Аксиома сопряжения

редактировать

В аксиоматической теории множеств и ветвях логики, математики и информатика, которые используют ее, аксиома спаривания является одной из аксиом теории множеств Цермело – Френкеля. Он был введен Цермело (1908) как частный случай его аксиомы элементарных множеств.

Содержание

1 Формальное утверждение
2 Последствия
3 Альтернативы
- 3.1 Несамостоятельность
- 3.2 Слабее
- 3.3 Сильнее
4 Ссылки

Формальное утверждение

На формальном языке аксиом Цермело – Френкеля аксиома гласит :

∀ A ∀ B ∃ C ∀ D [D ∈ C ⟺ (D = A ∨ D = B)] {\ Displaystyle \ forall A \, \ forall B \, \ существует C \, \ forall D \, [D \ in C \ iff (D = A \ lor D = B)]}

{\ displaystyle \ forall A \, \ forall B \, \ существует C \, \ forall D \, [D \ in C \ iff (D = A \ lor D = B)]}

Словами:

Для любого множества A и любого множества B, там - это набор C, такой что для любого набора D D является членом C тогда и только тогда, когда D равно A или D равно B.

Или проще:

Для двух наборов существует набор, члены которого являются в точности двумя данными наборами.

Последствия

Как уже отмечалось, в чем заключается аксиома То есть, имея два набора A и B, мы можем найти набор C, членами которого являются в точности A и B.

Мы можем использовать аксиому расширенияa lity, чтобы показать, что этот набор C уникален. Мы называем множество C парой A и B и обозначаем его {A, B}. Таким образом, суть аксиомы такова:

Любые два набора имеют пару.

Набор {A, A} сокращается {A} и называется singleton, содержащим A. Обратите внимание, что singleton является частным случаем пары. Возможность построения синглтона необходима, например, для того, чтобы показать отсутствие бесконечных нисходящих цепочек $x = {x} {\ displaystyle x = \ {x \}}$ $x = \ {x \}$ из Аксиома регулярности.

Аксиома парности также допускает определение упорядоченных пар. Для любых наборов $a {\ displaystyle a}$ $a$ и $b {\ displaystyle b}$ $b$ упорядоченная пара определяется следующим образом:

(a, b) = {{a}, {a, b}}. {\ displaystyle (a, b) = \ {\ {a \}, \ {a, b \} \}. \,}

(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}.\,

Обратите внимание, что это определение удовлетворяет условию

(a, b) = ( c, d) ⟺ a = c ∧ b = d. {\ displaystyle (a, b) = (c, d) \ iff a = c \ land b = d.}

{\ displaystyle (a, b) = (c, d) \ iff a = c \ land b = d.}

Упорядоченные n-кортежи могут быть определены рекурсивно следующим образом:

( a 1,…, an) = ((a 1,…, an - 1), an). {\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = ((a_ {1}, \ ldots, a_ {n-1}), a_ {n}). \!}

(a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = ((a_ {1}, \ ldots, a _ {{n-1}}), a_ {n}). \!

Альтернативы

Non-независимость

аксиома спаривания обычно считается бесспорной, и он или эквивалентным появляется в почти любой аксиоматизация из теории множеств. Тем не менее, в стандартной формулировке теории множеств Цермело – Френкеля аксиома спаривания следует из схемы аксиом замены, применяемой к любому заданному набору с двумя или более элементами, и, таким образом, иногда его опускают. Существование такого набора с двумя элементами, такими как {{}, {{}}}, может быть выведено либо из аксиомы пустого множества, либо из аксиомы набора мощности или из аксиомы бесконечности .

В отсутствие некоторых более сильных аксиом ZFC аксиома спаривания все же может быть без потерь введена в более слабой форме.

Слабее

При наличии стандартных форм схемы аксиом разделения мы можем заменить аксиому спаривания более слабой версией:

∀ A ∀ B ∃ С ∀ D ((D = A ∨ D = B) ⇒ D ∈ C) {\ Displaystyle \ forall A \ forall B \ существует C \ forall D ((D = A \ lor D = B) \ Rightarrow D \ in C)}

{\ displaystyle \ forall A \ forall B \ exists C \ forall D ((D = A \ lor D = B) \ Rightarrow D \ in C)}

Эта слабая аксиома парности подразумевает, что любые заданные множества $A {\ displaystyle A}$ $A$ и $B {\ displaystyle B}$ $B$ являются членами некоторый набор $C {\ displaystyle C}$ $C$ . Используя схему аксиомы разделения, мы можем построить множество, члены которого точно соответствуют $A {\ displaystyle A}$ $A$ и $B {\ displaystyle B}$ $B$ .

