В евклидовой геометрии расстояние от точки до линии - это кратчайшее расстояние от заданной точки до любой точки на бесконечной прямой. Это расстояние перпендикуляра от точки до линии, длина отрезка линии, который соединяет точку с ближайшей точкой на линии. Формулу для его расчета можно вывести и выразить несколькими способами.
Знание расстояния от точки до линии может быть полезно в различных ситуациях - например, для нахождения кратчайшего расстояния до дороги, количественной оценки разброса на графике и т. Д. В регрессии Деминга, тип аппроксимации линейной кривой, если зависимые и независимые переменные имеют одинаковую дисперсию, это приводит к ортогональной регрессии, в которой степень несовершенства аппроксимации измеряется для каждой точки данных как перпендикулярное расстояние точка от линии регрессии.
Содержание
- 1 Декартовы координаты
- 1.1 Линия, определяемая уравнением
- 1.2 Линия, определяемая двумя точками
- 2 Доказательства
- 2.1 Алгебраическое доказательство
- 2.2 Геометрическое доказательство
- 2.3 Доказательство проекции вектора
- 3 Другая формула
- 4 Векторная формула
- 5 Другая векторная формула
- 6 См. Также
- 7 Примечания
- 8 Ссылки
- 9 Дополнительная литература
Декартова координаты
Линия, определяемая уравнением
В случае линии на плоскости, заданной уравнением ax + by + c = 0, где a, b и c являются действительными константы, где a и b не равны нулю, расстояние от линии до точки (x 0,y0) равно
Точка на этой прямой, ближайшая к (x 0,y0), имеет координаты:
Горизонтальные и вертикальные линии
В общем уравнении линии, ax + by + c = 0, a и b не могут быть равны нулю, если c также не равно нулю, и в этом случае уравнение не определяет линию. Если a = 0 и b ≠ 0, линия горизонтальна и имеет уравнение y = -c / b. Расстояние от (x 0, y 0) до этой линии измеряется по отрезку вертикальной линии длиной | y 0 - (-c / b) | = | по 0 + c | / | b | в соответствии с формулой. Аналогично, для вертикальных линий (b = 0) расстояние между той же точкой и прямой составляет | ax 0 + c | / | a |, измеренное по горизонтальному отрезку линии.
Линия, определяемая двумя точками
Если линия проходит через две точки P 1 = (x 1,y1) и P 2 = ( x 2,y2), то расстояние (x 0,y0) от линии составляет:
Знаменателем этого выражения является расстояние между P 1 и P 2. Числитель равен удвоенной площади треугольника с вершинами в трех точках (x 0,y0), P 1 и P 2. См.: Площадь треугольника § Использование координат. Выражение эквивалентно , которое можно получить, переставив стандартную формулу для площади треугольник: , где b - длина стороны, а h - высота перпендикуляра от противоположная вершина.
Доказательства
Алгебраическое доказательство
Это доказательство действительно только в том случае, если линия не является ни вертикальной, ни горизонтальной, то есть мы предполагаем, что ни a, ни b в уравнении линия нулевая.
Линия с уравнением ax + by + c = 0 имеет наклон -a / b, поэтому любая прямая, перпендикулярная ей, будет иметь наклон b / a (отрицательный обратный). Пусть (m, n) будет точкой пересечения прямой ax + by + c = 0 и прямой, перпендикулярной ей, которая проходит через точку (x 0, y 0). Прямая, проходящая через эти две точки, перпендикулярна исходной прямой, поэтому
Таким образом, и возводя это уравнение в квадрат, мы получаем:
Теперь рассмотрим,
с использованием приведенного выше уравнения в квадрате. Но у нас также есть
, поскольку (m, n) находится на ax + by + c = 0. Таким образом,
и получаем длину отрезка определяется этими двумя точками,
Геометрическое доказательство
Диаграмма для геометрического доказательства
Это доказательство действительно, только если линия не горизонтально или вертикально.
Отбросьте перпендикуляр из точки P с координатами (x 0, y 0) на линию с уравнением Ax + By + C = 0. Обозначьте основание перпендикуляра R. Проведите вертикальную линию через точку P и отметьте ее пересечение с данной линией S. В любой точке T на прямой нарисуйте прямоугольный треугольник TVU, стороны которого являются горизонтальными и вертикальными отрезками с гипотенузой TU. по заданной линии и горизонтальной стороне длины | B | (см. диаграмму). Вертикальная сторона ∆TVU будет иметь длину | A | так как линия имеет наклон -A / B.
