Обобщенная гипотеза Римана

Гипотеза Римана - одна из самых важных гипотез в математике. Это утверждение о нулях дзета-функции Римана . Различные геометрические и арифметические объекты могут быть описаны с помощью так называемых глобальных L-функций, которые формально аналогичны дзета-функции Римана. Затем можно задать тот же вопрос о нулях этих L-функций, что дает различные обобщения гипотезы Римана. Многие математики считают эти обобщения гипотезы Римана верными. Единственные случаи этих гипотез, которые были доказаны, происходят в случае поля алгебраических функций (а не в случае числового поля).

Глобальные L-функции могут быть связаны с эллиптическими кривыми, числовыми полями (в этом случае они называются дзета-функциями Дедекинда ), Маас образует и символы Дирихле (в этом случае они называются L-функциями Дирихле ). Когда гипотеза Римана формулируется для дзета-функций Дедекинда, она известна как расширенная гипотеза Римана (ERH), а когда она формулируется для L-функций Дирихле, она известна как обобщенная гипотеза Римана. гипотеза (GRH). Эти два утверждения будут рассмотрены более подробно ниже. (Многие математики используют обозначение обобщенной гипотезы Римана, чтобы охватить распространение гипотезы Римана на все глобальные L-функции, а не только на частный случай L-функций Дирихле.)

• 1 Обобщенная гипотеза Римана (GRH)
  • 1.1 Последствия GRH
• 2 Расширенная гипотеза Римана (ERH)
• 3 См. Также
• 4 Ссылки
• 5 Дополнительная литература

Обобщенная гипотеза Римана (для L-функций Дирихле), вероятно, была впервые сформулирована Адольфом Пильцем в 1884 году. Как и исходная гипотеза Римана, она имеет далеко идущие последствия в отношении распределения простых чисел.

Формальное изложение гипотезы следует. символ Дирихле - это полностью мультипликативная арифметическая функция χ такая, что существует натуральное число k, такое что χ (n + k) = χ (n) для всех n и χ (n) = 0, если НОД (n, k)>1. Если такой символ задан, мы определяем соответствующую L-функцию Дирихле как

$L\; (\chi ,\; s)\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; \chi \; (n)\; ns\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (\backslash \; chi,\; s)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; chi\; (n)\}\; \{n\; ^\; \{s\}\}\}\}$

для каждого комплексного числа, такого что Re s>1. С помощью аналитического продолжения эта функция может быть расширена до мероморфной функции (только когда $\chi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\}$является примитивным), определенной на вся сложная плоскость. Обобщенная гипотеза Римана утверждает, что для любого характера Дирихле χ и любого комплексного числа s с L (χ, s) = 0, если s не является отрицательным действительным числом, то действительная часть s равна 1 / 2.

Случай χ (n) = 1 для всех n приводит к обычной гипотезе Римана.

Следствия GRH

Теорема Дирихле гласит, что если a и d взаимно просты натуральные числа, то арифметическая прогрессия a, a + d, a + 2d, a + 3d,... содержит бесконечно много простых чисел. Пусть π (x, a, d) обозначает количество простых чисел в этой прогрессии, которые меньше или равны x. Если обобщенная гипотеза Римана верна, то для всех взаимно простых a и d и для любого ε>0

$\pi \; (x,\; a,\; d)\; =\; 1\; \phi \; (d)\; \int \; 2\; x\; 1\; ln\; \; tdt\; +\; O\; (x\; 1/2\; +\; \epsilon )\; как\; x\; \to \; \infty ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; (x,\; a,\; d)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; varphi\; (d)\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{2\}\; ^\; \{x\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; ln\; t\}\}\; \backslash ,\; dt\; +\; O\; (x\; ^\; \{1/2\; +\; \backslash \; varepsilon\})\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; t\_dv\; \{as\}\}\; \backslash \; x\; \backslash \; to\; \backslash \; infty,\}$

где φ ( d) является функцией Эйлера, а O - записью Big O. Это значительное усиление теоремы о простых числах.