Другая аксиома, которая подразумевает аксиому спаривание при наличии аксиомы пустого множества равно

∀ A ∀ B ∃ C ∀ D [D ∈ C ⟺ (D ∈ A ∨ D = B)] {\ displaystyle \ forall A \, \ forall B \, \ exists C \, \ forall D \, [D \ in C \ iff (D \ in A \ lor D = B)]}

{\ displaystyle \ forall A \, \ forall B \, \ exists C \, \ forall D \, [D \ in C \ iff (D \ in A \ lor D = B)]}

Он отличается от стандартного использованием $D ∈ A {\ displaystyle D \ in A}$ ${\ displaystyle D \ in A}$ вместо $D = A {\ displaystyle D = A}$ ${\ displaystyle D = A}$ . Используя {} для A и x для B, мы получаем {x} для C. Затем используйте {x} для A и y для B, получая {x, y} для C. Можно продолжить таким образом, чтобы построить любое конечное задавать. И это может быть использовано для генерации всего без использования аксиомы объединения.

Stronger

вместе с аксиомой пустого множества и аксиомой объединения аксиому спаривания можно обобщить до следующей схемы:

∀ A 1… ∀ A n ∃ C ∀ D [D ∈ C ⟺ (D = A 1 ∨ ⋯ ∨ D = A n)] {\ displaystyle \ forall A_ {1} \, \ ldots \, \ forall A_ {n} \, \ exists C \, \ forall D \, [D \ in C \ iff (D = A_ {1} \ lor \ cdots \ lor D = A_ {n})]}

{\ Displaystyle \ forall A_ {1} \, \ ldots \, \ forall A_ {n} \, \ exists C \, \ forall D \, [D \ in C \ iff (D = A_ {1} \ lor \ cdots \ lor D = A_ {n})]}

то есть:

Для любого конечного числа наборов от A 1 до A n существует множество C, членами которого являются в точности от A 1 до A n.

Это множество C снова уникально по аксиоме экстенсиональности и обозначается {A 1,..., A n }.

Конечно, мы не можем строго ссылаться на конечное число множеств, не имея в руках (конечного) множества, к которому эти множества принадлежат. Таким образом, это не один оператор, а схема с отдельным оператором для каждого натурального числа n.

Случай n = 1 - это аксиома спаривания с A = A 1 и B = A 1.
Случай n = 2 - это аксиома спаривания с A = A 1 и B = A 2.
Случаи n>2 могут быть доказаны, используя аксиому спаривания и аксиому объединения несколько раз.

Например, чтобы доказать случай n = 3, трижды используйте аксиому спаривания, чтобы получить пару {A 1,A2}, синглтон {A 3 }, а затем пару {{A 1,A2}, {A 3 }}. Тогда аксиома объединения дает желаемый результат, {A 1,A2,A3}. Мы можем расширить эту схему, чтобы включить n = 0, если мы интерпретируем этот случай как аксиому пустого множества.

Таким образом, можно использовать это как схему аксиомы вместо аксиом пустой набор и сопряжение. Однако обычно аксиомы пустого множества и спаривания используются отдельно, а затем доказывается как схема теоремы. Обратите внимание, что принятие этого в качестве схемы аксиомы не заменит аксиому объединения, которая все еще необходима для других ситуаций.

Ссылки

Пол Халмос, Наивная теория множеств. Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag).
Jech, Thomas, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, исправленное и расширенное. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Кунен, Кеннет, 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости. Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9.
Цермело, Эрнст (1908), "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I", Mathematische Аннален, 65 (2): 261–281, doi : 10.1007 / bf01449999. Английский перевод: Хейеноорт, Жан ван (1967), «Исследования основ теории множеств», От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879-1931, Источники в История наук, Гарвардский унив. Press, стр. 199–215, ISBN 978-0-674-32449-7.