Модели ошибок в переменных

Модели регрессии с учетом возможных ошибок в независимых переменных

В статистике, модели ошибок в переменных или модели ошибок измерения - это модели регрессии, которые учитывают ошибки измерения в независимых переменных. Напротив, стандартные регрессионные модели предполагают, что эти регрессоры были точно измерены или наблюдались без ошибок; как таковые, эти модели учитывают только ошибки в зависимых переменных или ответах.

Иллюстрация разбавления регрессии (или смещения ослабления) с помощью диапазона оценок регрессии в ошибках: модели без переменных. Две линии регрессии (красные) ограничивают диапазон возможностей линейной регрессии. Неглубокий наклон получается, когда независимая переменная (или предиктор) находится на абсциссе (ось x). Более крутой наклон получается, когда независимая переменная находится на ординате (ось y). По соглашению с независимой переменной на оси x получается более пологий наклон. Зеленые контрольные линии - это средние значения в пределах произвольных интервалов по каждой оси. Обратите внимание, что более крутые оценки регрессии зеленого и красного цвета более согласуются с меньшими ошибками в переменной оси Y.

В случае, когда некоторые регрессоры были измерены с ошибками, оценка, основанная на стандартном предположении, приводит к несогласованным 61>оценок, что означает, что оценки параметров не стремятся к истинным значениям даже в очень больших выборках. Для простой линейной регрессии эффект заключается в занижении коэффициента, известном как смещение затухания. В нелинейных моделях направление смещения, вероятно, будет более сложным.

• 1 Мотивационный пример
• 2 Спецификация
  • 2.1 Терминология и предположения
• 3 Линейный модель
  • 3.1 Простая линейная модель
  • 3.2 Многопараметрическая линейная модель
• 4 Нелинейные модели
  • 4.1 Методы инструментальных переменных
  • 4.2 Повторные наблюдения
• 5 Ссылки
• 6 Дополнительная литература
• 7 Внешние ссылки

Рассмотрим простую модель линейной регрессии вида

$yt\; =\; \alpha \; +\; \beta \; xt\; \ast \; +\; \epsilon \; t,\; t\; =\; 1,\dots ,\; T,\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{\; t\}\; =\; \backslash \; альфа\; +\; \backslash \; бета\; x\_\; \{t\}\; ^\; \{*\}\; +\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{t\}\; \backslash ,,\; \backslash \; quad\; t\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; T,\}$

где $xt\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{t\}\; ^\; \{*\}\}$обозначает истинный, но ненаблюдаемый регрессор. Вместо этого мы наблюдаем это значение с ошибкой:

$xt\; =\; xt\; \ast \; +\; \eta \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{t\}\; =\; x\_\; \{t\}\; ^\; \{*\}\; +\; \backslash \; eta\; \_\; \{t\}\; \backslash ,\}$

где ошибка измерения $\eta \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{t\}\}$считается независимой от истинного значения $xt\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{t\}\; ^\; \{*\}\}$.

Если $yt\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{t\}\}$'s просто регрессируют на $xt\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{t\}\}$′ s ( см. простая линейная регрессия ), тогда оценка коэффициента наклона будет

$\beta \; ^\; =\; 1\; T\; \sum \; t\; =\; 1\; T\; (xt\; -\; x\; ¯)\; (yt\; -\; y\; ¯)\; 1\; T\; \sum \; t\; =\; 1\; T\; (xt\; -\; x\; ¯)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; beta\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{T\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{t\; =\; 1\}\; ^\; \{T\}\; (x\_\; \{t\}\; -\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\})\; (y\_\; \{t\}\; -\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\})\}\; \{\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{T\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{t\; =\; 1\}\; ^\; \{T\}\; (x\_\; \{t\}\; -\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\})\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,,\}$

который сходится по мере увеличения размера выборки $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$без граница:

$\beta \; ^\; \to \; p\; Cov\; \; [xt,\; yt]\; Var\; \; [xt]\; =\; \beta \; \sigma \; x\; \ast \; 2\; \sigma \; x\; \ast \; 2\; +\; \sigma \; \eta \; 2\; =\; \beta \; 1\; +\; \sigma \; \eta \; 2\; /\; \sigma \; x\; \ast \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; beta\}\}\; \{\backslash \; xrightarrow\; \{p\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{Cov\}\; [\backslash ,\; x\_\; \{t\},\; y\_\; \{t\}\; \backslash ,]\}\; \{\backslash \; operatorname\; \{Var\}\; [\; \backslash ,\; x\_\; \{t\}\; \backslash ,]\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\; \backslash \; sigma\; \_\; \{x\; ^\; \{*\}\}\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{x\; ^\; \{*\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; eta\}\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\}\; \{1+\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\backslash \; eta\}\; ^\; \{2\}\; /\; \backslash \; sigma\; \_\; \{x\; ^\; \{*\}\}\; ^\; \{2\}\}\; \}\; \backslash ,.\}$

Варианты неотрицательны, так что в пределе оценка меньше по величине, чем истинное значение $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$, эффект, который статистики называют ослаблением или разбавлением регрессии. Таким образом, «наивная» оценка методом наименьших квадратов несовместима в этой настройке. Однако оценщик является последовательным оценщиком параметра, необходимого для наилучшего линейного предиктора $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$при $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$: в некоторых приложениях это может быть то, что требуется, а не оценка «истинного» коэффициента регрессии, хотя это предполагает, что дисперсия ошибок при наблюдении $x\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{*\}\}$остается неизменным. Это следует непосредственно из результата, приведенного непосредственно выше, и того факта, что коэффициент регрессии, связывающий $yt\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{t\}\}$′ s с фактически наблюдаемым $xt\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{t\}\}$′ s в простой линейной регрессии задается как

$\beta \; x\; =\; Cov\; \; [xt,\; yt]\; Var\; \; [xt].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \_\; \{x\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{Cov\}\; [\backslash ,\; x\_\; \{t\},\; y\_\; \{t\}\; \backslash ,]\}\; \{\backslash \; operatorname\; \{Var\}\; [\backslash ,\; x\_\; \{t\}\; \backslash ,\; ]\}\}.\}$

Именно этот коэффициент, а не $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$, необходим для построения предиктора $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$на основе наблюдаемого $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, подверженного шуму.

