Биалгебра

В математике биалгебра над полем K - это векторное пространство над K, которое является одновременно единственной ассоциативной алгеброй и коассоциативной коассоциативной коалгеброй. Алгебраические и коалгебраические структуры сделаны совместимыми с еще несколькими аксиомами. В частности, коумножение и счётчик оба являются гомоморфизмами алгебры с единицей , или, что эквивалентно, умножение и единица алгебры являются морфизмами коалгебры. (Эти утверждения эквивалентны, поскольку они выражаются одинаковыми коммутативными диаграммами.)

Подобные биалгебры связаны гомоморфизмами биалгебр. Гомоморфизм биалгебр - это линейное отображение, которое одновременно является гомоморфизмом алгебры и коалгебры.

Как отражено в симметрии коммутативных диаграмм, определение биалгебры является самодвойственным, поэтому, если можно определить двойственный B (который всегда возможно, если B конечномерна), то это автоматически биалгебра.

• 1 Формальное определение
• 2 Коассоциативность и счет
• 3 Условия совместимости
• 4 Примеры
  • 4.1 Групповая биалгебра
  • 4.2 Другие примеры
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки

(B, ∇, η, Δ, ε) - это биалгебра над K, если она имеет следующие свойства:

• B - векторное пространство над K;
• существует K- линейное отображение (умножение) ∇: B ⊗ B → B (эквивалент K- полилинейного отображения ∇: B × B → B) и (единица) η: K → B, такие что (B, ∇, η) - единичная ассоциативная алгебра ;
• , существуют K-линейные отображения (коумножение) ∆: B → B ⊗ B и (коучит) ε: B → K, такие что (B, Δ, ε) является (коассоциативным) коалгеброй ;
• условиями совместимости, выраженными следующими коммутативными диаграммами :

1. Умножение ∇ и коумножение Δ

   

   , где τ: B ⊗ B → B ⊗ B - это линейное отображение, определенное как τ (x ⊗ y) = y ⊗ x для всех x и y в B,

2. Умножение ∇ и счет ε

   

3. Умножение Δ и u nit η

   

4. Единица η и счет ε

   

K-линейное отображение Δ: B → B ⊗ B является коассоциативным, если $(id\; В\; \otimes \; \Delta )\; \circ \; \Delta \; знак\; равно\; (\Delta \; \otimes \; id\; B)\; \circ \; \Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathrm\; \{id\}\; \_\; \{B\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; Delta)\; \backslash \; circ\; \backslash \; Delta\; =\; (\backslash \; Delta\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathrm\; \{\; id\}\; \_\; \{B\})\; \backslash \; circ\; \backslash \; Delta\}$.

K-линейное отображение ε: B → K является счетчиком, если $(id\; B\; \otimes \; ϵ)\; \circ \; \Delta \; =\; id\; B\; =\; (ϵ\; \otimes \; id\; B)\; \circ \; \Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathrm\; \{id\}\; \_\; \{B\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; epsilon)\; \backslash \; circ\; \backslash \; Delta\; =\; \backslash \; mathrm\; \{id\}\; \_\; \{B\}\; =\; (\backslash \; epsilon\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathrm\; \{id\}\; \_\; \{B\})\; \backslash \; circ\; \backslash \; Delta\}$.

Коассоциативность и коассоциация выражаются коммутативностью следующих двух диаграмм (они являются двойниками диаграмм, выражающих ассоциативность и единицу алгебры):

четыре коммутативные диаграммы могут быть прочитаны либо как «коумножение и счетчик являются гомоморфизмами алгебр» или, что эквивалентно, «умножение и единица являются гомоморфизмами коалгебр».