Если GRH верна, то каждая собственная подгруппа мультипликативной группы $(Z\; /\; n\; Z)\; \times \; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; n\; \backslash \; mathbb\; \{Z\})\; ^\; \{\backslash \; times\}\}$пропускает число меньше 2 (ln n), а также число, взаимно простое с n меньше 3 (ln n). Другими словами, $(Z\; /\; n\; Z)\; \times \; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; n\; \backslash \; mathbb\; \{Z\})\; ^\; \{\backslash \; times\}\}$генерируется набором чисел менее 2 (ln n). Это часто используется в доказательствах и имеет множество последствий, например (при условии GRH):

• Тест простоты Миллера – Рабина гарантированно выполняется за полиномиальное время. (Тест на простоту полиномиального времени, который не требует GRH, тест на простоту AKS, был опубликован в 2002 году.)
• Алгоритм Шанкса – Тонелли гарантированно выполняются за полиномиальное время.
• Детерминированный алгоритм Иваниоса – Карпинского – Саксены для факторизации многочленов по конечным полям с простыми постоянно-гладкими степенями гарантированно работает за полиномиальное время.

Если GRH истинно, то для каждого prime p существует примитивный корень по модулю p (генератор мультипликативной группы целых чисел по модулю p), который меньше $O\; ((ln\; \; p)\; 6).\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; ((\backslash \; ln\; p)\; ^\; \{6\}).\}$

Слабая гипотеза Гольдбаха также следует из обобщенной гипотезы Римана. Доказательство Харальда Хельфготта этой гипотезы, которое еще предстоит проверить, проверяет GRH для нескольких тысяч маленьких символов с точностью до определенной мнимой части, чтобы получить достаточные оценки, которые доказывают гипотезу для всех целых чисел больше 10, целых чисел ниже которых имеют уже проверено расчетом.

Если допустить истинность GRH, оценка суммы символов в неравенстве Поли – Виноградова может быть улучшена до $O\; (q\; log\; \; log\; \; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{q\}\}\; \backslash \; log\; \backslash \; log\; q\; \backslash \; right)\}$, где q - модуль символа.

Предположим, что K - это числовое поле (конечномерное расширение поля из рациональных Q) с кольцом целых чисел OK(это кольцо является целым замыканием целых чисел Zв K). Если a является идеалом из O K, кроме нулевого идеала, мы обозначаем его норму через Na. дзета-функция Дедекинда для K тогда определяется как

$\zeta \; K\; (s)\; =\; \sum \; a\; 1\; (N\; a)\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; \_\; \{K\}\; (\; s)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{a\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(Na)\; ^\; \{s\}\}\}\}$

для каждого комплексного числа s с действительной частью>1. Сумма распространяется на все ненулевые идеалы a из O K.

Дзета-функция Дедекинда удовлетворяет функциональному уравнению и может быть расширена с помощью аналитического продолжения на всю комплексную плоскость. Результирующая функция кодирует важную информацию о числовом поле K. Расширенная гипотеза Римана утверждает, что для каждого числового поля K и каждого комплексного числа s с ζ K (s) = 0: если действительная часть s находится между 0 и 1, то фактически это 1/2.

Обычная гипотеза Римана следует из расширенной, если принять числовое поле равным Q с кольцом целых чисел Z.

. ERH подразумевает эффективную версию Чеботарева. Теорема плотности : если L / K - конечное расширение Галуа с группой Галуа G, а C - объединение классов сопряженности группы G, количество неразветвленных простых чисел из K нормы ниже x с сопряженностью Фробениуса класс в C равен

$|\; C\; |\; |\; G\; |\; (Ли\; \; (Икс)\; +\; О\; (Икс\; (N\; журнал\; \; Икс\; +\; журнал\; \; |\; \Delta \; |))),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{|\; C\; |\}\; \{|\; G\; |\}\}\; \{\backslash \; Bigl\; (\}\; \backslash \; Operatorname\; \{\; li\}\; (x)\; +\; O\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\}\}\; (n\; \backslash \; log\; x\; +\; \backslash \; log\; |\; \backslash \; Delta\; |)\; \{\backslash \; bigr)\}\; \{\backslash \; Bigr)\},\}$

где подразумевается константа в обозначении большого O является абсолютным, n - степень L над Q, а Δ - его дискриминант.

• Гипотеза Артина
• L-функция Дирихле
• Класс Сельберга
• Гипотеза Большого Римана

• , Математическая энциклопедия, EMS Press, 2001 [1994]