Выпуклое метрическое пространство

редактировать

Иллюстрация выпуклого метрического пространства.

В математике, выпуклые метрические пространства интуитивно означают метрические пространства со свойством любой «сегмент», соединяющий две точки в этом пространстве, имеет в себе другие точки помимо конечных точек.

Формально, рассмотрим метрическое пространство (X, d) и пусть x и y - две точки в X. Точка z в X называется между x и y, если все три точки различны, и

d (x, z) + d (z, y) = d (x, y), {\ displaystyle d (x, z) + d (z, y) = d (x, y), \,}

d(x,z)+d(z,y)=d(x,y),\,

то есть неравенство треугольника становится равенством. Выпуклое метрическое пространство - это метрическое пространство (X, d) такое, что для любых двух различных точек x и y в X существует третья точка z в X, лежащая между x и y.

Метрическая выпуклость:

не подразумевает выпуклость в обычном смысле для подмножеств евклидова пространства (см. Пример рациональных чисел)
и не подразумевает линейная связность (см. Пример рациональных чисел)
и не подразумевает геодезической выпуклости для римановых многообразий (рассмотрим, например,, евклидова плоскость с удаленным замкнутым диском).

Содержание

1 Примеры
2 Метрические сегменты
3 Выпуклые метрические пространства и выпуклые множества
4 См. также
5 Ссылки

Примеры

Евклидовы пространства, то есть обычное трехмерное пространство и его аналоги для других измерений, являются выпуклыми метрическими пространствами. Для любых двух различных точек $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ в таком пространстве, множество всех точек $z {\ displaystyle z}$ $z$ , удовлетворяющий вышеуказанному «равенству треугольников», образует отрезок линии между $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y, {\ displaystyle y,}$ $y,$ который всегда имеет другие точки, кроме $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y, {\ displaystyle y,}$ $y,$ на самом деле у него континуум точек.

Круг как выпуклое метрическое пространство.

Любое выпуклое множество в евклидовом пространстве является выпуклым метрическим пространством с индуцированная евклидова норма. Для замкнутых множеств также верно обратное : если замкнутое подмножество евклидова пространства вместе с индуцированным расстоянием является выпуклым метрическим пространством, то это выпуклое множество (это частный случай более общего утверждения, который будет обсуждаться ниже).
A круг - это выпуклое метрическое пространство, если расстояние между двумя точками определяется как длина кратчайшей дуги на окружности, соединяющей их.

Метрические сегменты

Пусть $(X, d) {\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ будет метрическим пространством (которое не обязательно является выпуклым). Подмножество $S {\ displaystyle S}$ $S$ из $X {\ displaystyle X}$ $X$ называется метрическим сегментом между двумя отдельными точками <45.>x {\ displaystyle x} $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ в $X, {\ displaystyle X,}$ $X,$ , если существует отрезок $[a, b] {\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ на действительной прямой и изометрия

γ: [a, b] → X, { \ displaystyle \ gamma: [a, b] \ к X, \,}

\ гамма: [a, b] \ в X, \,

таким образом, что $γ ([a, b]) = S, {\ displaystyle \ gamma ([a, b]) = S,}$ $\ gamma ([a, b]) = S,$ $γ (a) = x {\ displaystyle \ gamma (a) = x}$ $\ gamma (a) = x$ и $γ (b) = y. {\ displaystyle \ gamma (b) = y.}$ $\ gamma (b) = y.$

Ясно, что любая точка в таком метрическом сегменте $S {\ displaystyle S}$ $S$ кроме "конечных точек" $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ находится между $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y. {\ displaystyle y.}$ $y.$ Таким образом, если метрическое пространство $(X, d) {\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ допускает метрические сегменты между любыми двумя отдельными точками в пространстве, то это выпуклое метрическое пространство.

обратное в целом неверно. рациональные числа образуют выпуклое метрическое пространство с обычным расстоянием, однако не существует сегмента, соединяющего два рациональных числа, который состоит только из рациональных чисел. Однако если $(X, d) {\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ является выпуклым метрическим пространством и, кроме того, полным, можно доказать что для любых двух точек $x ≠ y {\ displaystyle x \ neq y}$ $x \ neq y$ в $X {\ displaystyle X}$ $X$ существует соединяющий их метрический сегмент (который не обязательно уникален).

Выпуклые метрические пространства и выпуклые множества

Как упоминалось в разделе примеров, замкнутые подмножества евклидовых пространств являются выпуклыми метрическими пространствами тогда и только тогда, когда они являются выпуклыми множествами. Тогда естественно думать о выпуклых метрических пространствах как о обобщении понятия выпуклости за пределы евклидовых пространств с заменой обычных линейных сегментов метрическими сегментами.

Важно отметить, однако, что метрическая выпуклость, определенная таким образом, не обладает одним из наиболее важных свойств евклидовых выпуклых множеств, а именно, что пересечение двух выпуклых множеств является выпуклым. В самом деле, как упоминалось в разделе примеров, круг с расстоянием между двумя точками, измеренным по кратчайшей, соединяющей их, представляет собой (полное ) выпуклое метрическое пространство. Тем не менее, если $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ - две точки на окружности, диаметрально противоположные друг другу, существует две метрики сегменты, соединяющие их (две дуги, на которые эти точки разделяют круг), и эти две дуги метрически выпуклы, но их пересечение - это множество ${x, y} {\ displaystyle \ {x, y \}}$ $\ {x, y \}$ , которая не является метрически выпуклой.

См. Также

Внутренняя метрика

Ссылки

Khamsi, Mohamed A.; Кирк, Уильям А. (2001). Введение в метрические пространства и теорию неподвижной точки. Wiley-IEEE. ISBN 0-471-41825-0.

Каплански, Ирвинг (2001). Теория множеств и метрические пространства. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2694-8.