$= 6378,1363 км и $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$= 398600,4415 км / с) модели JGM-3 равны

Зональные коэффициенты

n
2	-0,1082635854D-02
3	0,2532435346D-05
4	0,1619331205D-05
5	0,2277161016D-06
6	-0,5396484906D-06
7	0,3513684422D-06
8	0.2025187152D-06

Тессеральные коэффициенты

n	m	C	S
2	1	- 0.3504890360D-09	0.1635406077D-08
2	2	0.1574536043D-05	-0.9038680729D-06
3	1	0.2192798802D-05	0.2680118938D-06
3	2	0,3090160446D-06	-0,2114023978D-06
3	3	0.1005588574D-06	0,1972013239D-06
4	1	-0,5087253036D-06	- 0.4494599352D-06
4	2	0.7841223074D-07	0.1481554569D-06
4	3	0.5921574319D-07	-0.1201129183D-07
4	4	-0.3982395740D-08	0,6525605810D-08

Следовательно, согласно JGM-3, $J\; 2\; =\; 0,1082635854\; \cdot \; 10–02\; \cdot \; 6378,1363\; 2\; \cdot \; 398600.4415\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{2\}\; \backslash \; =\; \backslash \; 0.1082635854\; \backslash \; \backslash \; cdot\; \backslash \; 10\; ^\; \{-\; 02\}\; \backslash \; \backslash \; cdot\; \backslash \; 6378.1363\; ^\; \{2\}\; \backslash \; \backslash \; cdot\; \backslash \; 398600.4415\}$км / с = $1,75553\; \cdot \; 10\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; 1.75553\; \backslash \; \backslash \; cdot\; \backslash \; 10\; ^\; \{10\; \}\}$км / с и $J\; 3\; =\; -\; 0,2532435346\; \cdot \; 10\; -\; 05\; \cdot \; 6378.1363\; 3\; \cdot \; 398600.4415\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{3\}\; \backslash \; =\; \backslash \; -0.2532435346\; \backslash \; \backslash \; cdot\; \backslash \; 10\; ^\; \{-\; 05\; \}\; \backslash \; \backslash \; cdot\; \backslash \; 6378.1363\; ^\; \{3\}\; \backslash \; \backslash \; cdot\; \backslash \; 398600.4415\}$км / с = $-\; 2.61913\; \cdot \; 10\; 11\; \{\backslash \; displaystyle\; -2.61913\; \backslash \; \backslash \; cdot\; \backslash \; 10\; ^\; \{11\}\}$км / с

Ниже приводится краткое описание сферических гармоник, используемых для моделирования гравитационного поля Земли. Сферические гармоники являются производными от поиска гармонических функций вида

$\varphi \; =\; R\; (r)\; \Theta \; (\theta )\; \Phi \; (\phi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \backslash \; =\; \backslash \; R\; (r)\; \backslash \; \backslash \; Theta\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; \backslash \; Phi\; (\backslash \; varphi)\}$

(16)

где (r, θ, φ) - это сферические координаты, определенные уравнениями (8). Непосредственными вычислениями получаем, что для любой функции f

$\partial \; 2\; f\; \partial \; x\; 2\; +\; \partial \; 2\; f\; \partial \; y\; 2\; +\; \partial \; 2\; f\; \partial \; z\; 2\; =\; 1\; r\; 2\; \partial \; \partial \; r\; (r\; 2\; \partial \; f\; \partial \; r)\; +\; 1\; р\; 2\; соз\; \; \theta \; \partial \; \partial \; \theta \; (соз\; \; \theta \; \partial \; f\; \partial \; \theta )\; +\; 1\; r\; 2\; соз\; 2\; \; \theta \; \partial \; 2\; f\; \partial \; \phi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; +\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; +\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; z\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; =\; \backslash \; \{1\; \backslash \; над\; r\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; r\}\; \backslash \; left\; (r\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; partial\; f\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; r\}\; \backslash \; right)\; +\; \{1\; \backslash \; over\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \{\backslash \; partial\; f\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\; \backslash \; right)\; +\; \{1\; \backslash \; over\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; \backslash \; varphi\; ^\; \{2\}\}\}$