Можно утверждать, что почти все существующие наборы данных содержат ошибки разной природы и величины, так что смещение затухания встречается очень часто (хотя в многомерной регрессии направление смещения неоднозначно). Джерри Хаусман видит в этом железный закон эконометрики: «Величина оценки обычно меньше ожидаемой».

Обычно модели ошибок измерения описываются с использованием подход скрытых переменных. Если $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$- это переменная ответа, а $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$- наблюдаемые значения регрессоров, то предполагается, что существуют некоторые скрытые переменные $y\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{*\}\}$и $x\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{*\}\}$, которые соответствуют «истинному» модели. функциональная связь $g\; (\cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (\backslash \; cdot)\}$, и такие, что наблюдаемые величины являются их зашумленными наблюдениями:

$\{y\; \ast \; =\; g\; (Икс\; *,\; вес\; |\; \theta ),\; Y\; =\; Y\; *\; +\; \epsilon ,\; Икс\; =\; Икс\; *\; +\; \eta ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; y\; ^\; \{*\}\; =\; g\; (x\; ^\; \{*\}\; \backslash \; !,\; ш\; \backslash ,\; |\; \backslash ,\; \backslash \; theta),\; \backslash \backslash \; y\; =\; y\; ^\; \{*\}\; +\; \backslash \; varepsilon,\; \backslash \backslash \; x\; =\; x\; ^\; \{*\}\; +\; \backslash \; eta,\; \backslash \; end\; \{ases\}\}$

где $\theta \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$- параметр модели и $w\; \{\backslash \; displaystyle\; w\}$- те регрессоры, которые считаются безошибочными (для пример, когда линейная регрессия содержит точку пересечения, регрессор, который соответствует константе, безусловно, не имеет «ошибок измерения»). В зависимости от спецификации эти безошибочные регрессоры могут или не могут рассматриваться отдельно; в последнем случае просто предполагается, что соответствующие элементы в матрице дисперсии элементов $\eta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\}$равны нулю.

Переменные $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$, $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, $w\; \{\backslash \; displaystyle\; w\}$все наблюдаются, что означает, что статистик обладает a набор данных из $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$статистических единиц $\{yi,\; xi,\; wi\}\; i\; =\; 1,\dots ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{y\_\; \{i\},\; x\_\; \{i\},\; w\_\; \{i\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \_\; \{i\; =\; 1,\; \backslash \; dots,\; n\}\}$, которые следуют описанному процессу создания данных над; скрытые переменные $x\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{*\}\}$, $y\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{*\}\}$, $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$и $\eta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\}$, однако, не соблюдаются.

Эта спецификация не охватывает все существующие модели ошибок в переменных. Например, в некоторых из них функция $g\; (\cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (\backslash \; cdot)\}$может быть непараметрической или полупараметрической. Другие подходы моделируют связь между $y\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{*\}\}$и $x\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{*\}\}$как распределительную. функционала, то есть они предполагают, что $y\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{*\}\}$условно на $x\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{*\}\}$следует определенному (обычно параметрическому) распределению.

Терминология и предположения

• Наблюдаемая переменная $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$может называться манифестом, индикатором или прокси-переменной.
• ненаблюдаемой переменной $x\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{*\}\}$можно назвать скрытой или истинной переменной. Его можно рассматривать либо как неизвестную константу (в этом случае модель называется функциональной моделью), либо как случайную величину (соответственно структурную модель).
• Связь между погрешностью измерения $\eta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\}$и скрытую переменную $x\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{*\}\}$можно моделировать разными способами:
  • Классический ошибки: $\eta \; \perp \; x\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \backslash \; perp\; x\; ^\; \{*\}\}$ошибки не зависят от скрытой переменной. Это наиболее распространенное допущение, оно подразумевает, что ошибки вносятся измерительным устройством и их величина не зависит от измеряемого значения.
  • Независимость от среднего: $E\; \; [\eta \; |\; x\; \ast ]\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [\backslash \; eta\; |\; x\; ^\; \{*\}]\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; 0,\}$ошибки равны нулю в среднем для каждого значения скрытого регрессор. Это менее ограничительное предположение, чем классическое, поскольку оно допускает наличие гетероскедастичности или других эффектов в ошибках измерения.
  • Ошибки Берксона : $\eta \; \perp \; x,\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \backslash ,\; \backslash \; perp\; \backslash ,\; x,\}$ошибки не зависят от наблюдаемого регрессора x. Это предположение имеет очень ограниченную применимость. Одним из примеров являются ошибки округления: например, если возраст человека * является непрерывной случайной величиной, тогда как наблюдаемый возраст усекается до следующего наименьшего целого числа, тогда ошибка усечения приблизительно не зависит от наблюдаемого возраста.. Другая возможность связана с экспериментом с фиксированным планом: например, если ученый решает провести измерение в определенный заранее определенный момент времени $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, скажем, при $x\; =\; 10\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 10s\}$, тогда реальное измерение может произойти при некотором другом значении $x\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{*\}\}$(например, из-за к ее конечному времени реакции), и такая ошибка измерения обычно не зависит от «наблюдаемого» значения регрессора.
  • Ошибки неправильной классификации: особый случай, используемый для фиктивных регрессоров. Если $x\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{*\}\}$является индикатором определенного события или состояния (например, лицо мужского / женского пола, какое-либо лечение предоставлено / нет и т. Д.), то ошибка измерения в таком регрессоре будет соответствовать неверной классификации, аналогичной ошибкам типа I и типа II при статистическом тестировании. В этом случае ошибка $\eta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\}$может принимать только 3 возможных значения, а ее распределение зависит от $x\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{*\}\}$моделируется двумя параметрами: $\alpha \; =\; Pr\; \; [\eta \; =\; -\; 1\; |\; x\; \ast \; =\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Pr\}\; [\backslash \; eta\; =\; -1\; |\; x\; ^\; \{*\}\; =\; 1]\}$и $\beta \; =\; Pr\; \; [\eta \; =\; 1\; |\; x\; \ast \; =\; 0]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Pr\}\; [\backslash \; eta\; =\; 1\; |\; x\; ^\; \{*\}\; =\; 0]\}$. Необходимым условием идентификации является то, что , то есть ошибочная классификация не должна происходить «слишком часто». (Эта идея может быть обобщена на дискретные переменные с более чем двумя возможными значениями.)