∆PRS и ∆TVU - похожие треугольники, поскольку они оба являются прямыми треугольниками и ∠PSR ≅ ∠TUV, поскольку они соответствуют углам трансверсали параллельным линиям PS и UV (обе вертикальные линии). Соответствующие стороны этих треугольников находятся в одинаковом соотношении, поэтому:
Если точка S имеет координаты (x 0, m), то | PS | = | y 0 - m | и расстояние от P до линии:
Поскольку S находится на линии, мы можем найти значение m,
и, наконец, получаем:
Вариант этого доказательства состоит в том, чтобы поместить V в точку P и вычислить площадь треугольника ∆UVT двумя способами, чтобы получить, что , где D - высота ∆UVT, обращенная к гипотенуза ∆UVT от P. Формула расстояния может быть использована для выражения , и в терминах координат точки P и коэффициентов уравнения линии для получения указанной формулы.
Векторная проекция доказательство
Пусть P будет точкой с координатами (x 0, y 0) и пусть данная линия имеет уравнение ax + by + c = 0. Кроме того, пусть Q = (x 1, y 1) - любая точка на этой прямой, а n вектор (a, b), начинающийся в точке Q. Вектор n перпендикулярно линии, а расстояние d от точки P до линии равно длине ортогональной проекции на n . Длина этой проекции определяется как:
Теперь
- поэтому и
таким образом
Поскольку Q - точка на прямой, , и поэтому
Другая формула
Можно создать другое выражение, чтобы найти кратчайшее расстояние от точки до линии. Этот вывод также требует, чтобы линия не была вертикальной или горизонтальной.
Точка P задается с координатами (). Уравнение линии задается следующим образом: . Уравнение нормали этой линии, проходящей через точку P, задается .
Точка, в которой эти две прямые пересекаются, является ближайшей точкой на исходной прямой к точке P. Следовательно:
Мы можем решить это уравнение относительно x,
Координата y точки пересечения можно найти, подставив это значение x в уравнение исходной строки,
Использование уравнения для определения расстояния между двумя точек, , мы можем сделать вывод, что формула для нахождения кратчайшего расстояния между линией и точкой следующая:
Вспоминая, что m = -a / b и k = - c / b для линии с уравнением ax + by + c = 0, небольшое алгебраическое упрощение сводит это к стандартному выражению.
Векторная формулировка
Иллюстрация векторной формулировки.
Уравнение строки можно представить в векторной форме:
Здесь a - это точка на линии, а n - единичный вектор в направлении линии. Затем, когда скаляр t изменяется, x дает геометрическое место линии.
Расстояние от произвольной точки p до этой линии определяется как
Эта формула может быть получена следующим образом: - вектор от p до точки a на линии. Тогда - это длина проекции на линию, и поэтому
- вектор это проекция элемента на линию. Таким образом,
является компонентом перпендикулярно к строке. Тогда расстояние от точки до линии будет просто norm этого вектора. Эта более общая формула не ограничивается двумя измерениями.
Другая векторная формулировка
Если векторное пространство ортонормировано и если линия (l) проходит через точку A и имеет вектор направления , расстояние между точкой P и линией (l) равно
где - это векторное произведение векторов и и где - векторная норма .
Обратите внимание, что перекрестные произведения существуют только в измерениях 3 и 7.
См. Также
Примечания
Ссылки
- Антон, Ховард (1994), Элементарная линейная алгебра (7-е изд.), John Wiley Sons, ISBN 0-471-58742-7
- Ballantine, JP; Джерберт, А. (1952), «Расстояние от прямой или плоскости до точки», American Mathematical Monthly, 59 : 242–243, doi : 10.2307 / 2306514
- Ларсон, Рон; Хостетлер, Роберт (2007), Precalculus: A Concise Course, Houghton Mifflin Co., ISBN 0-618-62719-7
- Испания, Барри (2007) [1957], Analytical Conics, Dover Publications, ISBN 0-486-45773-7
Дополнительная литература
- Деза, Мишель Мари ; Деза, Елена (2013), Энциклопедия расстояний (2-е изд.), Springer, стр. 86, ISBN 9783642309588