(17)

Представляем выражение (16) в (17) получаем, что

$r\; 2\; \varphi \; (\partial \; 2\; \varphi \; \partial \; x\; 2\; +\; \partial \; 2\; \varphi \; \partial \; y\; 2\; +\; \partial \; 2\; \varphi \; \partial \; z\; 2)\; =\; 1\; R\; ddr\; (r\; 2\; d\; R\; dr)\; +\; 1\; \Theta \; соз\; \; \theta \; dd\; \theta \; (соз\; \; \theta \; d\; \Theta \; d\; \theta )\; +\; 1\; \Phi \; cos\; 2\; \; \theta \; d\; 2\; \Phi \; d\; \phi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; phi\}\}\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\}\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\}\; \{\backslash \; partial\; z\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{R\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; d\}\; \{dr\}\}\; \backslash \; left\; (r\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dr\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{\; d\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; Theta\}\; \{d\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Phi\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\}\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Phi\}\; \{d\; \backslash \; varphi\; ^\; \{2\}\}\}\}$

(18)

В качестве члена

$1\; R\; ddr\; (r\; 2\; d\; R\; dr)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{R\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dr\}\}\; \backslash \; left\; (r\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dr\}\}\; \backslash \; right)\}$

зависит только от переменной $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$и сумма

$1\; \Theta \; cos\; \; \theta \; dd\; \theta \; (cos\; \; \theta \; d\; \Theta \; d\; \theta )\; +\; 1\; \Phi \; cos\; 2\; \; \theta \; d\; 2\; \Phi \; d\; \phi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{d\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; Theta\}\; \{d\; \backslash \; theta\})\; \}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Phi\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Phi\}\; \{d\; \backslash \; varphi\; ^\; \{2\}\}\}\}$

зависит только от переменных θ и φ. Получается, что φ является гармоническим тогда и только тогда, когда

$1\; R\; ddr\; (r\; 2\; d\; R\; dr)\; =\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{R\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dr\}\}\; \backslash \; left\; (r\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dr\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; =\; \backslash \; \backslash \; lambda\}$

(19)

и

$1\; \Theta \; cos\; \; \theta \; dd\; \theta \; (cos\; \; \theta \; d\; \Theta \; d\; \theta )\; +\; 1\; \Phi \; cos\; 2\; \; \theta \; d\; 2\; \Phi \; d\; \phi \; 2\; =\; -\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{d\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; Theta\}\; \{d\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Phi\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Phi\}\; \{d\; \backslash \; varphi\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; =\; \backslash \; -\; \backslash \; lambda\}$

(20)

для некоторой константы $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$

From ( 20) тогда следует, что

$1\; \Theta \; соз\; \; \theta \; dd\; \theta \; (соз\; \; \theta \; d\; \Theta \; d\; \theta )\; +\; \lambda \; cos\; 2\; \; \theta \; +\; 1\; \Phi \; d\; 2\; \Phi \; d\; \phi \; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{\backslash \; Theta\}\}\; \backslash \; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{d\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; Theta\}\; \{d\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; +\; \backslash \; lambda\; \backslash \; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; \backslash \; +\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Phi\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Phi\}\; \{d\; \backslash \; varphi\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; =\; \backslash \; 0\}$

Первые два члена зависят только от переменной $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$, а третий - только от переменной $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$.