Линейные модели ошибок в переменных были изучены первыми, вероятно потому, что были линейные модели так широко используются, и они проще нелинейных. В отличие от стандартной регрессии по методу наименьших квадратов (OLS), расширение ошибок в регрессии переменных (EiV) с простого случая на многомерный не так просто.

Простая линейная модель

Простая линейная модель ошибок в переменных уже была представлена ​​в разделе «мотивация»:

$\{yt\; =\; \alpha \; +\; \beta \; xt\; \ast \; +\; \epsilon \; t,\; xt\; знак\; равно\; xt\; *\; +\; \eta \; t,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; y\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\; x\_\; \{t\}\; ^\; \{*\}\; +\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{t\},\; \backslash \backslash \; x\_\; \{t\}\; =\; x\_\; \{t\}\; ^\; \{*\}\; +\; \backslash \; eta\; \_\; \{t\},\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

где все переменные скалярны. Здесь α и β представляют собой интересующие параметры, тогда как σ ε и σ η - стандартные отклонения членов ошибки - являются мешающими параметрами. «Истинный» регрессор x * рассматривается как случайная величина (структурная модель), не зависящая от ошибки измерения η (классическое предположение).

Эта модель идентифицируема в двух случаях: (1) либо скрытый регрессор x * не нормально распределен, (2) или x * имеет нормальное распределение, но ни ε t, ни η t не делятся на нормальное распределение. То есть параметры α, β можно последовательно оценить на основе набора данных $(xt,\; yt)\; t\; =\; 1\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; (x\_\; \{t\},\; \backslash ,\; y\_\; \{t\})\; \_\; \{t\; =\; 1\}\; ^\; \{T\}\}$без какой-либо дополнительной информации, при условии, что скрытый регрессор не является гауссовским.

Перед тем, как этот результат идентифицируемости был установлен, статистики пытались применить метод максимального правдоподобия, предполагая, что все переменные являются нормальными, а затем пришли к выводу, что модель не идентифицирована. Предлагаемое решение состояло в том, чтобы предположить, что некоторые параметры модели известны или могут быть оценены из внешнего источника. К таким методам оценки относятся

• регрессия Деминга - предполагается, что отношение δ = σ² ε / σ² η известно. Это может быть подходящим, например, когда ошибки в y и x вызваны измерениями, и точность измерительных устройств или процедур известна. Случай, когда δ = 1, также известен как ортогональная регрессия.
• Регрессия с известным коэффициентом надежности λ = σ² ∗ / (σ² η + σ² ∗), где σ² ∗ - дисперсия скрытого регрессора. Такой подход может быть применим, например, когда доступны повторяющиеся измерения одного и того же устройства, или когда коэффициент надежности известен из независимого исследования. В этом случае согласованная оценка наклона равна оценке методом наименьших квадратов, деленной на λ.
• Регрессия с известным σ² η может произойти, если источник ошибок в x известен и их дисперсию можно рассчитать. Это может включать ошибки округления или ошибки, вносимые измерительным устройством. Когда известно σ² η, мы можем вычислить коэффициент надежности как λ = (σ² x - σ² η) / σ² x и уменьшить проблема с предыдущим случаем.

Более новые методы оценки, которые не предполагают знания некоторых параметров модели, включают

• Метод моментов - оценку GMM на основе третьего - ( или соединение более высокого порядка кумулянтов наблюдаемых переменных. Коэффициент наклона можно оценить по формуле

  $\beta \; ^\; =\; K\; ^\; (n\; 1,\; n\; 2\; +\; 1)\; K\; ^\; (n\; 1\; +\; 1,\; n\; 2),\; n\; 1,\; n\; 2>0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; beta\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; hat\; \{K\}\}\; (n\_\; \{1\},\; n\_\; \{2\}\; +1)\}\; \{\{\backslash \; hat\; \{K\}\}\; (n\_\; \{1\}\; +\; 1,\; n\_\; \{2\; \})\}\},\; \backslash \; quad\; n\_\; \{1\},\; n\_\; \{2\}>0,\}$