Эти утверждения имеют смысл, если мы объясним естественные структуры алгебры и коалгебры во всех задействованных векторных пространствах, кроме B: (K, ∇ 0, η 0) очевидным образом является ассоциативной алгеброй с единицей и (B ⊗ B, 2, η 2) является ассоциативной алгеброй с единицей и единицей и умножением

$\eta \; 2:\; =\; (\; \eta \; \otimes \; \eta ):\; К\; \otimes \; К\; \equiv \; K\; \to \; (В\; \otimes \; B)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{2\}:\; =\; (\backslash \; eta\; \backslash \; otimes\; \backslash \; eta):\; K\; \backslash \; otimes\; K\; \backslash \; эквив\; K\; \backslash \; to\; (B\; \backslash \; otimes\; B)\}$

$\nabla \; 2:\; =\; (\nabla \; \otimes \; \nabla )\; \circ \; (id\; \otimes \; \tau \; \otimes \; id):\; (B\; \otimes \; B)\; \otimes \; (B\; \otimes \; B)\; \to \; (B\; \otimes \; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{2\}:\; =\; (\backslash \; nabla\; \backslash \; otimes\; \backslash \; nabla)\; \backslash \; circ\; (id\; \backslash \; otimes\; \backslash \; tau\; \backslash \; otimes\; id)\; :(\; B\; \backslash \; otimes\; B)\; \backslash \; otimes\; (B\; \backslash \; otimes\; B)\; \backslash \; to\; (B\; \backslash \; otimes\; B)\}$,

так, чтобы $\nabla \; 2\; ((Икс\; 1\; \otimes \; Икс\; 2)\; \otimes \; (Y\; 1\; \otimes \; Y\; 2))\; =\; \nabla \; (Икс\; 1\; \otimes \; Y\; 1)\; \otimes \; \nabla \; (Икс\; 2\; \otimes \; Y\; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{2\}\; (\; (x\_\; \{1\}\; \backslash \; otimes\; x\_\; \{2\})\; \backslash \; otimes\; (y\_\; \{1\}\; \backslash \; otimes\; y\_\; \{2\}))\; =\; \backslash \; nabla\; (x\_\; \{1\}\; \backslash \; otimes\; y\_\; \{1\})\; \backslash \; otimes\; \backslash \; nabla\; (x\_\; \{2\; \}\; \backslash \; otimes\; y\_\; \{2\})\}$или, опуская ∇ и записывая умножение как сопоставление, $(x\; 1\; \otimes \; x\; 2)\; (Y\; 1\; \otimes \; Y\; 2)\; =\; Икс\; 1\; Y\; 1\; \otimes \; Икс\; 2\; Y\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; (x\_\; \{1\}\; \backslash \; otimes\; x\_\; \{2\})\; (y\_\; \{1\}\; \backslash \; otimes\; y\_\; \{2\})\; =\; x\_\; \{1\}\; y\_\; \{1\}\; \backslash \; otimes\; x\_\; \{2\}\; y\_\; \{2\}\}$;

аналогично, (K, Δ 0, ε 0) очевидным образом является коалгеброй и B ⊗ B - коалгебра со счетчиком и коумножением

$ϵ\; 2:\; =\; (ϵ\; \otimes \; ϵ):\; (B\; \otimes \; B)\; \to \; K\; \otimes \; K\; \equiv \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{2\}:\; =\; (\backslash \; epsilon\; \backslash \; otimes\; \backslash \; эпсилон)\; :(\; B\; \backslash \; otimes\; B)\; \backslash \; to\; K\; \backslash \; otimes\; K\; \backslash \; Equiv\; K\}$

$\Delta \; 2:\; =\; (id\; \otimes \; \tau \; \otimes \; id)\; \circ \; (\Delta \; \otimes \; \Delta ):\; (B\; \otimes \; B)\; \to \; (B\; \otimes \; B)\; \otimes \; (В\; \otimes \; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \_\; \{2\}:\; =\; (id\; \backslash \; otimes\; \backslash \; tau\; \backslash \; otimes\; id)\; \backslash \; circ\; (\backslash \; Delta\; \backslash \; otimes\; \backslash \; Delta)\; :(\; B\; \backslash \; otimes\; B)\; \backslash \; to\; (B\; \backslash \; otimes\; B)\; \backslash \; otimes\; (B\; \backslash \; otimes\; B)\}$.