Из определения φ как сферической координаты ясно, что Φ (φ) должна быть периодической с периодом 2π, и поэтому должно быть, что

$1\; \Phi \; d\; 2\; \Phi \; d\; \phi \; 2\; знак\; равно\; -\; м\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Phi\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Phi\}\; \{d\; \backslash \; varphi\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; =\; \backslash \; -m\; ^\; \{\; 2\}\}$

(21)

и

$1\; \Theta \; cos\; \; \theta \; dd\; \theta \; (cos\; \; \theta \; d\; \Theta \; d\; \theta )\; +\; \lambda \; cos\; 2\; \; \theta \; =\; m\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Theta\}\}\; \backslash \; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{d\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; Theta\}\; \{d\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; +\; \backslash \; лямбда\; \backslash \; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; m\; ^\; \{2\}\}$

(22)

для некоторого целого числа m в качестве семейства решений (21), тогда равны

$\Phi \; (\phi )\; знак\; равно\; a\; соз\; \; м\; \phi \; +\; б\; грех\; \; м\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; varphi)\; \backslash \; =\; a\; \backslash \; \backslash \; cos\; m\; \backslash \; varphi\; \backslash \; +\; \backslash \; b\; \backslash \; \backslash \; sin\; m\; \backslash \; varphi\}$

(23)

При подстановке переменной

$x\; =\; sin\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\}$

уравнение (22) принимает форму

$ddx\; ((1\; -\; x\; 2)\; d\; \Theta \; dx)\; +\; (\lambda \; -\; м\; 2\; 1\; -\; x\; 2)\; \Theta \; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; ((1-x\; ^\; \{2\})\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; Theta\}\; \{dx\}\; \}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; -\; \{\backslash \; frac\; \{m\; ^\; \{2\}\}\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; Theta\; =\; 0\}$

(24)

Из (19) следует, что в чтобы получить решение $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$с

$R\; (r)\; =\; 1\; rn\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (r)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\}$

необходимо иметь это

$\lambda \; =\; n\; (n\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; n\; (n\; +\; 1)\}$

Если P n (x) является решением дифференциального уравнения

$ddx\; ((1\; -\; x\; 2)\; d\; P\; ndx)\; +\; n\; (n\; +\; 1)\; P\; n\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\; \}\; \backslash \; left\; ((1-x\; ^\; \{2\})\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{dP\_\; \{n\}\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; +\; \backslash \; n\; (n\; +\; 1)\; \backslash \; P\_\; \{n\}\; \backslash \; =\; \backslash \; 0\}$

(25)

следовательно, потенциал, соответствующий m = 0

$\varphi \; =\; 1\; rn\; +\; 1\; P\; n\; (sin\; \; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; \backslash \; P\_\; \{n\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\}$

, который является вращательно-симметричным относительно оси z, является гармонической функцией

Если $P\; нм\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\; (x)\}$- решение дифференциального уравнения

$ddx\; ((1\; -\; x\; 2)\; d\; P\; nmdx)\; +\; (n\; (\; п\; +\; 1)\; -\; м\; 2\; 1\; -\; Икс\; 2)\; п\; нм\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; ((1-x\; ^\; \{2\})\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{dP\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; +\; \backslash \; \backslash \; left\; (n\; (n\; +\; 1)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{m\; ^\; \{2\}\}\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; P\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\; \backslash \; =\; \backslash \; 0\}$

(26)

с m ≥ 1 имеет потенциал

$\varphi \; =\; 1\; rn\; +\; 1\; P\; nm\; (sin\; \; \theta )\; (a\; cos\; \; m\; \phi \; +\; b\; sin\; \; m\; \phi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; \backslash \; P\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; \backslash \; (a\; \backslash \; \backslash \; cos\; m\; \backslash \; varphi\; \backslash \; +\; \backslash \; b\; \backslash \; \backslash \; sin\; m\; \backslash \; varphi)\}$

(27)

, где a и b - произвольные константы, является гармонической функцией, которая зависит от φ и поэтому не осесимметрична относительно оси z

Дифференциальное уравнение (25) имеет вид дифференциальное уравнение Лежандра, для которого полиномы Лежандра определяют

$P\; 0\; (x)\; =\; 1\; P\; n\; (x)\; =\; 1\; 2\; nn!\; dn\; (x\; 2–1)\; ndxnn\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; P\_\; \{0\}\; (x)\; =\; 1\; \backslash \backslash \; P\_\; \{n\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; ^\; \{n\}\; n!\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{n\}\; (x\; ^\; \{2\}\; -1)\; ^\; \{n\}\}\; \{dx\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; quad\; n\; \backslash \; geq\; 1\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{выровнено\}\}\; \}$

(28)

- решения.