  где (n 1,n2) такие, что K (n 1 + 1, n 2) - совместный кумулянт из (x, y) - не равен нулю. В случае, когда третий центральный момент скрытого регрессора x * не равен нулю, формула сводится к

  $\beta \; ^\; =\; 1\; T\; \sum \; T\; =\; 1\; T\; (xt\; -\; x\; ¯)\; (yt\; -\; y\; ¯)\; 2\; 1\; T\; \sum \; t\; =\; 1\; T\; (xt\; -\; x\; ¯)\; 2\; (yt\; -\; y\; ¯).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; beta\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{T\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{t\; =\; 1\}\; ^\; \{T\}\; (x\_\; \{t\}\; -\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\})\; (y\_\; \{\; t\}\; -\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\})\; ^\; \{2\}\}\; \{\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{T\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{t\; =\; 1\}\; ^\; \{T\}\; (x\_\; \{t\}\; -\; \{\backslash \; bar\; \{x\; \}\})\; ^\; \{2\}\; (y\_\; \{t\}\; -\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\})\}\}\; \backslash .\}$

• Инструментальные переменные - регрессия, требующая некоторых дополнительных переменных данных z, назывались инструменты, были в наличии. Эти переменные не должны быть коррелированы с ошибками в уравнении для зависимой переменной (действительны), и они также должны быть коррелированы (релевантны) с истинными регрессорами x *. Если такие переменные могут быть найдены, то оценка принимает вид
  $\beta \; ^\; =\; 1\; T\; \sum \; t\; =\; 1\; T\; (zt\; -\; z\; ¯)\; (yt\; -\; y\; ¯)\; 1\; T\; \sum \; t\; =\; 1\; T\; (zt\; -\; z\; ¯)\; (xt\; -\; x\; ¯).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; beta\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{T\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{t\; =\; 1\}\; ^\; \{T\}\; (z\_\; \{t\}\; -\; \{\backslash \; bar\; \{z\})\; \})\; (y\_\; \{t\}\; -\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\})\}\; \{\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{T\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{t\; =\; 1\}\; ^\; \{T\}\; (z\_\; \{t\}\; -\; \{\backslash \; bar\; \{\; z\}\})\; (x\_\; \{t\}\; -\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\})\}\}\; \backslash .\}$

Многопараметрическая линейная модель

Многопараметрическая модель выглядит точно так же, как простая линейная модель, только на этот раз β, η t, x t и x * t являются векторами k × 1.

$\{y\; t\; =\; \alpha \; +\; \beta \; \prime \; x\; t\; \ast \; +\; \epsilon \; t,\; x\; t\; =\; x\; t\; \ast \; +\; \eta \; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{case\}\; y\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\; \text{'}x\_\; \{t\}\; ^\; \{*\}\; +\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{t\},\; \backslash \backslash \; x\_\; \{t\}\; =\; x\_\; \{t\}\; ^\; \{*\; \}\; +\; \backslash \; eta\; \_\; \{t\}.\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

В случае, когда (ε t,ηt) совместно нормально, параметр β не идентифицируется тогда и только тогда, когда существует неособое k Блочная матрица × k [a A] (где a - вектор k × 1) такая, что a′x * распределяется нормально и независимо от A′x *. В случае, когда ε t, η t1,..., η tk являются взаимно независимыми, параметр β не идентифицируется тогда и только тогда, когда дополнительно В приведенных выше условиях некоторые ошибки могут быть записаны как сумма двух независимых переменных, одна из которых является нормальной.

Некоторые из методов оценки для многомерных линейных моделей:

• Всего наименьших квадратов равно расширение регрессии Деминга на многопараметрическую настройку. Когда все k + 1 компоненты вектора (ε, η) имеют равные дисперсии и независимы, это эквивалентно запуску ортогональной регрессии y по вектору x, то есть регрессии, которая минимизирует сумму квадратов расстояний между точек (y t,xt) и k-мерной гиперплоскости «наилучшего соответствия».
• Оценка метода моментов может быть построена на основе моментных условий E [z t · (y t - α - β'x t)] = 0, где (5k + 3) -мерный вектор инструментов z t определяется как

  $zt = (1 zt 1 ′ zt 2 ′ zt 3 ′ zt 4 ′ zt 5 ′ zt 6 ′ zt 7 ′) ′, где zt 1 = xt ∘ xtzt 2 = xtytzt 3 = yt 2 zt 4 = xt ∘ xt ∘ xt - 3 (E ⁡ [xtxt ′] ∘ I k) xtzt 5 = xt ∘ xtyt - 2 (E ⁡ [ytxt ′] ∘ I k) xt - yt (E ⁡ [xtxt ′] ∘ I k) ι kzt 6 = xtyt 2 - E ⁡ [yt 2] xt - 2 yt E ⁡ [xtyt] zt 7 = yt 3 - 3 yt E ⁡ [yt 2] {\ displaystyle {\ begin {align} z_ {t} = \ left (1 \ z_ {t1} '\ z_ {t2}' \ z_ {t3} '\ z_ { t4} '\ z_ {t5}' \ z_ {t6} '\ z_ {t7}' \ right) ', \ quad {\ text {where}} \\ z_ {t1} = x_ {t} \ circ x_ { t} \\ z_ {t2} = x_ {t} y_ {t} \\ z_ {t3} = y_ {t} ^ {2} \\ z_ {t4} = x_ {t} \ circ x_ {t} \ circ x_ {t} -3 {\ big (} \ operatorname {E} [x_ {t} x_ {t} '] \ circ I_ {k} {\ big)} x_ {t} \\ z_ {t5} = x_ {t} \ circ x_ {t} y_ {t} -2 {\ big (} \ operatorname {E} [y_ {t} x_ {t} '] \ circ I_ {k} {\ big)} x_ { t} -y_ {t} {\ big (} \ operatorname {E} [x_ {t} x_ {t} '] \ circ I_ {k} {\ big)} \ iota _ {k} \\ z_ {t6 } = x_ {t} y_ {t} ^ {2} - \ operatorname {E} [y_ {t} ^ {2}] x_ {t} -2y_ {t} \ operatorname {E} [x_ {t} y_ {t}] \\ z_ {t7} = y_ {t} ^ {3} -3y_ {t} \ operatorname {E} [y_ {t} ^ {2}] \ end {align}}}$