Тогда диаграммы 1 и 3 говорят, что ∆: B → B ⊗ B является гомоморфизмом унитальных (ассоциативных) алгебр (B, ∇, η) и (B ⊗ В, ∇ 2, η 2)

$\Delta \; \circ \; \nabla \; =\; \nabla \; 2\; \circ \; (\Delta \; \otimes \; \Delta ):\; (B\; \otimes \; B)\; \to \; (B\; \otimes \; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; circ\; \backslash \; nabla\; =\; \backslash \; nabla\; \_\; \{2\}\; \backslash \; circ\; (\backslash \; Delta\; \backslash \; otimes\; \backslash \; Delta)\; :(\; B\; \backslash \; otimes\; B)\; \backslash \; to\; (B\; \backslash \; otimes\; B)\}$, или просто Δ (xy) = Δ (x) Δ (Y),

$\Delta \; \circ \; \eta \; знак\; равно\; \eta \; 2:\; К\; \to \; (В\; \otimes \; В)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Дельта\; \backslash \; circ\; \backslash \; eta\; =\; \backslash \; eta\; \_\; \{2\}:\; K\; \backslash \; to\; (B\; \backslash \; otimes\; B)\}$, или просто Δ (1 B) = 1 B ⊗ B ;

диаграммы 2 и 4 говорят, что ε: B → K является гомоморфизмом унитальных (ассоциативных) алгебр (B, ∇, η) и (K, ∇ 0, η 0):

$ϵ\; \circ \; \nabla \; =\; \nabla \; 0\; \circ \; (ϵ\; \otimes \; ϵ):\; (B\; \otimes \; B)\; \to \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; circ\; \backslash \; nabla\; =\; \backslash \; nabla\; \_\; \{0\}\; \backslash \; circ\; (\backslash \; epsilon\; \backslash \; otimes\; \backslash \; epsilon)\; :(\; B\; \backslash \; otimes\; B)\; \backslash \; to\; K\}$, или просто ε (xy) = ε (x) ε (y)

$ϵ\; \circ \; \eta \; =\; \eta \; 0:\; K\; \to \; K\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; circ\; \backslash \; eta\; =\; \backslash \; eta\; \_\; \{0\}:\; K\; \backslash \; to\; K\}$, или просто ε (1 B) = 1 K.

Эквивалентно, диаграммы 1 и 2 говорят, что ∇: B ⊗ B → B - гомоморфизм (коассоциативных) коассоциативных коалгебр (B ⊗ B, Δ 2, ε 2) и (B, Δ, ε):

$\nabla \; \otimes \; \nabla \; \circ \; \Delta \; 2\; знак\; равно\; \Delta \; \circ \; \nabla :\; (B\; \otimes \; B)\; \to \; (B\; \otimes \; B),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; otimes\; \backslash \; nabla\; \backslash \; circ\; \backslash \; Delta\; \_\; \{2\}\; =\; \backslash \; Delta\; \backslash \; circ\; \backslash \; nabla:\; (B\; \backslash \; otimes\; B)\; \backslash \; to\; (B\; \backslash \; otimes\; B),\}$

$\nabla \; 0\; \circ \; ϵ\; 2\; =\; ϵ\; \circ \; \nabla :\; (B\; \otimes \; B)\; \to \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \_\; \{0\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{2\}\; =\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; circ\; \backslash \; nabla:\; (B\; \backslash \; otimes\; B)\; \backslash \; to\; K\}$;

диаграммы 3 и 4 говорят, что η: K → B является гомоморфизмом (коассоциативных коассоциативных) коалгебр (K, Δ 0, ε 0) и (B, Δ, ε):

$\eta \; 2\; \circ \; \Delta \; 0\; знак\; равно\; \Delta \; \circ \; \eta :\; K\; \to \; (B\; \otimes \; B),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{2\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; Delta\; \_\; \{0\}\; =\; \backslash \; Delta\; \backslash \; circ\; \backslash \; eta:\; K\; \backslash \; to\; (B\; \backslash \; otimes\; B),\}$

$\eta \; 0\; \circ \; ϵ\; 0\; знак\; равно\; ϵ\; \circ \; \eta :\; K\; \to \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{0\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\; =\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; circ\; \backslash \; eta:\; K\; \backslash \; to\; K\}$,

где

$ϵ\; 0\; =\; ϵ\; \circ \; \eta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\; =\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; circ\; \backslash \; eta\}$.