Произвольный коэффициент 1 / (2n!) Выбирается так, чтобы P n (−1) = - 1 и P n (1) = 1 для нечетных n и P n (−1) = P n (1) = 1 для четного n.

Первые шесть полиномов Лежандра:

$P\; 0\; (x)\; =\; 1\; P\; 1\; (x)\; =\; x\; P\; 2\; (x)\; =\; 1\; 2\; (3\; x\; 2\; -\; 1)\; P\; 3\; (x)\; =\; 1\; 2\; (5\; x\; 3\; -\; 3\; x)\; P\; 4\; (x)\; =\; 1\; 8\; (35\; x\; 4\; -\; 30\; x\; 2\; +\; 3)\; P\; 5\; (x)\; =\; 1\; 8\; (63\; x\; 5\; -\; 70\; x\; 3\; +\; 15\; x)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; P\_\; \{0\}\; (x)\; =\; 1\; \backslash \backslash \; P\_\; \{1\}\; (x)\; =\; x\; \backslash \backslash \; P\_\; \{2\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; слева\; (3x\; ^\; \{2\}\; -1\; \backslash \; справа)\; \backslash \backslash \; P\_\; \{3\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (5x\; ^\; \{3\}\; -3x\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; P\_\; \{4\; \}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}\}\; \backslash \; left\; (35x\; ^\; \{4\}\; -30x\; ^\; \{2\}\; +3\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; P\_\; \{5\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}\}\; \backslash \; left\; (63x\; ^\; \{5\}\; -70x\; ^\; \{3\}\; +\; 15x\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

(29)

Решения дифференциального уравнения (26) являются ассоциированными функциями Лежандра

$P\; nm\; (x)\; =\; (1\; -\; x\; 2)\; m\; 2\; dm\; P\; ndxm\; 1\; \le \; m\; \le \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\; (x)\; \backslash \; =\; (1-x\; ^\; \{2\})\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{m\}\; \{2\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{m\}\; P\_\; \{n\}\}\; \{dx\; ^\; \{m\}\}\}\; \backslash \; quad\; 1\; \backslash \; leq\; m\; \backslash \; leq\; n\}$

(30)

Следовательно,

$P\; nm\; (sin\; \; \theta )\; =\; cos\; m\; \; \theta \; dn\; P\; ndxn\; (sin\; \; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; ^\; \{m\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\; =\; \backslash \; cos\; ^\; \{m\}\; \backslash \; theta\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{n\}\; P\_\; \{n\}\}\; \{dx\; ^\; \{n\}\}\}\; (\backslash \; sin\; \backslash \; theta)\}$

