Каноническая карта

В математике каноническая карта, также называемая естественной картой, представляет собой карту или морфизм между объектами, который естественным образом возникает в результате определения или построения объектов. В общем, это карта, которая сохраняет наибольшее количество структур и имеет тенденцию быть уникальной. В редких случаях, когда сохраняется свобода выбора, карта либо условно считается наиболее полезной для дальнейшего анализа, либо иногда является самой элегантной картой, известной на сегодняшний день.

Стандартная форма канонической карты включает некоторую функцию, сопоставляющую set $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$с набором $X\; /\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; /\; R\}$($X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$по модулю $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$), где $R\; \{\; \backslash \; displaystyle\; R\}$- это отношение эквивалентности на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$. Близким понятием является структурная карта или структурный морфизм ; карта или морфизм, который идет с данной структурой объекта. Их также иногда называют каноническими картами.

A канонический изоморфизм - это каноническое отображение, которое также является изоморфизмом (то есть обратимым ). В некоторых контекстах может возникнуть необходимость обратиться к вопросу выбора канонических отображений или канонических изоморфизмов; для типичного примера см. prestack.

• Если N является нормальной подгруппой из группы G, то существует каноническая сюръективная гомоморфизм группы от G к фактор-группе G / N, который отправляет элемент g в смежный класс, определенный g.
• Если I - идеал кольца R, то существует канонический сюръективный кольцевой гомоморфизм из R на факторкольцо R / I, который отправляет элемент r его смежному классу I + r.
• Если V является векторным пространством, то существует каноническая карта из V во второе двойное пространство из V, который отправляет вектор v в линейный функционал fv, определенный как f v (λ) = λ (v).
• Если f: R → S является гомоморфизмом между коммутативными кольцами, тогда S можно рассматривать как алгебру над R. Гомоморфизм колец f тогда называется структурным отображением (для структуры алгебры). Соответствующее отображение на простых спектрах f: Spec (S) → Spec (R) также называется структурным отображением.
• Если E является векторным расслоением над a топологическое пространство X, тогда карта проекции из E в X - это структурная карта.
• В топологии каноническая карта - это функция f, отображающая множество X → X / R (X по модулю R), где R - отношение эквивалентности на X, которое переводит каждый x в X в класс эквивалентности [x] по модулю R.

.