  где $\circ \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; circ\}$обозначает произведение Адамара матриц, а переменные x t, y t были предварительно лишенный смысла. Авторы метода предлагают использовать модифицированную оценку IV Фуллера..

  Этот метод может быть расширен для использования моментов выше третьего порядка, если необходимо, и для учета переменных, измеренных без ошибок.
• Подход инструментальных переменных требует поиска дополнительных переменных данных z t, которые будут служить инструментами для неверно измеренных регрессоров x t. Этот метод является наиболее простым с точки зрения реализации, однако его недостаток в том, что он требует сбора дополнительных данных, что может быть дорогостоящим или даже невозможным. Когда инструменты найдены, оценщик принимает стандартную форму

  $\beta \; ^\; =\; (X\; \prime \; Z\; (Z\; \prime \; Z)\; -\; 1\; Z\; \prime \; X)\; -\; 1\; X\; \prime \; Z\; (Z\; \prime \; Z)\; -\; 1\; Z\; \prime \; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; beta\}\}\; =\; \{\backslash \; big\; (\}\; X\text{'}Z\; (Z\text{'}Z)\; ^\; \{-\; 1\}\; Z\text{'}X\; \{\backslash \; big)\}\; ^\; \{-\; 1\}\; X\text{'}Z\; (Z\text{'}Z)\; ^\; \{-\; 1\}\; Z\text{'}y.\}$

Общая модель нелинейных ошибок измерения принимает вид

$\{yt\; =\; g\; (xt\; \ast )\; +\; \epsilon \; t,\; xt\; =\; xt\; \ast \; +\; \eta \; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; y\_\; \{t\}\; =\; g\; (x\_\; \{t\}\; ^\; \{*\})\; +\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{t\},\; \backslash \backslash \; x\_\; \{t\}\; =\; x\_\; \{t\}\; ^\; \{*\}\; +\; \backslash \; eta\; \_\; \{t\}.\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\}$

Здесь функция g может быть параметрической или непараметрической. Если функция g параметрическая, она будет записана как g (x *, β).

Для общего векторного регрессора x * условия для модели идентифицируемости неизвестны. Однако в случае скаляра x * модель идентифицируется, если функция g не имеет "логарифмически экспоненциальную" форму

$g\; (x\; \ast )\; =\; a\; +\; b\; ln\; \; (ecx\; \ast \; +\; d)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (\; x\; ^\; \{*\})\; =\; a\; +\; b\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; big\; (\}\; e\; ^\; \{cx\; ^\; \{*\}\}\; +\; d\; \{\backslash \; big)\}\}$

и скрытый регрессор x * имеет плотность

$fx\; \ast \; (Икс)\; =\; \{А\; е\; -\; В\; е\; С\; Икс\; +\; CD\; Икс\; (е\; С\; Икс\; +\; Е)\; -\; F,\; если\; d>0,\; А\; е\; -\; В\; х\; 2\; +\; С\; х,\; если\; d\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{x\; ^\; \{\; *\}\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; Ae\; ^\; \{-\; Be\; ^\; \{Cx\}\; +\; CDx\}\; (e\; ^\; \{Cx\}\; +\; E)\; ^\; \{-\; F\},\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; \backslash \; d>0\; \backslash \backslash \; Ae\; ^\; \{-\; Bx\; ^\; \{2\}\; +\; Cx\}\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; \backslash \; d\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

где константы A, B, C, D, E, F могут зависеть от a, b, c, d.

Несмотря на этот оптимистичный результат, на данный момент не существует методов оценки нелинейных моделей ошибок в переменных без какой-либо посторонней информации. Однако существует несколько методов, которые используют некоторые дополнительные данные: r инструментальные переменные или повторные наблюдения.

Методы инструментальных переменных

• Метод моделирования моментов Ньюи для параметрических моделей - требует наличия дополнительного набора наблюдаемых переменных-предикторов z t, так что истинный регрессор может быть выражается как

  $xt\; \ast \; =\; \pi \; 0\; \prime \; zt\; +\; \sigma \; 0\; \zeta \; t,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{t\}\; ^\; \{*\}\; =\; \backslash \; pi\; \_\; \{0\}\; \text{'}z\_\; \{t\}\; +\; \backslash \; sigma\; \_\; \{0\}\; \backslash \; zeta\; \_\; \{t\},\}$

  где π 0 и σ 0 - (неизвестные) постоянные матрицы, а ζ t ⊥ z t. Коэффициент π 0 можно оценить с помощью стандартной наименьших квадратов регрессии x по z. Распределение ζ t неизвестно, однако мы можем смоделировать его как принадлежащее к гибкому параметрическому семейству - ряду Эджворта :

  $f\; \zeta \; (v;\; \gamma )\; =\; \varphi \; (v)\; \sum \; j\; Знак\; равно\; 1\; J\; \gamma \; jvj\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \_\; \{\backslash \; zeta\}\; (v;\; \backslash ,\; \backslash \; gamma)\; =\; \backslash \; phi\; (v)\; \backslash ,\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{J\}\; \backslash !\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{j\; \}\; v\; ^\; \{j\}\}$

  где ϕ - стандартное нормальное распределение.