• Эль Ясберг Теория полета искусственных спутников Земли, Израильская программа научных переводов (1967)
• Лерх, Ф.Дж., Вагнер, Калифорния, Смит, Д.Э., Сэндсон, М.Л., Браунд, Дж. Э., Ричардсон, Дж. А., "Гравитационное поле" Модели Земли (GEM1 и 2) », Отчет X55372146, Центр космических полетов Годдарда, Гринбелт / Мэриленд, 1972
• Лерх, Ф.Дж., Вагнер, Калифорния, Патни, М.Л., Сандсон, М.Л., Браунд, Дж. Э., Ричардсон, Дж. А., Тейлор, Вашингтон, "Модели гравитационного поля GEM3 и 4", Отчет X59272476, Центр космических полетов Годдарда, Гринбелт / Мэриленд, 1972
• Лерх, Ф.Дж., Вагнер, Калифорния, Ричардсон, Дж. А., Браунд, Дж. Э., «Модели Земли Годдарда (5 и 6)», Отчет X92174145, Центр космических полетов Годдарда, Гринбелт / Мэриленд, 1974
• Лерх, Ф.Дж., Вагнер, Калифорния, Клоско, С.М., Белотт, Р.П., Лаубшер, Р. Рейлор, WA, «Улучшение гравитационной модели с использованием Geos3 Altimetry (GEM10A и 10B)», Весеннее ежегодное собрание Американского геофизического союза 1978 года, Майами, 1978
• Лерх, Ф.Дж., Клоско, С.М., Ла Убшер, Р.Е., Вагнер, К.А., "Улучшение гравитационной модели с использованием Geos3 (GEM9 и 10)", Журнал геофизических исследований, том. 84, В8, с. 3897-3916, 1979
• Lerch, F.J., Putney, B.H., Wagner, C.A., Klosko, S.M., "Модели Земли Годдарда для океанографических приложений (GEM 10B и 10C)", Морская геодезия, 5 (2), с. 145-187, 1981
• Лерх, Ф.Дж., Клоско, С.М., Патель, Великобритания, «Уточненная гравитационная модель из Лагеоса (GEML2)», 'Технический меморандум НАСА 84986, Центр космических полетов Годдарда, Гринбелт / Мэриленд, 1983
• Лерх, Ф.Дж., Нерем, Р.С., Патни, Б.Х., Фелсентрегер, Т.Л., Санчес, Б.В., Клоско, С.М., Патель, Великобритания, Уильямсон, Р.Г., Чинн, Д.С., Чан, Дж.К., Рахлин, К.Э., Чендлер, Н.Л., Маккарти, Дж. Дж., Маршалл, Дж. А., Латке, С.Б., Павлис, Д.В., Роббинс, Дж. У., Капур, С., Павлис, Е.К., "Геопотенциальные модели Земли по данным спутникового слежения, высотомера и наблюдений за поверхностной гравитацией: GEMT3 и GEMT3S », Технический меморандум НАСА 104555, Центр космических полетов Годдарда, Гринбелт / Мэриленд, 1992
• Лерх, Ф.Дж., Нерем, Р.С., Патни, Б.Н., Фелсентрегер, Т.Л., Санчес, Б.В., Маршалл, Дж. Клоско, С.М., Патель, ГБ, Уильямсон, Р.Г., Чинн, Д.С., Чан, Дж. К., Рахлин, К. Э., Чендлер, Н. Л., Маккарти, Дж. Дж., Лутке, С. Б., Павлис, Н. С., Павлис, ЭЦ, "А" Геопотенциальная модель на основе данных спутникового слежения, высотомера и данных поверхностной силы тяжести: GEMT3 ", Journal of Geophysical Research, Vol. 99, № B2, стр. 2815-2839, 1994
• Нерем, Р.С., Лерх, Ф.Дж., Маршалл, Дж. А., Павлис, Е.К., Патни, Б.Х., Тэпли, Б.Д., Эанс, Р.Дж., Райс, Дж., Уоткинс, М.М., Клоско, С.М., Чан, Дж. К., Лутке, С.Б., Патель, Г.Б., Павлис, Н.К., Уильямсон, Р.Г., Рапп, Р.Х., Бианкал, Р., Ноуэль, Ф., "Разработка модели гравитации для Topex / Посейдон: Совместные гравитационные модели 1 и 2 », Журнал геофизических исследований, Vol. 99, No. C12, p. 24421-24447, 1994a

• http://cddis.nasa.gov/lw13/docs/papers/sci_lemoine_1m.pdf
• http://geodesy.geology.ohio-state.edu/course /refpapers/Tapley_JGR_JGM3_96.pdf