Котангенсное пространство

редактировать

Двойное пространство к касательному пространству в дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии, можно присоединить к каждой точке $x {\ displaystyle x}$ $x$ гладкого (или дифференцируемого) многообразия, $M {\ displaystyle {\ mathcal {M}} }$ ${\ mathcal {M }}$ , векторное пространство, называемое котангенсным пространством в $x {\ displaystyle x}$ $x$ . Обычно котангенсное пространство $T x ∗ M {\ displaystyle T_ {x} ^ {*} \! {\ Mathcal {M}}}$ ${\ displaystyle T_ {x} ^ {*} \! {\ mathcal {M}}}$ определяется как двойное пространство касательного пространства в точке $x {\ displaystyle x}$ $x$ , $T x M {\ displaystyle T_ {x} {\ mathcal {M}}}$ ${ \ Displaystyle T_ {x} {\ mathcal {M}}}$ , хотя есть более прямые определения (см. ниже). Элементы котангенсного пространства называются котангенсными векторами или касательными ковекторами .

Содержание

1 Свойства
2 Формальные определения
- 2.1 Определение как линейные функционалы
- 2.2 Альтернатива определение
3 Дифференциал функции
4 Откат гладкой карты
5 Внешние полномочия
6 Ссылки

Свойства

Все котангенсные пространства в точках связного многообразия имеют тот же размер , равный размеру коллектора. Все кокасательные пространства многообразия можно «склеить» (то есть объединить и снабдить топологией), чтобы сформировать новое дифференцируемое многообразие удвоенной размерности, кокасательное расслоение многообразия.

Касательное пространство и кокасательное пространство в точке являются вещественными векторными пространствами одной размерности и, следовательно, изоморфны друг другу посредством множества возможных изоморфизмов. Введение римановой метрики или симплектической формы приводит к естественному изоморфизму между касательным пространством и кокасательным пространством в точке, связывающимся с любой касательной covector - канонический касательный вектор.

Формальные определения

Определение как линейные функционалы

Пусть $M {\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$ ${\ mathcal {M }}$ - гладкое многообразие и пусть $x {\ displaystyle x}$ $x$ будет точкой в $M {\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$ ${\ mathcal {M }}$ . Пусть $T x M {\ displaystyle T_ {x} {\ mathcal {M}}}$ ${ \ Displaystyle T_ {x} {\ mathcal {M}}}$ будет касательным пространством в $x {\ displaystyle x}$ $x$ . Тогда котангенсное пространство в точке x определяется как двойное пространство для $T x M {\ displaystyle T_ {x} {\ mathcal {M}}}$ ${ \ Displaystyle T_ {x} {\ mathcal {M}}}$ :

T x ∗ M = (T x M) ∗ {\ displaystyle T_ {x} ^ {*} \! {\ mathcal {M}} = (T_ {x} {\ mathcal {M}}) ^ {*}}

{\ displaystyle T_ {x} ^ {*} \! {\ Mathcal {M}} = (T_ {x} {\ mathcal {M}}) ^ {*}}

Конкретно, элементы пространство котангенса - это линейные функционалы на $T x M {\ displaystyle T_ {x} {\ mathcal {M}}}$ ${ \ Displaystyle T_ {x} {\ mathcal {M}}}$ . То есть каждый элемент $α ∈ T x ∗ M {\ displaystyle \ alpha \ in T_ {x} ^ {*} {\ mathcal {M}}}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in T_ {x} ^ {*} {\ mathcal {M}}}$ является линейной картой

α: T x M → F {\ displaystyle \ alpha: T_ {x} {\ mathcal {M}} \ rightarrow F}

{\ displaystyle \ alpha: T_ {x} {\ mathcal {M}} \ rightarrow F}

где $F {\ displaystyle F}$ $F$ - это базовое поле рассматриваемого векторного пространства, например, поле вещественных чисел. Элементы $T x ∗ M {\ displaystyle T_ {x} ^ {*} \! {\ Mathcal {M}}}$ ${\ displaystyle T_ {x} ^ {*} \! {\ mathcal {M}}}$ называются котангенсными векторами.

Альтернативное определение

В некоторых случаях может потребоваться прямое определение котангенсного пространства без ссылки на касательное пространство. Такое определение может быть сформулировано в терминах классов эквивалентности гладких функций на $M {\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$ ${\ mathcal {M }}$ . Неформально мы скажем, что две гладкие функции f и g эквивалентны в точке $x {\ displaystyle x}$ $x$ , если они имеют одинаковое поведение первого порядка около $x {\ displaystyle x }$ $x$ , аналогично их линейным полиномам Тейлора; две функции f и g имеют одинаковое поведение первого порядка около $x {\ displaystyle x}$ $x$ тогда и только тогда, когда производная функции fg обращается в нуль в $x {\ displaystyle x}$ $x$ . Тогда котангенсное пространство будет состоять из всех возможных поведений первого порядка функции около $x {\ displaystyle x}$ $x$ .