  Смоделированные моменты могут быть рассчитаны с использованием алгоритма выборки по важности : сначала мы генерируем несколько случайных величин {v ts ~ ϕ, s = 1,…, S, t = 1,…, T} из стандартного нормального распределения, тогда мы вычисляем моменты в t-м наблюдении как

  $mt\; (\theta )\; =\; A\; (zt)\; 1\; S\; \sum \; s\; =\; 1\; SH\; (xt,\; yt,\; zt,\; vts;\; \theta )\; \sum \; J\; знак\; равно\; 1\; J\; \gamma \; jvtsj,\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{t\}\; (\backslash \; theta)\; =\; A\; (z\_\; \{t\})\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{S\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{s\; =\; 1\}\; ^\; \{S\}\; H\; (x\_\; \{t\},\; y\_\; \{t\},\; z\_\; \{t\},\; v\_\; \{ts\};\; \backslash \; theta)\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{J\}\; \backslash !\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{j\}\; v\_\; \{\; ts\}\; ^\; \{j\},\}$

  где θ = (β, σ, γ), A - просто некоторая функция инструментальных переменных z, а H - двухкомпонентный вектор моментов

  $H\; 1\; (xt,\; yt,\; zt,\; vts;\; \theta )\; =\; yt\; -\; g\; (\pi \; ^\; \prime \; zt\; +\; \sigma \; vts,\; \beta ),\; H\; 2\; (xt,\; yt,\; zt,\; vts;\; \theta )\; =\; ztyt\; -\; (\pi \; ^\; \prime \; zt\; +\; \sigma \; vts)\; g\; (\pi \; ^\; \prime \; zt\; +\; \sigma \; vts,\; \beta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; H\_\; \{1\}\; (x\_\; \{t\},\; y\_\; \{t\},\; z\_\; \{t\},\; v\_\; \{ts\};\; \backslash \; theta)\; =\; y\_\; \{t\}\; -g\; (\{\backslash \; hat\; \{\backslash \; pi\}\}\; \text{'}z\_\; \{t\}\; +\; \backslash \; sigma\; v\_\; \{ts\},\; \backslash \; beta),\; \backslash \backslash \; H\_\; \{2\}\; (x\_\; \{t\},\; y\_\; \{t\},\; z\_\; \{t\},\; v\_\; \{ts\};\; \backslash \; theta)\; =\; z\_\; \{t\}\; y\_\; \{t\}\; -\; (\{\backslash \; hat\; \{\backslash \; pi\}\}\; \text{'}z\_\; \{t\}\; +\; \backslash \; sigma\; v\_\; \{ts\})\; g\; (\{\backslash \; hat\; \{\backslash \; pi\}\}\text{'}\; z\_\; \{t\}\; +\; \backslash \; sigma\; v\_\; \{ts\},\; \backslash \; beta)\; \backslash \; end\; \{выровнено\}\}\; \}$

  С помощью моментных функций m t можно применить стандартный метод GMM для оценки неизвестного параметра θ.

Повторные наблюдения

В этом подходе два ( или, может быть, больше) доступны повторные наблюдения регрессора x *. Оба наблюдения содержат собственные ошибки измерения, однако эти ошибки должны быть независимыми:

$\{x\; 1\; t\; =\; xt\; \ast \; +\; \eta \; 1\; t,\; x\; 2\; t\; =\; xt\; \ast \; +\; \eta \; 2\; t,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{\; case\}\; x\_\; \{1t\}\; =\; x\_\; \{t\}\; ^\; \{*\}\; +\; \backslash \; eta\; \_\; \{1t\},\; \backslash \backslash \; x\_\; \{2t\}\; =\; x\_\; \{t\}\; ^\; \{*\}\; +\; \backslash \; eta\; \_\; \{2t\},\; \backslash \; end\; \{случаи\; \}\}\}$

где x * ⊥ η 1 ⊥ η 2. Переменные η 1, η 2 не обязательно должны быть одинаково распределены (хотя, если они являются эффективностью средства оценки, можно немного улучшить). С помощью только этих двух наблюдений можно согласованно оценить функцию плотности x *, используя метод Котлярского деконволюции.

• Метод условной плотности Ли для параметрических моделей. Уравнение регрессии может быть записано в терминах наблюдаемых переменных как

  $E\; \; [y\; t\; |\; x\; t]\; =\; \int \; g\; (x\; t\; \ast ,\; \beta )\; f\; x\; \ast \; |\; Икс\; (xt\; *\; |\; xt)\; dxt\; *,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Operatorname\; \{E\}\; [\backslash ,\; y\_\; \{t\}\; |\; x\_\; \{t\}\; \backslash ,]\; =\; \backslash \; int\; g\; (x\_\; \{t\}\; ^\; \{*\},\; \backslash \; beta)\; f\_\; \{x\; ^\; \{*\}\; |\; x\}\; (x\_\; \{t\}\; ^\; \{*\}\; |\; x\_\; \{t\})\; dx\_\; \{t\}\; ^\; \{*\},\}$

  где можно было бы вычислить интеграл, если бы мы знали функция условной плотности ƒ x * | x ​​. Если эта функция может быть известна или оценена, тогда проблема превращается в стандартную нелинейную регрессию, которую можно оценить, например, с помощью метода NLLS.. Предположим для простоты, что η 1, η 2 одинаково распределены, эта условная плотность может быть вычислена как