Групповая биалгебра

Примером биалгебры является набор функций от группы G (или, в более общем смысле, любого моноида ) до $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, которое мы можем представить как векторное пространство $RG\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{G\}\}$, состоящее из линейных комбинаций стандартных базисных векторов egдля каждого g ∈ G, который может представлять распределение вероятностей над G в случае векторов, все коэффициенты которых неотрицательны и в сумме равны 1. Пример подходящей операции коумножения атомы и числа, которые дают коитальную коалгебру:

$\Delta \; (eg)\; =\; eg\; \otimes \; eg,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; (\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{g\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{g\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{g\}\; \backslash ,,\}$

, который представляет собой создание копии случайной переменной (которую мы распространяем на все $RG\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{\; G\}\}$по линейности) и

$\epsilon \; (например)\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; (\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{g\})\; =\; 1\; \backslash ,,\}$

( снова линейно распространяется на все $RG\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{G\}\}$), что представляет собой «отслеживание» случайной величины, то есть забвение значения случайной переменной ( представлен одним тензорным фактором), чтобы получить маргинальное распределение по остальным переменным (оставшимся тензорным факторам). При интерпретации (Δ, ε) в терминах распределений вероятностей, как указано выше, условия согласованности биалгебры сводятся к ограничениям на (∇, η) следующим образом:

1. η - оператор, подготавливающий нормированное распределение вероятностей, которое не зависит от всех другие случайные величины;
2. Произведение ∇ отображает распределение вероятностей двух переменных в распределение вероятностей одной переменной;
3. Копирование случайной величины в распределении, задаваемом η, эквивалентно наличию двух независимых случайные величины в распределении η;
4. Взятие произведения двух случайных величин и подготовка копии полученной случайной величины имеет такое же распределение, как и подготовка копий каждой случайной величины независимо друг от друга и их умножение вместе попарно.

Пара (∇, η), которая удовлетворяет этим ограничениям, - это оператор свертки

$\nabla \; (например,\; \otimes \; eh)\; =\; egh,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{g\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{h\}\; \{\backslash \; bigr)\}\; =\; \backslash \; mat\; hbf\; \{e\}\; \_\; \{gh\}\; \backslash ,,\}$

снова распространяется на все $RG\; \otimes \; RG\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{G\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{G\}\}$по линейности; это дает нормализованное распределение вероятностей из распределения двух случайных величин и имеет в качестве единицы дельта-распределение $\eta \; =\; ei,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; =\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; ;,\}$где i ∈ G обозначает единичный элемент группы G.

Другие примеры

Другие примеры биалгебр включают тензорную алгебру, которая может быть превращается в биалгебру путем добавления соответствующего коумножения и числа; они подробно рассматриваются в этой статье.

Биалгебры часто могут быть расширены до алгебр Хопфа, если может быть найден соответствующий антипод. Таким образом, все алгебры Хопфа являются примерами биалгебр. Подобные структуры с разной совместимостью между произведением и коумножением или различными типами умножения и коумножения включают биалгебры Ли и алгебры Фробениуса. Дополнительные примеры приведены в статье о коалгебрах.

• Квазибиалгебра

1. ^Дэскэлеску, Нэстэсеску и Райану (2001). Алгебры Хопфа: Введение. С. 147 и 148.
2. ^Дэскэлеску, Нэстэсеску и Райану (2001). Алгебры Хопфа: Введение. п. 148.
3. ^Дэскэлеску, Нэстэсеску и Райану (2001). Алгебры Хопфа: Введение. п. 151.

• Дэскэлеску, Сорин; Нэстэсеску, Константин; Райану, Щербан (2001), Алгебры Хопфа: Введение, Чистая и прикладная математика, 235 (1-е изд.), Марсель Деккер, ISBN 0-8247-0481- 9.