. Пусть M - гладкое многообразие, а x - точка в $M {\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$ ${\ mathcal {M }}$ . Пусть $I x {\ displaystyle I_ {x}}$ $I_ {x}$ будет идеальным для всех функций в $C ∞ (M) {\ displaystyle C ^ {\ infty} \! ({\ mathcal {M}})}$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} \! ({\ mathcal {M}})}$ исчезает в $x {\ displaystyle x}$ $x$ , и пусть $I x 2 {\ displaystyle I_ {x } ^ {2}}$ ${\ displaystyle I_ {x} ^ {2}}$ - набор функций вида $∑ ifigi {\ displaystyle \ sum _ {i} f_ {i} g_ {i} \,}$ $\ sum _ {i} f_ {i} g_ {i} \,$ , где $fi, gi ∈ I x {\ displaystyle f_ {i}, g_ {i} \ in I_ {x}}$ ${\ displaystyle f_ {i}, g_ {i} \ in I_ {x}}$ . Тогда $I x {\ displaystyle I_ {x}}$ $I_ {x}$ и $I x 2 {\ displaystyle I_ {x} ^ {2}}$ ${\ displaystyle I_ {x} ^ {2}}$ - реальные векторные пространства и котангенсное пространство определяется как частное пространство $T x ∗ M = I x / I x 2 {\ displaystyle T_ {x} ^ {*} \! {\ mathcal {M}} = I_ {x} / I_ {x} ^ {2}}$ ${\ displaystyle T_ {x} ^ {*} \! {\ mathcal {M}} = I_ {x} / I_ {x} ^ {2}}$ .

Эта формулировка аналогична построению кокасательного пространства для определения касательного пространства Зарисского в алгебраической геометрии. Эта конструкция также обобщается на локально окольцованные пространства.

Дифференциал функции

. Пусть M - гладкое многообразие, и пусть f ∈ C (M) - гладкая функция. Дифференциал f в точке x - это отображение

dfx(Xx) = X x (f)

, где X x - это касательный вектор в точке x, рассматриваемый как производное. То есть $X (f) = LX f {\ displaystyle X (f) = {\ mathcal {L}} _ {X} f}$ $X (f) = {\ mathcal {L}} _ {X} f$ - производная Ли от f в направлении X, и df (X) = X (f). Точно так же мы можем думать о касательных векторах как о касательных к кривым и писать

dfx(γ ′ (0)) = (fo γ) ′ (0)

. В любом случае df x равно линейное отображение на T x M и, следовательно, это касательный ковектор в точке x.

Затем мы можем определить дифференциальную карту d: C (M) → T x M в точке x как карту, которая отправляет f в df x. Свойства дифференциальной карты включают:

d - линейная карта: d (af + bg) = a df + b dg для констант a и b,
d (fg) x = f (x) dg x + g (x) df x,

Дифференциальная карта обеспечивает связь между двумя альтернативными определениями котангенсного пространства, приведенными выше. Для функции f ∈ I x (гладкая функция, исчезающая в точке x), мы можем сформировать линейный функционал df x, как указано выше. Поскольку карта d ограничивается до 0 на I x (читатель должен это проверить), d спускается на карту от I x / I x к двойному касательного пространства (T x M). Можно показать, что это отображение является изоморфизмом, устанавливая эквивалентность двух определений.

Возврат гладкого отображения

Так же, как любое дифференцируемое отображение f: M → N между многообразиями индуцирует линейное отображение (называемое прямым направлением или производной) между касательными пространствами

f ∗ : T x M → T f (x) N {\ displaystyle f _ {*} ^ {} \ двоеточие T_ {x} M \ to T_ {f (x)} N}

f _ {{*}} ^ {{}} \ двоеточие T_ {x} M \ to T _ {{f (x)}} N

каждая такая карта индуцирует линейную карту ( называется откатом ) между котангенсами, только на этот раз в обратном направлении:

f ∗: T f (x) ∗ N → T x ∗ M {\ displaystyle f ^ {*} \ двоеточие T_ {f (x)} ^ {*} N \ to T_ {x} ^ {*} M}

f ^ {{*}} \ двоеточие T _ {{f (x)}} ^ {{*}} N \ to T _ {{x}} ^ {{*}} M

Откат, естественно, определяется как двойное (или транспонирование) pushforward. Распутывая определение, это означает следующее:

(f ∗ θ) (X x) = θ (f ∗ X x) {\ displaystyle (f ^ {*} \ theta) (X_ {x}) = \ theta (f _ {*} ^ {} X_ {x})}

(f ^ {{*}} \ theta) (X_ {x}) = \ theta (f _ {{*}} ^ {{}} X_ {x})

где θ ∈ T f (x) N и X x ∈ T x М. Внимательно отметьте, где все живет.

Если мы определим касательные ковекторы в терминах классов эквивалентности гладких отображений, исчезающих в точке, то определение обратного образа будет еще более простым. Пусть g - гладкая функция на N, равная нулю в f (x). Тогда обратный вызов ковектора, определяемого g (обозначенного dg), задается как

f ∗ d g = d (g ∘ f). {\ displaystyle f ^ {*} \ mathrm {d} g = \ mathrm {d} (g \ circ f).}

f ^ {{*}} {\ mathrm d} g = {\ mathrm d} (g \ круг f).

То есть это класс эквивалентности функций на M, исчезающих в точке x, определяемый go f.

Внешние мощности

k-я внешняя мощность котангенсного пространства, обозначенная Λ (T x M), является еще одним важным объектом в дифференциальная геометрия. Векторы в k-й внешней степени, или, точнее, сечения k-й внешней степени котангенсного расслоения, называются дифференциальными k-формами. Их можно рассматривать как чередующиеся полилинейные отображения на k касательных векторов. По этой причине касательные ковекторы часто называют одноформными.

Ссылки

Abraham, Ralph H. ; Марсден, Джерролд Э. (1978), «Основы механики», Лондон: Бенджамин-Каммингс, ISBN 978-0-8053-0102-1
Йост, Юрген (2005), Риманова геометрия и геометрический анализ (4-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-25907-7
Ли, Джон М. (2003), Введение в гладкие многообразия, Springer Graduate Texts in Mathematics, 218, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95448-6
Миснер, Чарльз У. ; Торн, Кип ; Уиллер, Джон Арчибальд (1973), Gravitation, WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0