  $f\; ^\; x\; \ast \; |\; Икс\; (Икс\; *\; |\; Икс)\; знак\; равно\; е\; ^\; Икс\; *\; (Икс\; *)\; е\; ^\; Икс\; (Икс)\; \prod \; J\; =\; 1\; КФ\; ^\; \eta \; J\; (xj\; -\; xj\; *),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; Hat\; \{f\}\}\; \_\; \{х\; ^\; \{*\}\; |\; x\}\; (x\; ^\; \{*\}\; |\; x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; \_\; \{x\; ^\; \{*\}\}\; (x\; ^\; \{*\})\}\; \{\{\backslash \; hat\; \{f\; \}\}\; \_\; \{x\}\; (x)\}\}\; \backslash \; prod\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; \_\; \{\backslash \; eta\; \_\; \{j\}\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; x\_\; \{j\}\; -x\_\; \{j\}\; ^\; \{*\}\; \{\backslash \; big)\},\}$

  где с небольшим злоупотреблением обозначениями x j обозначает j-й компонент вектора.. Все плотности в этой формуле могут можно оценить с помощью обращения эмпирических характеристических функций. В частности,

  $φ ^ η j (v) = φ ^ xj (v, 0) φ ^ xj ∗ (v), где φ ^ xj (v 1, v 2) = 1 T ∑ t = 1 T eiv 1 x 1 tj + iv 2 x 2 tj, φ ^ xj ∗ (v) = exp ⁡ ∫ 0 v ∂ φ ^ xj (0, v 2) / ∂ v 1 φ ^ xj (0, v 2) dv 2, φ ^ x (u) = 1 2 T ∑ t = 1 T (eiu ′ x 1 t + eiu ′ x 2 t), φ ^ x ∗ (u) = φ ^ x (u) ∏ j = 1 k φ ^ η j (uj). {\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {\ varphi}} _ {\ eta _ {j}} (v) = {\ frac {{\ hat {\ varphi}} _ {x_ {j}} (v, 0)} {{\ hat {\ varphi}} _ {x_ {j} ^ {*}} (v)}}, \ quad {\ text {where}} {\ hat {\ varphi}} _ {x_ {j}} (v_ {1}, v_ {2}) = {\ frac {1} {T}} \ sum _ {t = 1} ^ {T} e ^ {iv_ {1} x_ {1tj } + iv_ {2} x_ {2tj}}, \\ {\ hat {\ varphi}} _ {x_ {j} ^ {*}} (v) = \ exp \ int _ {0} ^ {v} { \ frac {\ partial {\ hat {\ varphi}} _ {x_ {j}} (0, v_ {2}) / \ partial v_ {1}} {{\ hat {\ varphi}} _ {x_ {j }} (0, v_ {2})}} dv_ {2}, \\ {\ hat {\ varphi}} _ {x} (u) = {\ frac {1} {2T}} \ sum _ { t = 1} ^ {T} {\ Big (} e ^ {iu'x_ {1t}} + e ^ {iu'x_ {2t}} {\ Big)}, \ quad {\ hat {\ varphi}} _ {x ^ {*}} (u) = {\ frac {{\ hat {\ varphi}} _ {x} (u)} {\ prod _ {j = 1} ^ {k} {\ hat {\ varphi}} _ {\ eta _ {j}} (u_ {j})}}. \ end {align}}}$

  Чтобы инвертировать эту характеристическую функцию, нужно применить обратное преобразование Фурье с обрезкой параметр C необходим для обеспечения числовой устойчивости. Например:

  $f\; ^\; x\; (x)\; =\; 1\; (2\; \pi )\; k\; \int \; -\; C\; C\; \cdots \; \int \; -\; C\; C\; e\; -\; i\; u\; \prime \; x\; \phi \; ^\; x\; (u)\; d\; u.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; \_\; \{x\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{k\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; C\}\; ^\; \{C\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; C\}\; ^\; \{C\}\; e\; ^\; \{-\; iu\text{'}x\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; varphi\}\}\; \_\; \{x\}\; (u)\; du.\}$

• Оценка Шеннаха для параметрического линейного входа -параметрическая нелинейная модель в переменных. Это модель вида
  $\{yt\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; k\; \beta \; jgj\; (xt\; \ast )\; +\; \sum \; j\; =\; 1\; \ell \; \beta \; k\; +\; jwjt\; +\; \epsilon \; t,\; x\; 1\; t\; =\; xt\; \ast \; +\; \eta \; 1\; T,\; Икс\; 2\; T\; знак\; равно\; XT\; *\; +\; \eta \; 2\; T,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{case\}\; Y\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; beta\; \_\; \{j\}\; g\_\; \{j\; \}\; (x\_\; \{t\}\; ^\; \{*\})\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; ell\}\; \backslash \; beta\; \_\; \{k\; +\; j\}\; w\_\; \{jt\}\; +\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{t\},\; \backslash \backslash \; x\_\; \{1t\; \}\; =\; x\_\; \{t\}\; ^\; \{*\}\; +\; \backslash \; eta\; \_\; \{1t\},\; \backslash \backslash \; x\_\; \{2t\}\; =\; x\_\; \{t\}\; ^\; \{*\}\; +\; \backslash \; eta\; \_\; \{2t\},\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

  где w t представляет переменные, измеренные без ошибок. Регрессор x * здесь является скалярным (метод может быть расширен и на случай вектора x *).. Если бы не ошибки измерения, это была бы стандартная линейная модель с оценка

  $\beta \; ^\; =\; (E\; ^\; [\xi \; t\; \xi \; t\; \prime ])\; -\; 1\; E\; ^\; [\xi \; tyt],\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; beta\}\}\; =\; \{\backslash \; big\; (\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; operatorname\; \{E\}\}\}\; [\backslash ,\; \backslash \; xi\; \_\; \{t\}\; \backslash \; xi\; \_\; \{t\}\; \text{'}\backslash ,]\; \{\backslash \; big)\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; operatorname\; \{E\}\}\}\; [\backslash ,\; \backslash \; xi\; \_\; \{t\}\; y\_\; \{t\}\; \backslash ,],\}$

  где

  $\xi \; t\; \prime \; =\; (g\; 1\; (xt\; \ast ),\; \cdots ,\; gk\; (xt\; \ast ),\; w\; 1,\; t,\; \cdots ,\; wl,\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; \_\; \{t\}\; \text{'}=\; (g\_\; \{1\}\; (x\_\; \{t\}\; ^\; \{*\}),\; \backslash \; cdots,\; g\_\; \{k\}\; (x\_\; \{t\}\; ^\; \{*\}),\; w\_\; \{1,\; t\; \},\; \backslash \; cdots,\; w\_\; \{l,\; t\}).\}$

  Оказывается, все ожидаемые значения в этой формуле можно оценить с помощью того же трюка с деконволюцией. В частности, для типичной наблюдаемой w t (которая может быть 1, w 1t,…, w ℓ t или y t) и некоторой функции h (которая может представлять любые g j или g igj) имеем

  $E\; \; [wth\; (xt\; \ast )]\; =\; 1\; 2\; \pi \; \int \; -\; \infty \; \infty \; \phi \; h\; (\; -\; и)\; \psi \; вес\; (и)\; ду,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; OperatorName\; \{E\}\; [\backslash ,\; w\_\; \{t\}\; h\; (x\_\; \{t\}\; ^\; \{*\})\; \backslash ,]\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; \}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; varphi\; \_\; \{h\}\; (-\; u)\; \backslash \; psi\; \_\; \{w\}\; (u)\; du,\}$

  где φ h - преобразование Фурье h (x *), но с использованием того же соглашения, что и для характеристических функций,

  $\phi \; h\; (u)\; =\; \int \; eiuxh\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{h\}\; (u)\; =\; \backslash \; int\; e\; ^\; \{iux\}\; h\; (x)\; dx\}$,

  и

  $\psi \; w\; (u)\; =\; E\; \; [wteiux\; \ast ]\; =\; E\; \; [wteiux\; 1\; t]\; E\; \; [\; eiux\; 1\; t]\; ехр\; \; \int \; 0\; ui\; E\; \; [x\; 2\; teivx\; 1\; t]\; E\; \; [eivx\; 1\; t]\; dv\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{w\}\; (u)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [\backslash ,\; w\_\; \{t\; \}\; e\; ^\; \{iux\; ^\; \{*\}\}\; \backslash ,]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{E\}\; [w\_\; \{t\}\; e\; ^\; \{iux\_\; \{1t\}\}]\}\; \{\backslash \; operatorname\; \{E\}\; [e\; ^\; \{iux\_\; \{\; 1t\}\}]\}\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{u\}\; i\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{E\}\; [x\_\; \{2t\}\; e\; ^\; \{ivx\_\; \{1t\}\}]\}\; \{\backslash \; operatorname\; \{E\}\; [e\; ^\; \{ivx\_\; \{1t\}\}]\}\}\; dv\}$

  Результирующая оценка $\beta \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; beta\}\}\}$согласован и асимптотически нормален.
• Оценка Шеннаха для непараметрической модели. Стандартная оценка Надарая – Ватсона для непараметрической модели принимает вид

  $g\; ^\; (x)\; =\; E\; ^\; [yt\; K\; h\; (xt\; \ast \; -\; x)]\; E\; ^\; [K\; h\; (xt\; \ast \; -\; x)],\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{g\}\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; hat\; \{\backslash \; operatorname\; \{E\}\}\}\; [\backslash ,\; y\_\; \{t\}\; K\_\; \{h\}\; (x\_\; \{t\}\; ^\; \{\; *\}\; -\; x)\; \backslash ,]\}\; \{\{\backslash \; hat\; \{\backslash \; operatorname\; \{E\}\}\}\; [\backslash ,\; K\_\; \{h\}\; (x\_\; \{t\}\; ^\; \{*\}\; -\; x)\; \backslash ,]\}\},\}$

  для подходящего выбора ядра K и пропускной способности h. Оба ожидания здесь можно оценить с помощью того же метода, что и в предыдущем методе.

• Dougherty, Christopher (2011). «Стохастические регрессоры и ошибки измерения». Введение в эконометрику (Четвертое изд.). Издательство Оксфордского университета. С. 300–330. ISBN 978-0-19-956708-9.
• Кмента, янв (1986). «Оценка с недостаточными данными». Элементы эконометрики (Второе изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. С. 346–391. ISBN 978-0-02-365070-3.
• Шеннах, Сюзанна. «Погрешность измерения в нелинейных моделях - обзор». Серия рабочих документов Cemmap. Cemmap. Получено 6 февраля 2018 г.

• Исторический обзор линейной регрессии с ошибками в обеих переменных, J.W. Гиллард 2006
• Лекция по эконометрике (тема: Стохастические регрессоры и ошибка измерения) на YouTube, автор Марк Тома.